第五章 图形的轴对称（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材北师大版七年级下册

第五章 图形的轴对称·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）到钝角三角形三个顶点距离都相等的点在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．某一边上 D．以上都有可能 4．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，是的角平分线，若，则的面积是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 5．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使点A，D分别落在点，处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·北京海淀·期末）图1是一个的正方形网格纸，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： ①两人轮流将网格中的白色方格涂黑，每次涂一个格子； ②每次涂色需使涂色后网格中所有黑色方格构成轴对称图形，否则不可涂色； ③若一方无法涂色，则游戏结束，对方获胜． 如图2，甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格，则这局游戏的获胜者能涂黑的方格数最多为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．甲：，路程为，乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，D为的中点，，则______． 12．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 13．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． 14．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为__________． 15．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，若，则________ °． 16．如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形． 18．（6分）（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（8分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 20．（8分）（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 21．（10分）（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（10分）（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 23．（12分）（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是． (1)画出关于直线对称的图形；（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小； (3)连接、，计算四边形的面积． 24．（12分）（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题背景】（1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在中，，为上一点，是上一点，且．若，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，的面积为20，请直接写出四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 图形的轴对称·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图案沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形； 其他三个选项中的图案均不存在某条直线，图案沿这条直线对折后，直线两旁的部分不能够重合，故不是轴对称图形； 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质得出，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：因为与关于直线对称，， 所以， 因为， 所以． 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）到钝角三角形三个顶点距离都相等的点在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．某一边上 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．根据不同类型三角形三边垂直平分线的交点的位置即可判断结果． 【详解】解：因为到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 所以到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点， 因为钝角三角形的三边垂直平分线的交点位于三角形的外部． 所以该点在钝角三角形的外部． 4．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，是的角平分线，若，则的面积是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解 【详解】解：作，如图所示： 因为是的角平分线，，， 所以， 所以的面积， 故选：B 5．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理得到即可求出答案． 【详解】解：因为在等腰三角形中，是中线，， 所以，， 所以， 所以． 故选：C． 6．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的三边相等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等边三角形的周长求出边长，再利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出的长度． 【详解】解：因为为等边三角形，且周长为， 所以， 因为是的垂直平分线， 所以， 所以， 故选：． 7．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：B． 8．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使点A，D分别落在点，处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算相关知识点．值得注意的是，“折叠”前后的两个图形是全等形，这在初中数学几何部分应用的比较广泛，应熟练掌握． 根据“折叠”前后的等量关系可以得知和分别是1和1的角平分线，再利用平角是，计算求出． 【详解】解：因为 所以 因为将纸片沿折叠，使点A落在点处，点D落在点处， 所以平分，平分 所以 所以 故选：B． 9．（25-26八年级上·北京海淀·期末）图1是一个的正方形网格纸，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： ①两人轮流将网格中的白色方格涂黑，每次涂一个格子； ②每次涂色需使涂色后网格中所有黑色方格构成轴对称图形，否则不可涂色； ③若一方无法涂色，则游戏结束，对方获胜． 如图2，甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格，则这局游戏的获胜者能涂黑的方格数最多为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：如图： 甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格， 甲第次只能涂号方格， 当乙第次涂号方格时，甲第次只能涂号方格，游戏结束； 当乙第次涂号方格时，甲第次只能涂号方格，游戏结束； 最多次数是甲涂了次获胜； 故选：B． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．甲：，路程为，乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题关键．设的长度为，延长、，交于点，分别证明、、、是等边三角形，根据等边三角形的性质分别计算三人的路程并比较即可得答案． 【详解】解：设的长度为， 在甲图中，因为， 所以是等边三角形， 所以， 所以， 在乙图中，因为，， 所以、都是等边三角形， 所以，， 所以， 如图，在丙图中，延长、，交于点， 同理可证明是等边三角形， 所以， 因为，， 所以， 所以． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：因为，D为的中点， 所以，， 所以． 【点睛】注意掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 12．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以， 所以工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故答案为：等腰三角形的“三线合一”． 13．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：因为要使凉亭到草坪三条边的距离相等， 所以凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 14．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：因为是线段的垂直平分线， 所以， 因为是线段的垂直平分线， 所以， 所以的周长， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，若，则________ °． 【答案】130 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【详解】解：因为是等边三角形， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 故答案为：130． 16．如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 【答案】100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②因为∠ABC=25°，∠BAC=100°， 所以∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要掌握轴对称图形的性质及其对称轴的画法，根据轴对称图形的概念作图即可；掌握把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴成为解题的关键． 【详解】解：如图所示： 18．（6分）（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由等边三角形的性质可得的度数，据此可得答案． 【详解】（1）证明：因为是等边三角形， 所以， 又因为，， 所以； （2）解：因为， 所以， 因为是等边三角形， 所以， 所以． 19．（8分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）证明即可． 【详解】（1）解：射线即为所求； （2）解：如图， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以 20．（8分）（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 21．（10分）（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线、等边对等角、三线合一等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）连接，得，进而得，根据三线合一即可求证； （2）求出，推得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 因为是的垂直平分线， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 22．（10分）（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）证明：因为E为中点， 所以， 又，， 所以， 所以； （2）解：由（1），得，， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 所以． 23．（12分）（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是． (1)画出关于直线对称的图形；（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小； (3)连接、，计算四边形的面积． 【答案】(1)画图见详解； (2)点位置见详解； (3) 【分析】本题考查轴对称图形绘制、最短路径问题（轴对称性质）及图形面积计算，运用转化思想，关键是利用轴对称性质画图和找最短路径，易错点为对称点绘制不准确及面积计算时分割图形错误． （1）根据轴对称性质画对称点然后连接,得到对称图形； （2）利用轴对称性质找的对称点，连接其与交直线得； （3）分割四边形为三角形和梯形等计算面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：如图， 由图形可知四边形可以分成两个三角形； 即底是格，高是格，每格长度为， 则； 底是格, 高是格，每格长度为， ， 所以：． 24．（12分）（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题背景】（1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在中，，为上一点，是上一点，且．若，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，的面积为20，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）56 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角三角形，根据直角三角形的性质得出，利用证明三角形全等即可； （2）过点作，垂足为，借助（1）证明，得出，利用等角对等边得出等腰三角形，然后根据三线合一即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，过点作于点，借助（1）证明，得出相等的边，根据给出三角形的面积求出，表示出相关线段的长度，然后求出相关图形的面积即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ． ， ， ． 在和中， ； （2）如图1，过点作，垂足为． 同（1）得， ． ， ， ， ； （3）如图2，过点作，交的延长线于点，过点作于点． 同（1）得， ． ， 是等腰直角三角形， ． 的面积为20， ． ， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $