精品解析：江苏无锡市堰桥高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

无锡市堰桥高级中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 时间：120分钟 总分：150分 命题人： 审核人： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则复数z是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 D. 棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 3. 水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 4. 已知中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 在中，三条边分别为，若，则三角形的形状 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 6. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，则下列正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 当时，则向量在向量上的投影向量为 D. 若向量与向量夹角为钝角，则 的取值范围是 10. 设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最大值为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 存在点P，使得直线与共面 C. 的最小值为 D. 若M为线段上的动点，且平面．则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____． 13. 如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________. 14. 已知平面向量满足，且不等式对任意实数都成立，则的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若复数，为虚数单位． （1）当复数为纯虚数时，求实数的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 16. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 18. 如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P. （1）求中线的长； （2）若的平分线为，求的长； （3）求的余弦值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，即三角形中的费马点是唯一的，且当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点. （i）若，求； （ii）若，，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市堰桥高级中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 时间：120分钟 总分：150分 命题人： 审核人： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则复数z是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，则， ． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 D. 棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 【答案】D 【解析】 【详解】棱柱可能有多组平面平行，如正方体有三组平面平行，并非“有且仅有两个平面平行”，故A错误； 圆柱由矩形绕其一边旋转得到，任意四边形旋转不一定得到圆柱，故B错误； 只有当截面与圆锥底面平行时，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台，否则不是，故C错误； 棱台是由棱锥截得的，其侧棱延长线交于同一点，故D正确． 3. 水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 4. 已知中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理与大边对大角、小边对小角即可求解. 【详解】根据正弦定理，得，故， 因为，所以或， 又因为，所以，故. 故选：A. 5. 在中，三条边分别为，若，则三角形的形状 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据余弦定理可求得，可知为锐角；根据三角形大边对大角的特点可知为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形. 【详解】由余弦定理可得： 且 又，则 均为锐角，即为锐角三角形 本题正确选项： 【点睛】本题考查解三角形中三角形形状的判断，关键是能够利用余弦定理首先确定最大角所处的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用. 6. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，结合已知计算可求得，进而可求夹角． 【详解】因为， 所以，所以， 所以，因为， 所以，又因为，所以． 所以与的夹角为． 故选：A． 7. 已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化简，求出取值范围即可. 【详解】 如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系， 易知，，， 设，且，故，， 故，而，. 故选：C 8. 在中，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得，再根据余弦定理求得的长. 【详解】因为，所以由正弦定理， 得，所以. 因为，所以. 所以，即. 又，所以， 整理得，，即 因为，所以，所以. 所以，所以. 由余弦定理， 得，解得. 因为，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，则下列正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 当时，则向量在向量上的投影向量为 D. 若向量与向量夹角为钝角，则 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用坐标计算模判断A；利用单位向量的意义求解判断B；求出射影向量判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，与同向的单位向量，B正确； 对于C，当时，， 因此向量在向量上的投影向量为，C正确； 对于D，当时，，向量与方向相反，夹角为，不是钝角，D错误. 10. 设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共轭复数及复数模的意义求解判断A；利用复数乘法及模的意义求解判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；确定点的轨迹并求出最大值判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，， 而，因此，B正确； 对于C，，由，得，C错误； 对于D，由，即， 得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示点与点的距离，该距离最大值为，D正确. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 存在点P，使得直线与共面 C. 的最小值为 D. 若M为线段上的动点，且平面．则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体性质可知，再由线面平行定理可证明A正确，利用反证法假设存在点P，使得直线与共面，可得出结论与平面平面矛盾，因此B错误；以为旋转轴，将旋转到与平面共面，易知，再由余弦定理计算可得C正确，根据面面平行判定定理可证得平面平面，再由其性质可得平面，设，利用三角形相似以及二次函数性质可判断D正确. 【详解】对于A，如下图所示： 由正方体性质可知， 又平面，平面，所以平面，即A正确； 对于B，假设存在点P，使得直线与共面， 显然三点共面，若直线与共面，则可知点在平面内， 又P为线段上的动点，即在平面内， 因此可知点在平面与平面的交线上，显然这与平面平面矛盾，因此B错误； 对于C，以为旋转轴，将旋转到与平面共面，如下图所示： 易知，若要使取得最小值，只需连接交于点， 因此为，且， 在中，，所以， 即，所以的最小值为，可得C正确； 对于D，过点作交于点，过点作交于点，连接，如下图所示： 因为，平面，平面，所以平面； 又，平面，平面，所以平面； 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； 设，则， 显然， 所以， 所以当时，即时，取最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____． 【答案】（1，5） 【解析】 【分析】设出点D，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标． 【详解】设D（x，y）则 在平行四边形ABCD中 ∵ 又∵ ∴解得 故答案为：（1，5） 【点睛】本题考查向量的坐标的求法；相等向量的坐标相同． 13. 如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理列式求解. 【详解】在中，，则， 由正弦定理得，在中，， 则，在中，由余弦定理得， 所以A、B两个基站的距离为. 14. 已知平面向量满足，且不等式对任意实数都成立，则的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】对不等式两边同时平方后得到一个恒成立的不等式，通过构造二次函数，根据二次函数的恒成立问题列方程组求解即可. 【详解】对不等式两边同时平方得 ， 将代入后整理得. 令，则对任意实数都成立， 所以的图象开口向上，且， 即，即，解得，即. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若复数，为虚数单位． （1）当复数为纯虚数时，求实数的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为纯虚数，利用复数的概念，列出方程组，求得的值； （2）当时，得到，根据题意，得到是方程的一个根，结合方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. 【小问2详解】 解：当时，可得， 由复数是方程的一个根，则是方程的一个根， 解方程的两个根为和， 则，即，解得. 16. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 18. 如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P. （1）求中线的长； （2）若的平分线为，求的长； （3）求的余弦值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解. （2）利用三角形面积公式列式求解. （3）利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 在中，，由为的中点，得， . 【小问2详解】 由的平分线为，得，由， 得， 所以. 【小问3详解】 由是的中点，得， ， 所以的余弦值为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，即三角形中的费马点是唯一的，且当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点. （i）若，求； （ii）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正三角形的性质知其费马点为其中心，再利用正三角形性质求解； （2）（i）设，，，，，，利用三角形的面积得出，再由数量积的定义可得；（ii）利用余弦定理和勾股定理得出，再结合基本不等式可得结论. 【小问1详解】 由费马点的定义可得：即为该等边三角形的中心， 如图：过作于，则，，故，同理， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为. 【小问2详解】 （i）因为，由正弦定理，得， 且，所以得， 所以的三个角都小于，则由费马点定义可知，， 设，，，，，，由， 得，整理得， 则 （ii）由余弦定理得 ，， ， 由勾股定理得，， 即， 所以，即， 而，，，当且仅当时，等号成立. 设，则，解得或（舍去）， 故最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $