第五章 图形的轴对称（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材北师大版七年级下册

第五章 图形的轴对称·拔尖卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 2．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线， 所以，， 所以， 所以， 所以． 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知为等边三角形，D是上一点，E是的延长线上一点，且．若的面积为8，则的面积为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，中，，D是边上一点，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质得到，设，则，由三角形的外角的性质得到，再根据三角形的内角和求得，据此计算即可得到结论． 【详解】解：因为， 所以， 设， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 由三角形内角和定理得，即， 解得， 所以． 5．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，，再根据折叠的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 解得， 即． 6．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（    ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．三线合一 D．等边对等角 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：因为是等腰三角形， 所以， 因为点O是的中点， 所以（三线合一）， 因为垂直地面， 所以平行地面，即房梁是水平的， 故选：C． 7．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：因为在中，，， 所以， 所以， 所以是等腰三角形； 因为平分， 所以， 所以，则是等腰三角形； 因为， 所以，则是等腰三角形； 因为平分， 所以， 所以，则是等腰三角形； 因为， 所以，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 8．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 9．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键；先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数． 【详解】解：因为平分，， 所以，， 因为， 所以， 因为垂直平分， 所以， 所以， 所以； 故选：B 10．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用．①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断；②求出和的度数，从而得出度数，据此可判断；③根据证明即可判断；④由即可判断． 【详解】解：因为为等边三角形，为等腰直角三角形， 所以，，，， 所以是等腰三角形，且顶角， 所以，故①正确； 因为，即， 所以， 所以，， 所以， 所以三个内角都不相等， 所以不是等腰三角形，故②错误； 由且知， 则， 在和中， ，，， 所以， 所以，故③正确； 因为是等边三角形， 所以， 因为， 所以， 所以，故④正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝16，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD＝4，则△ABD 的面积为_____． 【答案】32． 【分析】作 DE⊥AB 于 E，根据角平分线的性质求出 DE 的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作 DE⊥AB 于 E， 因为AD 平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， 所以DE＝DC＝4， 所以△ABD 的面积＝×AB×DE＝32， 故答案为：32 ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 12．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【答案】/112度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到，，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：因为点关于，的对称点， 所以，， 因为 所以， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，是等边三角形，若，，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用由等边三角形的性质证明，，再证明，，可得，再利用角的和差，从而可得答案. 【详解】解：因为是等边三角形， 所以，， 在与中，， 所以， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图，的边，均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长为______． 【答案】8 【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：8． 15．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ________ ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 16．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有_______个． 【答案】6 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可． 【详解】解：如图所示： C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故答案为: 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河南周口·月考）如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形得到，继而得到，然后证明，即可得到； （2）由全等三角形得到，而，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：因为和都是等边三角形， 所以， 所以，即， 在和中， ， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 因为，，， 所以． 18．（6分）（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）由题意可得，由可得，再证明即可证得； （2）由可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】（1）证明：，， ． ， ，即． 在和中， ． ． （2）解：， ． 所以在中， ． ， ． ， ． ． 19．（8分）（24-25七年级下·吉林长春·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别在图①、图②、图③中各画出一个与成轴对称的三角形，所画三角形的顶点均在格点上，且对称轴不同，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 先确定对称轴，再画出轴对称图形即可． 【详解】解：如图①中，即为所求； 如图②中，即为所求； 如 图③中，即为所求． 20．（8分）（2026·河北沧州·一模）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)若为的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）证明：因为， 所以，即， 在中， ， 所以； （2）证明：因为， 所以， 所以是等腰三角形， 因为为的中点， 所以， 所以是的中线， 所以． 21．（10分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况入手探索： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：______（填“>”、“<”或“=”）． (2)一般情况进行论证： 对原题中的一般情形，与的大小关系是：______（填“>”、“<”或“=”）． 理由如下：如图2，过点作，交于点．（请你完成以下证明过程） 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到、，易证得，从而得出结论； （2）过点作，交于点，得到是等边三角形，易证得，从而得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形、点为的中点， 、， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：，理由如下： 如图2，过点作，交于点， 、， 是等边三角形， ， ， ， ， 、， ， 在和中， ， ， ． 22．（10分）（24-25八年级下·山西太原·月考）操作与实践 (1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习： 第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点； 第二步：过点，作直线． 根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________． (2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目： 如图，已知线段，，求作，使，且，高． 请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (3)在（2）所作的图中，已知边上的高为，根据题意补全图形，则与的数量关系是________． 【答案】(1)垂直平分线 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等知识，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的三线合一是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； （2）先作射线，在射线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后在射线（或射线）上截取，连接即可得； （3）先根据等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质可得，，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：由线段垂直平分线的尺规作图可知，小桂作的直线是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线． （2）解：如图，即为所作． ． （3）解：由题意补全图形如下： 因为，， 所以，， 所以， 因为边上的高为，即， 所以， 所以， 故答案为：． 23．（12分）（24-25八年级上·河南周口·月考）如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段BE的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，把绕点A逆时针旋转得到，点D的对应点为点G，当点G落在的边上时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）等腰三线合一得到，再根据等角的余角相等即可求证； （2）根据互余关系得到，再证明即可； （3）可得是等边三角形，则，分两种情况：当点G落在边上时和当点G落在边上时，根据三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，D为线段的中点， ， ． ， ． ，， ． （2）证明：， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ． 在和中， ， ． （3）解：，， 是等边三角形． ， ，． 分两种情况： ①如图1，当点G落在边上时． ，， ， ； ②如图2，当点G落在边上时． ， ． ， ， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识点． 24．（12分）已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，求证：． (3)如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出，，再根据构建方程即可解决问题； （2）延长至H，使，连接，想办法证明即可解决问题； （3）结论：．想办法证明，推出，再证明即可． 【详解】（1）解：， ． ． ， ． ． ， ． ． ． （2）证明：如图，延长至点H，使，连接． 是的中线， ． 在和中 ，． ． ． ， ． ， ． 在和中 ． ． ， ； （3）解：结论：． 理由：由（2）得，，又点G为中点， ． 由（2）， ． 在和中， ． ，． 因为， 是等边三角形，，． ． ． 在和中， ． ． ， ． 在四边形中，． ． ． ． ． ． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 图形的轴对称·拔尖卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 2．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知为等边三角形，D是上一点，E是的延长线上一点，且．若的面积为8，则的面积为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，中，，D是边上一点，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（    ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．三线合一 D．等边对等角 7．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝16，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD＝4，则△ABD 的面积为_____． 12．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，是等边三角形，若，，，则的度数是______． 14．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图，的边，均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长为______． 15．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ________ ． 16．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有_______个． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河南周口·月考）如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 18．（6分）（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（8分）（24-25七年级下·吉林长春·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别在图①、图②、图③中各画出一个与成轴对称的三角形，所画三角形的顶点均在格点上，且对称轴不同，保留作图痕迹． 20．（8分）（2026·河北沧州·一模）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)若为的中点，求证：． 21．（10分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况入手探索： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：______（填“>”、“<”或“=”）． (2)一般情况进行论证： 对原题中的一般情形，与的大小关系是：______（填“>”、“<”或“=”）． 理由如下：如图2，过点作，交于点．（请你完成以下证明过程） 22．（10分）（24-25八年级下·山西太原·月考）操作与实践 (1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习： 第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点； 第二步：过点，作直线． 根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________． (2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目： 如图，已知线段，，求作，使，且，高． 请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (3)在（2）所作的图中，已知边上的高为，根据题意补全图形，则与的数量关系是________． 23．（12分）（24-25八年级上·河南周口·月考）如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段BE的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，把绕点A逆时针旋转得到，点D的对应点为点G，当点G落在的边上时，请直接写出的度数． 24．（12分）已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，求证：． (3)如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $