专题06 一次函数与三角形综合问题（5大题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题06 一次函数与三角形综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与三角形的面积问题 1 题型二、一次函数与三角形全等问题 8 题型三、一次函数与三角形存在问题 18 题型四、一次函数中折叠的综合问题 30 题型五、一次函数中旋转的综合问题 38 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数与三角形的面积问题 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A，B，另一直线经过点，且把三角形分成两部分． (1)如果把三角形分成的两部分面积相等，求k和b的值； (2)如果把三角形分成的两部分面积之比为，求k和b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用， （1）首先确定点B，点A的坐标，易得C是的中点，结合直线经过点，且把分成的两部分面积相等，可知直线必经过点B，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先解得，结合被分成的两部分面积之比为，易得直线与y轴或与直线的交点的纵坐标为，然后分直线与线段相交和直线与y轴相交两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 令，可得，解得， 令，可得， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， ∵点C的坐标为， ∴C是的中点， ∵直线经过点，且把分成的两部分面积相等， ∴直线必经过点B， 把B，C的坐标分别代入， 得，解得； （2）∵，， ∴， ∴， ∵被分成的两部分面积之比为，如图： 当时，直线与y轴或与直线的交点的纵坐标为， 当直线与线段相交时，由， 可得，解得， ∴两直线交点的坐标为， ∵， ∴，解得； 当直线与y轴相交时，同理可求坐标为， 又∵， ∴，解得． 综上所述，或． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）先将点代入直线的解析式求出的值，得到点的坐标；再利用待定系数法，将点和点的坐标代入直线的一般式，求出直线的解析式． （2）先求出直线、与轴的交点、的坐标，得到的长度；再以为底，点到轴的距离为高，利用三角形面积公式计算的面积． （3）根据与的面积关系，先求出的面积；设点的坐标，结合直线的解析式表示出点的横纵坐标关系，再利用三角形面积公式列方程求解点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线经过点和， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， 直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， ， 点到轴的距离为， ； （3）解：的面积是面积的， ， 设点的坐标为， 直线与轴交于点， （或）， ∴，即， ∴， 当时，解得， 此时 当时，解得， 此时 点的坐标为或． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）几何直观 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫作这个一次函数的坐标三角形．如下图，一次函数的图象与x轴y轴分别交于点E，F，则为此函数的坐标三角形． 求： (1)该函数的坐标三角形的三条边长． (2)的面积． (3)原点O到直线的距离． 【答案】(1)三条边长分别为6，8，10 (2)的面积为24 (3) 【分析】（1）利用一次函数图象与坐标轴的交点特征可求出点的坐标，进而可得的长，再利用勾股定理求出即可； （2）直接利用三角形的面积公式计算； （3）过点O作于点M，再利用等面积法求出斜边上的高即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点F的坐标为， ∴． 当时，，解得， ∴点E的坐标为， ∴， 在中， ∴， ∴函数的坐标三角形的三条边长分别为6，8，10． （2）解：∵， ∴， ∴的面积为24． （3）解：过点O作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∴原点O到直线的距离是． 4．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，6 (2)50 (3)存在， 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积； （3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标． 【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点， ， 解得， ， 解得， 故答案为：3，6； （2）解：由（1）可知，， 当时，，解得，，即， 当时，，解得，，即， ， ， 的面积为50； （3）解：的面积与四边形的面积比为，， ， 当时，，即， 设，则， ，解得，， ， 存在，且 题型二、一次函数与三角形全等问题 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点. (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． （1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ， ∴， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积为， 当时，如图： 此时， ， 即， 解得：， 在中，令，则 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 当时，如图： 此时， ， 即， ， 在中，令， 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或； （3）在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图： ，， ，， 设，则，，， 而， ， 整理得， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时，， ∴， ∴点B为的中点， ∴，， ∴； ②若时，如图： ，， ， 在中，令，则 解得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 7．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，C的坐标为，， 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与三角形面积的综合应用、全等三角形的判定与性质、一次函数动点问题，分类讨论思想（面积比例的两种分割情况、全等三角形的不同对应情况）： （1）将直线与坐标轴的交点坐标代入一次函数解析式，求解系数和，得到直线表达式． （2）先计算的面积，再根据“面积被分为”的两种比例情况，结合动点在直线上的坐标特征，分别求出点的坐标． （3）根据全等三角形的对应边关系，结合一次函数解析式，分类讨论不同的全等对应情况，筛选出与、不重合的动点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入： 代入得：； 代入得：，解得． 故直线AB的解析式为：； （2）解：的面积为：． 直线OC将其分为两部分，即两部分面积分别为2和4． 设，分两种情况： 情况1： 解得，对应，即． 情况2： ，同理解得，对应，即． 故点C坐标：或； （3）解：是直角三角形（直角在O），边长为， 中，D在y轴上，故是y轴上的线段，需使为直角三角形（与全等），分两种直角位置讨论： 情况1：直角在点（轴） 此时， 则， ∴，， ∵，符合题意， 故； 情况2：直角在点 此时，， 则， 则或． 设，则，解得， 当时，，即，此时应该为， 则，符合题意； 同理，当时，，， 则，符合题意； ∴C为或； 综上所述，满足条件的C点有，，． 题型三、一次函数与三角形存在问题 9．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可； （2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可； （3）在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①；②，分别求出坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：， 把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即； （2）解：过作轴，垂足为，如图1所示， 由（1）可知：一次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：， ∴， ， ； （3）解：如图2所示，设， ， ， ， 分两种情况考虑： ①当时，， ， ， ； ②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1， 在轴上， 的坐标为， 综上，的坐标为或． 10．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定． （1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解； （3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得 ∴ 将代入得， 解得：； （2）解：由（1）可得的解析式为， 当时，，解得： ∴ 如图，设交轴于点， 当时，， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点， 当时，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵与面积相等 ∴ 解得： ∵ ∴或 （3）存在点，使得，理由如下； 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴为的交点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 直线与轴交于点 当时，，解得 设直线的解析式为，代入得 解得： 直线的解析式为， ， 同理可得直线的解析式为， 解得： 设关于的对称点为， 的中点为， 即 同理可得直线的解析式为 解得： ∴ 综上所述，或 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)存在一点，使的周长最短 (3)存在的值，使和的面积比为，t的值为或． 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题； （1）利用待定系数法即可求解． （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则此时的周长最小，，求出直线的解析式，即可解决问题． （3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解． 【详解】（1）解：直线经过定点， ∴， ， 直线为， 直线经过点， ， 点的坐标为， 直线经过点， ． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的周长最小． ∵，， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， 存在一点，使的周长最短； （3）解：直线为 点的坐标为， ， ， 点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位， ， 分两种情况： ①如图，点在线段上， 和的面积比为， ， ， ， ； ②如图，点在线段的延长线上． 和的面积比为， ， ， ， ； 综上，存在的值，使和的面积比为，值为或； 11．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，理由见解析 (3)存在，或，理由见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，解方程，求出a和b，再用待定系数法求直线的解析式； （2）设，由将的面积分为两部分，得到或，再列方程求解即可； （3）先进行分类讨论，当点M在y轴右侧时，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．不难得出，是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质，可以证出，由全等的性质，计算出点E的坐标，直线与的交点即为点M，利用一次函数计算即可．当点M在y轴左侧时，容易得出此时直线与直线关于y轴对称，利用对称性算出点M的坐标． 【详解】（1）解：， ∴，， ，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 设，则， ， ， 若将的面积分为两部分，则或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：存在，理由如下： ①当点M在y轴右侧时， 如图，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为． 由题意可知，直线与的交点即为所求的点M． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E坐标为，点F坐标为，点B坐标为 ∴，，，， ∴， 解得，， ∴点E坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， ②当点M在y轴左侧时， 如图，作点E关于y轴的对称点H，连接， 由对称的性质可得，，点H坐标为， 由①可知，， ∴， ∴直线与与的交点即为所求的点M． 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 题型四、一次函数中折叠的综合问题 13．（24-25八年级上·江苏南京·月考）一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上，如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． (1)求直线的表达式； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行列式计算，得出直线的表达式为， （2）先得出，再结合折叠性质得，，运用勾股定理列式计算，得，即可得的长． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点． ∴， 解得， ∴直线的表达式：． （2）解：∵点和点． ∴， 则， ∵将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． ∴，，， 则，， ∴， 故在中，， ∴， 解得， 则． 14．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 15．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是轴上一点，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)点的坐标为 【分析】本题考查运用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． （1）利用待定系数法求解； （2）设点的坐标为，则，根据三角形面积公式可列式求解即可； （3）根据折叠的性质可得结论． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将，代入， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， 则， 因为的面积为， 所以， 即， 解得或， 所以点的坐标为或； （3）解：当点的坐标为时，点的坐标为； 当点的坐标为时，点的坐标为 16．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，是线段上一点，将沿着折叠，点落在点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若点正好落在线段上，求点的坐标； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即，即可求解； （3）若，即，则，进而求解； 【详解】（1）解：将、代入直线得：， 解得， ∴； （2）解：如图， ∵、， ∴， ∴， 由折叠得：． ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于点， 由翻折可得：≌，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线的表达式为：， 延长到，使，作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，直线的表达式为：， 联立： 解得：， ∴， ∵， ∴． 题型五、一次函数中旋转的综合问题 17．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，线段的垂直平分线分别交、x轴于点E、C，轴于点D． (1)求点A、B的坐标和线段的长； (2)证明； (3)把直线绕着点B旋转后，与直线交于点P，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，利用平方根的性质解方程，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）分别令求解直线与x轴、y轴的交点坐标，再由勾股定理求解即可； （2）先求出点E的坐标为，则可得，再由互余关系求证，即可证明； （3）可得为等腰直角三角形，则，然后求出直线，设，由建立方程，再由平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴当时， ∴ ∴当时， ∴ ∴ ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分 ∴点E是的中点， ∵， ∴点E的坐标为； ∵轴于点D． ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：如图， 由题意得， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ 由（2）知， ∴， 而， ∴， ∴， 设直线， ∴ 解得， ∴直线 设， 由得，， 整理得， 即 ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 18．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与直线交于点E，且． (1)求直线的解析式； (2)点F在y轴上，过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，若，求点F的坐标； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C，将绕点A顺时针旋转α度（）得到，在旋转过程中，射线，射线分别交直线于点P，Q，当为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点F的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或 【分析】此题考查一次函数交点问题，待定系数法，特殊三角形问题，面积问题与一次函数， （1）先求出点A，B的坐标，由此得到点D的坐标，利用待定系数法求直线的解析式； （2）设点F的坐标为，把代入直线与直线，得到，，根据，求出n的值，即可解答； （3）分三角形的边两两分别相等的三种情况求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：令中，得；令，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设点F的坐标为， ∵过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N， ∴点M，N的纵坐标都为n， 把代入直线，得，解得， 把代入直线，得，解得， ∴，， ∵， ∴或， ∴点F的坐标为或． （3）解：∵将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C， ∴直线的解析式为， ①当时， ∵， ∴， ∴点P与点C重合，即， ∴点Q在y轴上，即； ②当时， ∵，， ∴， ∴， 过点Q作轴于点M，则， ∴； ③当时，， ∵， ∴， ∴点Q的横坐标为， 当时，， ∴， 综上，点Q的坐标为或或． 19．（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 【答案】模型呈现：说明见解析；模型应用：；；深入探究： 【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论； 深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可； 深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案． 【详解】模型呈现： 证明：在中，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中，， ； 模型应用： 解：令，则， 令，则， 则点A，B的坐标分别为：、， 过点C作轴于点H，如图所示： ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 则点， 设直线的解析式为， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 故直线的表达式为； 深入探究： 解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图： 把代入得， 解得， 把代入得， ，， ，， 直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令得， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，求一次函数的解析式，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 20．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．结合一次函数的图象可以求出图象与轴的交点以及轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：∵在中，令，则， 解得：， 令，则， ∴一次函数的图象与轴的交点，与轴的交点为， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求出函数与坐标轴的交点，根据面积可得到关于k的方程，即可得出k的值． 【详解】解：当时，. 当时，， ∴. ∴函数与x轴的交点为，与y轴的交点为， ∵与两坐标轴围成的三角形面积为3， ∴， 解得． 故选：C． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A、B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质与三角形面积计算，分别求出阴影三角形的直角边是解决本题的关键． 分别求出点A、B、C的纵坐标，计算每个点向x轴和y轴作垂线形成的直角三角形的面积，再求和即可． 【详解】解：∵直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2， 点A横坐标为，代入直线方程得纵坐标； 点B横坐标为1，代入得； 点C横坐标为2，代入得； 记直线与y轴的交点为，如图， 点A形成的三角形面积：； 点B形成的三角形面积：； 点C形成的三角形面积：， ∴这三个三角形的面积之和为3． 故选：B． 二、填空题 4．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．分别令和可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，可求得答案． 【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在中，令，可得， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理可得， ∴或， 故答案为：2或． 5．（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】求出、点，分点在轴右侧、点在轴左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， 则点，，则， 即点； ①如图，当点在轴右侧时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当点在轴左侧时， 则，则点、到的距离相等， 则直线， 设直线的表达式为：， 将点代入上式得，解得：， 直线的表达式为：， 设点， ，，为顶点的三角形与全等， 则， 解得：， 故点； 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大． 6．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点，若点是射线上一动点，点是轴上的一动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 　                  　 【答案】或 【分析】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，熟练掌握求一次函数与坐标轴交点的方法，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 首先求出点，点，则，，当以，，为顶点的三角形与全等时，有以下两种情况：①当时，先证，当，则，，则，据此可得点的坐标；②时，过点作于，由于，因此当时，，，由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出，进而再求出，据此可得点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，，当时，， 点，点， ，， 当以，，为顶点的三角形与全等时， 则以，，为顶点的三角形是直角三角形， 因此有以下两种情况： ①当时，如图所示： ，， ，， ， 当时，，， ， 点的坐标为； ②时，如图所示：过点作于， 由①知， 当时，，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题 7．（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，直线的表达式为，且与x轴交于点A，直线的表达式为，且与轴交于点，直线，交于点C． (1)求A、C两点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在直线上存在一点P，使得，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，一次函数与坐标轴的交点，准确求出交点的坐标为解题关键． （1）根据直线与坐标轴的交点坐标特点求出交点坐标即可； （2）过点C作轴，求出两直线交点坐标，利用三角形面积公式进行求解即可； （3）设点，如图过点P作轴，表示出，结合已知求出b的值，代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A， ， ， ， 直线，交于点C ， 解得：， ； （2）如图，过点C作轴， ， ， ， ； （3）设点，如图过点P作轴， ， ， ， ， ， 或 当时，，解得：， 当时，，解得：， 或． 8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求、的长； (2)已知点，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，利用图象与坐标轴交点求法分别得出即可； （2）根据全等三角形的判定，以及的长度，得出对应边关系求出即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当，则； 当，则， ∴A点坐标为：，B点坐标为：； ∴； （2）解：， ， ，点D在x上； ， ， 点的坐标为或． 9．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点． (1)求点C的坐标； (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，利用数形结合的思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标． （2）先根据题意求出，设点，则，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的值，即可得出点D的坐标． （3）设点P的坐标为，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点B， 令得，， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴． （2）解：∵直线与x轴交于点A， 令得，， ∴， ∴， ∴， 设点，则， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， ∵，即， ， ，即 点的坐标为或． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，，满足． (1)直接写出直线的解析式为______； (2)如图1，已知，D为直线上一点，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P为线段上一点，过P作，交y轴于点Q，若直线将三角形的面积分割为3∶5的两个部分，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)：或 (3)点P的横坐标为或 【分析】本题考查的是非负数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，利用平方根的含义解方程，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. （1）根据非负数的性质先求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）如图，过作于，交轴于，作关于轴的对称点，连接交直线于，可得，证明，，可得，，同理可得直线为，直线为，再求解函数的交点坐标即可； （3）如图，设直线为，求解，可得，由，求解点P的横坐标为，结合，直线将三角形的面积分割为3∶5的两个部分，可得或，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：， 即点的坐标分别为 ， 设直线为， 将点的坐标代入一次函数表达式得： ，解得： ， 故直线的表达式为： （2）解：如图，过作于，交轴于，作关于轴的对称点，连接交直线于， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 同理可得直线为，直线为， ∴，解得：， ∴； 同理：，解得：， ∴， 综上：或； （3）解：如图， ∵，， ∴， ∵直线为， ∴设直线为， 当时，， ∴， ∴， ∵，解得， ∴点P的横坐标为， ∵，直线将三角形的面积分割为的两个部分， ∴或， ∴或， 解得：或， ∴或； ∴点P的横坐标为或； 11．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，，且满足，连接交轴于点C，在轴的负半轴上，过点作直线的平行线交轴于点． (1)求的值； (2)如图1，若轴上存在一点，使得三角形的面积为8，求出点的坐标； (3)如图2，点为直线上一点，使得．且点在第二象限（表示三角形的面积） ①求点的坐标；（提示：可以去思考一下与面积的关系 ②求点的坐标（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3) 【分析】本题考查了非负数的性质、一次函数的斜率与解析式、三角形面积的计算以及坐标与图形的性质．解题的关键是利用非负数的性质求出点的坐标，通过平行线斜率相等确定直线解析式，结合坐标法计算三角形面积并建立等量关系求解未知点坐标． （1）根据平方数和算术平方根的非负性，列出关于a、b的方程组并求解； （2）设出点P的坐标，利用三角形面积公式（以y轴上的线段为底，另一点横坐标绝对值为高）建立方程，求出P的坐标； （3）①先求出直线的斜率，利用平行线斜率相等得到直线的解析式，进而求出与y轴交点D的坐标；②求出的面积，根据面积关系列出关于点Q坐标的方程，结合直线的解析式表示出Q的坐标． 【详解】（1）解：且， ∴, 解方程组：两式相加得，得，将代入，得，则． ∴，； （2）解：由（1）知，，设在y轴上）．的长度为， 点B到y轴的距离为4， ∵， ， 即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 答：点P的坐标为或； （3）①解，，设直线的解析式为． ∴解得：， ∵，故设直线方程为，将点代入求得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴点D的坐标为． ②解：由①知，，， ． ， ． 直线的解析式为， 设． ， ∴， 代入直线解析式得， ∴点Q的坐标为． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06一次函数与三角形综合问题 ■目录 A题型建模·专项突破 题型一、一次函数与三角形的面积问题 题型二、一次函数与三角形全等问题 .8 题型三、一次函数与三角形存在问题.… 18 题型四、一次函数中折叠的综合问题 30 题型五、一次函数中旋转的综合问题… .38 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、一次函数与三角形的面积问题 1.(25-26八年级上·河南周口·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+2的图像分别交x轴、 y轴于点A,B,另一直线y=kx+b(k≠0)经过点CL,O),且把三角形AOB分成两部分. (1)如果把三角形AOB分成的两部分面积相等，求k和b的值； (②)如果把三角形A0B分成的两部分面积之比为1：5，求k和b的值. 2.(25-26八年级下·河北石家庄·期中)如图，直线的解析式为y=-x+2,1与x轴交于点B,直线Z经过 点D(0,5),与直线l交于点C(-1,m),且与x轴交于点A; OB (1)求点C的坐标及直线马的解析式： (2)求ABC的面积； 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ⊙已点P在直线L,若：8CP的面积是4C面别的子，直接写出点P的坐标 3.(25-26八年级上·全国·课后作业)几何直观在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三 3 角形叫作这个一次函数的坐标三角形.如下图，一次函数y=+6的图象与x轴y轴分别交于点E,F, 则△OEF为此函数的坐标三角形. E 求： ()该函数的坐标三角形的三条边长。 (2)△OEF的面积. 3 (3)原点0到直线y=4x+6的距离. 4.(25-26八年级上·山东枣庄·期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y,=x+2的图象与x轴，y轴 分别交于点A,B,y2=-。x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D,E,且两个函数图象相交于点C(m,5) 3 B (1)填空：m=-,b=- (2)求△ACD的面积； (3)在线段AD上是否存在一点M,使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由. 题型二、一次函数与三角形全等问题 5.(25-26八年级上·陕西西安·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(-4,0)、与y轴 交于点B(0,3). 2/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A (I)直线AB的函数表达式为 (②)若点C是直线AB上一点，点D是y轴上一点，当AOB与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C 的坐标， 6.(25-26八年级上江苏苏州月考)如图，直线y=c+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，01-号0B, 点C(x,y)是直线y=x+3上与A、B不重合的动点 B B 备用图 备用图 (I)求直线AB的解析式； (2)作直线0C，当A0B的面积被直线0C分成1：2的两部分时，求直线0C的解析式； (3)过点C作直线CD与y轴相交于D点，使△BCD与AOB全等，请直接写出所有符合条件的点C的坐标. 7.(24-25八年级下·广东阳江·期末)如图1，直线1与y轴交于点A0,2),与x轴交于点B(4,0),直线经 过点A,C(-1,0). C B 图1 图2 (1)求直线与马的函数解析式. (2)求ABC的面积 (3)如图2，P是线段AB上的一动点，Q是线段AC上的一动点，连接OP,O0,P2.若△PQA与△POO全 等，求点P的坐标 8.(25-26八年级上江苏无锡月考)如图：直线y=x+b与x轴、y轴分别交于A(-4,0)、B(0,3)两点， 点C(x,y)是直线y=+b上与A、B不重合的动点. 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y B 的 B 0 0 备用图1 备用图2 (I)求直线AB的解析式： (2)作直线0C,若△AOB的面积被直线0C分成1：2的两部分，求此时点C的坐标； (3)过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与AOB全等？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，说明理由 题型三、一次函数与三角形存在问题 9.(24-25八年级上贵州黔东南期中)已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A,一次函数y=+b的图象 经过点B(O,-1),与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C,D,且点D的坐标为L,). (1)求k,b,n的值 (2)求四边形AOCD的面积. (3)在x轴上是否存在点P,使得以点P,C,D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说出理由。 10.(25-26八年级上·四川成都期末)如图，已知直线4：y=x-4与x轴交于点A,直线2：y=2x+8与x轴， y轴分别交于点D和点B,且两直线交于点C,C点坐标为-8，m). A B B 备用图 (1)求k的值， (②)在y轴上是否存在一点P,使得△BCP与ABC面积相等？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明 理由. (3)直线AB上是否存在点Q,使得∠BDQ=45°.若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由. 10.(25-26八年级上江苏徐州期末)如图，直线：y=c+1与x轴交于点D,直线2：y=-x+b与x轴 交于点A,且经过定点B(-1,5),直线4与Z交于点C(2,m) 4/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B -10 (1)填空：k= ,b= m= (②)在x轴上是否存在一点E,使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由： (3)若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP,设点P的运动时间为t秒.是 否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 11.(25-26八年级上江苏苏州月考)如图，在平面直角坐标系中，直线4的解析式为y=-x,直线与4交 于点A-a,a,与y轴交于点B(0,b),且(a-2)+Vb-6=0. B 备用图 (1)求直线的解析式： (2)线段A0上是否存在点P,使得BP将△AB0的面积分为1：2两部分.若存在，请求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由： (3)射线A0上是否存在点M,使得∠AB0+∠MB0=45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理 由. 题型四、一次函数中折叠的综合问题 13.(24-25八年级上江苏南京·月考)一次函数y=kx+b(k≠0的图像与x轴、y轴分别相交于点A-8,0)和 点B(O,6).点C在线段AO上，如图，将aABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处. A C O (I)求直线AB的表达式： 5/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求AC的长. 14.(2025山东德州中考真题)如图，A-6,0),B(0,8),点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠， 点B恰好落在点B'(a,0)处 M A 0 (1)求a的值； (2)求直线AM的解析式： (3)若直线y=-x+t与直线AM的交点在直线x=a的左侧，请直接写出t的取值范围， 15.(25-26八年级上江苏·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A4,0),与y轴交于 点B(0,3. 2 -432-0123米 -4 (I)求直线AB的函数表达式： (2)点P是x轴上一点，连接BP,若△ABP的面积为6，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，将△ABP沿AP折叠，点B的对应点为点B,请直接写出点B的坐标. 16.(25-26八年级上·广东揭阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴、y轴分别相交于 点A-6,0)、B(0,8),C是线段OB上一点，将△OAC沿着AC折叠，点O落在点D,连接BD 6/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B O 备用图1 备用图2 (I)求直线AB的函数解析式： (②)若点D正好落在线段AB上，求点C的坐标； (3)若Sa4e= Sa,求点D的坐标. 题型五、一次函数中旋转的综合问题 17.(25-26八年级上重庆大渡口期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于 点A、B,线段AB的垂直平分线CE分别交AB、x轴于点E、C,ED⊥x轴于点D. (I)求点A、B的坐标和线段AB的长； (2)证明△A0B≌△EDC; (3)把直线AB绕着点B旋转45°后，与直线CE交于点P,求点P的坐标. 18.(25-26八年级上四川成都月考)如图1，直线l:y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线与 x轴交于点C(3,0),与y轴交于点D,与直线交于点E,且0D=20A. 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D B 图1 图2 (1)求直线☑的解析式： (2)点F在y轴上，过点F作x轴的平行线，交直线（于点M,交直线于点N,若MN=2,求点F的坐标； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移得到直线马，直线经过点C,将△AB0绕点A顺时针旋转α度 (0<a<135)得到△AB'0',在旋转过程中，射线AB',射线A0'分别交直线马于点P,Q,当△APQ为 等腰三角形时，直接写出点Q的坐标， 19.(25-26七年级上山东泰安·期末)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度 数为90°，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在 全等三角形 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA.过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E.试说明：△BEC≌△CDA; 【模型应用】如图2，已知直线y=2x+2与y轴，x轴分别交于A,B两点，以B为直角顶点在第二象限作 等腰Rt△ABC,求点C的坐标及直线AC的表达式： 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y=-4x+4与y轴交于点P,与x轴交于点Q,将直 线PQ绕P点沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R.求△PQR的面积. D BO 图1 图2 图3 20.(25-26八年级上·江苏苏州·周测)【提出问题】 (1)将一次函数y=-2x+2的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 【初步思考】 (2)将一次函数y=-2x+2的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式.数学 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点A(0,2),B(1,0),将它们沿着 x轴方向向左平移3个单位长度，得到点A,B的坐标分别为A ,B' 从而求出 经过点A,B的直线对应的函数表达式为 【解决问题】 (3)已知一次函数y=-2x+2的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B.将一次函数y=-2x+2的图象关于 x轴对称，所得图象对应的函数表达式为 ； 【深度思考】 (4)图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线y=-2x+2绕点A逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为 ②如图2，将直线y=-2x+2绕点A逆时针旋转45°.则所得图象对应的函数表达式为 【拓展应用】 (5)如图3，在平面直角坐标系x0y中，已知点A(2,0),点B(4,1),点C在第一象限内，若ABC是以 AB为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为 3 2 -,B B A 1234 1 1y=-2x+2 1=-2x+2 图1 图2 图3 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试)一次函数y=-3x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是 () A3 C.2 D.4 2.(24-25八年级上·四川达州阶段练习)若一次函数y=x+1与两坐标轴围成的三角形面积为3，则k为() A为 点名 C.1 6 n号 3.(24-25八年级下·福建泉州期末)如图，直线y=-2x+m上三点A,B,C的横坐标依次为-1,1,2， 分别过点A、B,C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为() 9/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 A. 2 B.3 C. D. 2m-2) 二、填空题 4.(2025八年级上全国.专题练习)一次函数y=2x+b的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则b的值 为」 5.(23-24八年级上江西九江·期中)如图，直线AB的解析式为y=-x+b分别与x,y轴交于A,B两点， 点A的坐标为(3，O),过点B的直线交x轴负半轴于点C,且OB:OC=3:1.在x轴上方存在点D,使以点A ,B,D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为一 B C 6.（245八年级上山东淄博阶段练习)如图，直线y=号x+4与x轴。y轴分别交于A,B两点，射线 AC⊥AB于点A,若点P是射线AC上一动点，点D是x轴上的一动点，若以A,D,P为顶点的三角形与 △AOB全等，则点P的坐标为 B C 三、解答题 7.(24-25八年级上·广西梧州阶段练习)如图，直线的表达式为y=-3x+3,且与x轴交于点A,直线2的 表达式为y=)x-6,且与x轴交于点B(4,0),直线4,2交于点C 10/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 珠 12 A B(4.0)x (1)求A、C两点的坐标： (2)求三角形ABC的面积； (3)在直线Z上存在一点P,使得S△ABP=2S△4Bc,请直接写出点P的坐标 8.(24-25八年级下黑龙江绥化期中)如图，直线y=-4x-4与x轴、y轴分别交于A、B两点. 31 3 C B (1)求OA、OB的长： (2)已知点C(0,3),在x轴上是否存在点D,使得以D、C、O为顶点的三角形与AOB全等？若存在，请直 接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由. 9.(24-25八年级下江西上饶期末)如图，直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C是OB的 中点. (1)求点C的坐标： 11/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)在x轴上找一点D,使得S。ACD=S。ABc,求点D的坐标； (3)点P在y轴上，且三角形AOB的面积是三角形A0P面积的2倍，直接写出点P的坐标. 10.(24-25八年级下·湖北武汉·期末)如图，Aa,0),B(0,b)满足√a-2+b-2d=0 B P 0 A 图1 图2 (I)直接写出直线AB的解析式为 (2)如图1，己知C(-4,0),D为直线AB上一点，若LACD=LAB0,求点D的坐标； (3)如图2，点P为线段AB上一点，过P作PQ⊥AB,交y轴于点Q,若直线PQ将三角形AB0的面积分割 为3：5的两个部分，求点P的横坐标。 11.(24-25七年级下·湖南长沙阶段练习)在平面直角坐标系中，A0,a),B(b,-1,且a,b满足 (a-b+12+√2a+b-10=0,连接AB交x轴于点C,E(-6,0)在x轴的负半轴上，过点B作直线AE的平行 线交y轴于点D. A C D 图1 图2 (1)求a,b的值； (2)如图1，若y轴上存在一点P,使得三角形ABP的面积为8，求出点P的坐标； (3)如图2，点Q为直线AE上一点，使得mS.AD0=S。DB·且点Q在第二象限(SADB表示三角形ADB的面积) ①求点D的坐标；（提示：可以去思考一下ADE与△ABE面积的关系 ②求点Q的坐标（用含m的式子表示）. 12.(24-25八年级上·河南郑州期中)【模型建立】 如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于点D,过点B 作BE⊥ED于点E,求证：△BEC≌△CDA. 12/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B C OE)C 图1 图2 【模型应用】 (1)如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、 y轴，若0B=2,0C=1,请解答下列问题： ①点C的坐标是 点A的坐标是 ②在x轴上存在点M,使得以O,A,B,M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标： (2)如图3，已知直线4：y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线4绕点B旋转45°至直线2， 求直线的函数表达式 B 图3 备用图 13/13