第二十三章 一次函数（单元自测·提升卷）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 本卷为八年级下册一次函数单元能力提升卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，结合社会热点与新定义题型，适配单元复习，培养数学抽象、推理及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一次函数定义（题1）、图像性质（题4）|新定义“倍联点”（题9）考查抽象能力| |填空题|6/18|平移（题13）、交点（题14）|菱形与函数结合（题15）体现几何直观| |解答题|9/72|实际应用（题22公交购买方案）、综合探究（题25矩形与函数）|“双碳”热点情境（题22）培养模型意识，动态几何（题24）发展推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十三章 一次函数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果函数的图像不经过第三象限，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴的交点 B．随着的增大而增大 C．图像经过第一、二、四象限 D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到 5．如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为．若直线与正方形的边有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 8．如图，已知点，动点在线段上，点按逆时针顺序排列，且，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为（    ） A．4 B．6 C． D． 9．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果当时，；当时，，那么称点为点的“倍联点”．例如：点的“倍联点”为，点的“倍联点”为．如果点是一次函数图象上点的“倍联点”，则的值为（    ） A．5 B． C．5或 D．或 10．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．当_____．时，函数是正比例函数． 12．已知点在一次函数的图象上，则______． 13．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 14．已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是3，则点的坐标为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知函数的图像经过点和 (1)求这个函数的表达式； (2)若点和都在这个函数的图像上，当时，试判断与的大小关系并说明理由． 18．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点 ，与轴相交于点，，点是直线上的一点． (1)求出直线的解析式； (2)如图，当的面积为9时，求点的坐标； 19．已知函数（是常数），回答下列问题： (1)当取何值时，该函数为正比例函数； (2)当取何值时，随的增大而增大； (3)若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 20．已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示． (1)求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距． 21．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 22．2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求．某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元． (1)求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？ (2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元． ①求总费用W关于a的函数关系式； ②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 23．综合与探究 【材料阅读】在平面直角坐标系中，对于点和点，若点Q的纵坐标满足： 则称点Q为点P的“关联点”． 例如：点“关联点”的坐标是，点“关联点”的坐标是． 【特殊感知】 (1)点“关联点”的坐标为______； 【问题解决】 (2)已知点在函数的图象上，点是点P的“关联点”： ①求关于x的函数解析式； ②若点Q的纵坐标为5，求点Q的横坐标； ③当时，的取值范围是，请直接写出m的取值范围． 24．如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 25．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十三章 一次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C A A B C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．2 12． 13． 14． 15． 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：将点和点代入得：， 解得：， ∴这个函数的表达式为；..................3分 （2）解：∵， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴， ∴．..................6分 18． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得：， ∴；..................3分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点是直线上的一点， ∴当时，； 当时，， ∴或；..................6分 19． 【详解】（1）解：对于y关于x的函数， ∵y是x的正比例函数， ∴且， 解得：．..................2分 （2）解：∵随的增大而增大， ∴， 解得：．..................4分 （3）解：∵该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故m的取值范围为．..................6分 20． 【详解】（1）解：由图可知，客车从甲地开到乙地需要， 即点的坐标为， 设客车返回时y与x之间的函数关系式是（）， 把，代入， 得，解得， 即客车返回时y与x之间的函数关系式是（）...................2分 （2）解：由函数图象得：货车速度为（） 设客车、货车两车相距时，客车行驶了， 根据题意，得或或， 解得，或，或. ∵两车第一次相遇后时间大于， ∴，或 ，. ∴两车第一次相遇后，再经过或，两车之间相距．..................6分 21． 【详解】（1）解：∵与成正比例， 设函数为， 将代入得：， 解得， ∴此函数解析式为：；..................2分 （2）解：∵点在函数图象上， ∴将坐标代入解析式得：， 解得：；..................5分 （3）解：∵， ∴将代入不等式得：， 整理，得．..................8分 22． 【详解】（1）解：设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元， 根据题意，得， 解得：． 答：购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元．..................3分 （2）解：①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆， 则：，即：； ②由题意可得， 解得：． 又∵，且a为整数， ∴，且a为整数，，故共有4种购买方案， 在中， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当a取最大值9时，W最小． （万元）， 答：购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元．.............8分 23． 【详解】（1）解：∵， ∴点“关联点”的坐标为；..................2分 （2）解：①∵点在函数的图象上， ∴， 当时，； 当时，； 综上，；..................4分 ②当时，，解得； 当时，，解得； 综上，点Q的横坐标为7或；..................6分 ③当时， 此时，则函数值随自变量的增大而减小， ∴， 当时， 若，此时，则函数值随自变量的增大而增大， ∴； ∵当时，， ∴当时，， ∵当时，的取值范围是， ∴，解得：．..................8分 24． 【详解】（1）解：∵矩形中， ∴，， 当点在上运动时，， ∴ ， ∵点在上运动， ∴自变量的取值范围为， ∴；..................3分 （2）解：当时，； 当时，； 当时，， ∴； 综上，；..................6分 （3）解：当时，由，解得； 由，解得， ∴的值为或；..................9分 （4）解：存在，理由如下： ∵， ∴当的面积等于矩形面积的时，， ∵时，， ∴存在，使得的面积等于矩形面积的．..................12分 25． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ，..................3分 ②点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点， 将点代入得：， 解得：；..................6分 （2）解：如图： 由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ；..................9分 （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，延长交轴于点，由轴得，轴， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或．..........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十三章 一次函数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③不是一次函数；④不是一次函数． 其中一次函数的个数是2个． 2．如果函数的图像不经过第三象限，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数的，直线必过二、四象限，只需根据“不经过第三象限”确定直线与y轴交点的范围，即可得到的取值． 【详解】解：∵在函数中，， ∴直线一定经过第二、第四象限， ∵直线图像不经过第三象限， ∴当时，函数为，图像过原点，仅经过第二、四象限，不经过第三象限，符合条件， 当时，直线与y轴正半轴相交，图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，符合条件， 当时，直线与y轴负半轴相交，图像经过第二、三、四象限，经过第三象限，不符合条件， 综上可得． 3．已知是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，结合两点横坐标的大小即可判断和的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而增大， 又， ． 4．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴的交点 B．随着的增大而增大 C．图像经过第一、二、四象限 D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到 【答案】C 【分析】根据一次函数的交点坐标求法、增减性、图象象限判断规律、平移规律，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．令，得，解得，因此图象与轴交点为，A错误，不符合题意． B． 一次函数中，随的增大而减小，B错误，不符合题意． C． ，，图象经过第一、二、四象限，C正确，符合题意． D． 的图象向上平移个单位长度得到，不是，D错误，不符合题意． 5．如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点坐标，再根据图象解答即可求解． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴， 由函数图象可知，当时，函数的图象位于函数的图象下方， ∴不等式的解集为． 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为．若直线与正方形的边有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到点，把代入，得到，根据一次函数的图象和性质，得到当时，直线与正方形的边有两个公共点． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标为， ∴，把代入得， ∴解得：， ∵直线，当时，， ∴直线通过定点， ∴当时，直线与正方形的边有两个公共点． 8．如图，已知点，动点在线段上，点按逆时针顺序排列，且，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】过作轴，过作轴交于点，过作轴交于点，证明，得到，，求出直线解析式为，则设，即可得到，再求出点从点运动到点时，点变化情况，最后计算运动的路径长． 【详解】解：过作轴，过作轴交于点，过作轴交于点，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 点， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ， ∴，， ∴点横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴点在直线上运动， 当在时，，； 当在时，，； ∴当点从点运动到点时，点运动的路径长为． 故答案为：B． 9．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果当时，；当时，，那么称点为点的“倍联点”．例如：点的“倍联点”为，点的“倍联点”为．如果点是一次函数图象上点的“倍联点”，则的值为（    ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】C 【分析】根据“倍联点”的定义，分点M横坐标 和 两种情况，结合点M在一次函数图象上列方程求解，验证结果是否满足范围条件即可． 【详解】∵点是点的倍联点， ∴点的横坐标为，设点的纵坐标为． 分两种情况讨论： 1． 当 ，即时，由倍联点定义得 ，即． ∵点在上，代入得 ， 化简得 ，解得，满足，符合条件； 2． 当 ，即时，由倍联点定义得 ，即． ∵点在上，代入得 ， 化简得 ，解得，满足，符合条件． 综上，的值为或． 10．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】D 【分析】先求得点M的坐标，进而求得的长，由函数图像可知，当时，直线l经过点A，得，可得，可判断选项A；由函数图像可知：当时，直线l经过点C，，，得的面积：，可判断选项B；由，可得直线的解析式为，可判断选项C；由，得当l经过点C时，由，得，得，可判断选项D． 【详解】解：A、令直线，解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图像可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ ∴点A的坐标为，故选项A正确； B、由函数图像可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：，即选项B正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴，即选项C正确； D、∵，， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．当_____．时，函数是正比例函数． 【答案】 2 【分析】先将函数解析式整理为一般形式，再根据正比例函数的定义列关系式求解即可 【详解】解：先整理函数解析式，， 函数 是正比例函数， ， 解得 12．已知点在一次函数的图象上，则______． 【答案】 【分析】由点P在一次函数图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴． 13．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的平移规律，得到平移后新直线的解析式，令求解的值，即可得到新直线与轴的交点坐标． 【详解】解：将直线沿轴向下平移个单位， ∴新直线的解析式为 轴上的点纵坐标为，令，得 解得 因此该新直线与轴的交点坐标是． 14．已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系，一次函数图象的交点坐标就是两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此可得到方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是3，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和一次函数的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】求出点B和点C的坐标，进而可求出点A的坐标，则可求出直线的解析式，再分两种情况：点在点下方和点在点上方，过点作交直线于，可证明是等腰直角三角形，通过一线三垂直模型构造全等三角形讨论求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ， ， ． ∵点A在x轴的负半轴上， ． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，当点N在点B的下方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作于点F，过点H作交直线于点E， 则， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵点M是的中点，，， ． 设，则， ， ， 解得， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作交直线于点F，过点H作于点E， 同理可证明， ， ∵点M是的中点，，， ． 设． ， ， ， ， ∴点坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知函数的图像经过点和 (1)求这个函数的表达式； (2)若点和都在这个函数的图像上，当时，试判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点和点代入得出关于k、b的方程组，然后解方程组，求出k、b的值，即可得出答案； （2）根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得：， 解得：， ∴这个函数的表达式为； （2）解：∵， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴， ∴． 18．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点 ，与轴相交于点，，点是直线上的一点． (1)求出直线的解析式； (2)如图，当的面积为9时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点是直线上的一点， ∴当时，； 当时，， ∴或； 19．已知函数（是常数），回答下列问题： (1)当取何值时，该函数为正比例函数； (2)当取何值时，随的增大而增大； (3)若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论． （2）根据随的增大而增大，可得，进一步可得答案． （3）根据y是x的一次函数，且图象经过二、三、四象限列不等式组，即可得到结论． 【详解】（1）解：对于y关于x的函数， ∵y是x的正比例函数， ∴且， 解得：． （2）解：∵随的增大而增大， ∴， 解得：． （3）解：∵该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故m的取值范围为． 20．已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示． (1)求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距． 【答案】(1) (2)两车第一次相遇后，再经过或，两车之间相距 【分析】（1）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （2）设客车、货车两车相距时，客车行驶了，分三种情况：其一是两车相遇前，两车相距；其二是两车相遇后客车到达乙地前两车相距；其三是货车静止，客车到达乙地后返程途中两车相距；列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，客车从甲地开到乙地需要， 即点的坐标为， 设客车返回时y与x之间的函数关系式是（）， 把，代入， 得，解得， 即客车返回时y与x之间的函数关系式是（）. （2）解：由函数图象得：货车速度为（） 设客车、货车两车相距时，客车行驶了， 根据题意，得或或， 解得，或，或. ∵两车第一次相遇后时间大于， ∴，或 ，. ∴两车第一次相遇后，再经过或，两车之间相距． 21．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先根据与成正比例设出函数式，代入求出，得到解析式； （）再将点代入解析式求出； （）最后把代入，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵与成正比例， 设函数为， 将代入得：， 解得， ∴此函数解析式为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴将坐标代入解析式得：， 解得：； （3）解：∵， ∴将代入不等式得：， 整理，得． 22．2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求．某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元． (1)求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？ (2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元． ①求总费用W关于a的函数关系式； ②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 【答案】(1)购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元 (2)①； ②共有4种购买方案，购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元 【分析】（1）设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元，根据“已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元”，列出方程组求解即可． （2）①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，根据总费用购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用，解答即可． ②由题意可得，结合，且a为整数，得出，且a为整数，，故共有4种购买方案， 在中，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元， 根据题意，得， 解得：． 答：购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元． （2）解：①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆， 则：，即：； ②由题意可得， 解得：． 又∵，且a为整数， ∴，且a为整数，，故共有4种购买方案， 在中， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当a取最大值9时，W最小． （万元）， 答：购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元． 23．综合与探究 【材料阅读】在平面直角坐标系中，对于点和点，若点Q的纵坐标满足： 则称点Q为点P的“关联点”． 例如：点“关联点”的坐标是，点“关联点”的坐标是． 【特殊感知】 (1)点“关联点”的坐标为______； 【问题解决】 (2)已知点在函数的图象上，点是点P的“关联点”： ①求关于x的函数解析式； ②若点Q的纵坐标为5，求点Q的横坐标； ③当时，的取值范围是，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②7或 ；③ 【分析】（1）根据“关联点”的含义即可完成； （2）①根据“关联点”的含义分与，即可求解； ②根据①所求即可求解； ③分及，根据的表达式及取值范围即可确定m的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴点“关联点”的坐标为； （2）解：①∵点在函数的图象上， ∴， 当时，； 当时，； 综上，； ②当时，，解得； 当时，，解得； 综上，点Q的横坐标为7或； ③当时， 此时，则函数值随自变量的增大而减小， ∴， 当时， 若，此时，则函数值随自变量的增大而增大， ∴； ∵当时，， ∴当时，， ∵当时，的取值范围是， ∴，解得：． 24．如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在， 【分析】（）根据三角形的面积公式及题意即可求解； （）分， 和解答即可求解； （）把代入（）所得的函数解析式解答即可求解； （）求出矩形的面积，可得当的面积等于矩形面积的时，，进而即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形中， ∴，， 当点在上运动时，， ∴ ， ∵点在上运动， ∴自变量的取值范围为， ∴； （2）解：当时，； 当时，； 当时，， ∴； 综上，； （3）解：当时，由，解得； 由，解得， ∴的值为或； （4）解：存在，理由如下： ∵， ∴当的面积等于矩形面积的时，， ∵时，， ∴存在，使得的面积等于矩形面积的． 25．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 【答案】(1)①，；②2 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）①先求出直线与轴交点，即可得到；②根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， ②点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点， 将点代入得：， 解得：； （2）解：如图： 由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，延长交轴于点，由轴得，轴， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十三章 一次函数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果函数的图像不经过第三象限，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴的交点 B．随着的增大而增大 C．图像经过第一、二、四象限 D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到 5．如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为．若直线与正方形的边有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 8．如图，已知点，动点在线段上，点按逆时针顺序排列，且，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为（    ） A．4 B．6 C． D． 9．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果当时，；当时，，那么称点为点的“倍联点”．例如：点的“倍联点”为，点的“倍联点”为．如果点是一次函数图象上点的“倍联点”，则的值为（    ） A．5 B． C．5或 D．或 10．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．当_____．时，函数是正比例函数． 12．已知点在一次函数的图象上，则______． 13．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 14．已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是3，则点的坐标为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知函数的图像经过点和 (1)求这个函数的表达式； (2)若点和都在这个函数的图像上，当时，试判断与的大小关系并说明理由． 18．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点 ，与轴相交于点，，点是直线上的一点． (1)求出直线的解析式； (2)如图，当的面积为9时，求点的坐标； 19．已知函数（是常数），回答下列问题： (1)当取何值时，该函数为正比例函数； (2)当取何值时，随的增大而增大； (3)若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 20．已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示． (1)求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距． 21．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 22．2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求．某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元． (1)求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？ (2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元． ①求总费用W关于a的函数关系式； ②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 23．综合与探究 【材料阅读】在平面直角坐标系中，对于点和点，若点Q的纵坐标满足： 则称点Q为点P的“关联点”． 例如：点“关联点”的坐标是，点“关联点”的坐标是． 【特殊感知】 (1)点“关联点”的坐标为______； 【问题解决】 (2)已知点在函数的图象上，点是点P的“关联点”： ①求关于x的函数解析式； ②若点Q的纵坐标为5，求点Q的横坐标； ③当时，的取值范围是，请直接写出m的取值范围． 24．如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 25．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $