精品解析：江苏省锡山高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

江苏省锡山高级中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人 何鹏 刘伟 审核人 刘烨烨 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有1项符合题意. 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，点在边上，且，则（ ） A B. C. D. 3. 直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能 4. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设的内角所对的边分别为,若,则的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（ ） A 9π B. 10π C. 12π D. 14π 7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在△ABC中 ，，且，，若，则最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若．则 C 若，则 D. 若，则 10. 如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ） A. 正四棱锥的高为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的体积为 D. 一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 11. 在中，角，，的对边分别为a，b，c，面积为，有以下四个命题中正确的是（ ） A. 当，，时，解三角形有两解 B. 当，时，不可能是直角三角形 C. 当，，时，的周长为 D. 当，，时，若为的外心，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程. 12. 已知，则＝______. 13. 如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______. 14. 如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是______. 四、解答题：本题共5小题，共计77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 16. 如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 . （1）求三棱锥的体积； （2）求证：直线交于一点. 17. 如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点. （1）当时，求的值； （2）当时，求的取值范围. 18. 桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，15分钟后到达N点．在M点时测得A点位于北偏西方向上，B点位于北偏西方向上；在N点时测得A点位于北偏东方向上，B点位于北偏东方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为．设A点在地表水平面上的正投影为，B点在地表水平面上的正投影为，，，M，N在地表水平面上的分布如图2所示． （1）该山的高度为多少千米？ （2）已知该山的下底面圆的半径为km，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？ 19. 如图，中，，，点在线段上，为等边三角形. （1）若，，求线段的长度; （2）若，求线段的最大值; （3）若平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省锡山高级中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人 何鹏 刘伟 审核人 刘烨烨 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有1项符合题意. 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数z的代数形式，然后通过其对应的点可得点的位置. 【详解】， z在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 2. 在中，点在边上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及平面向量基本定理，用表示出即可． 【详解】解：如图，， 因为，所以， 所以， 故选：B． 3. 直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】借助长方体模型可判断直线与直线的位置关系. 【详解】如下图所示： 在长方体中，将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线相交； 将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线平行； 将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线异面. 综上所述，直线与直线相交、平行或异面. 故选：D. 4. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式可求投影向量. 【详解】在上的投影向量为， 故选：D 5. 设的内角所对的边分别为,若,则的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，利用正弦定理可知，易知，从而可得答案. 【详解】中，因为， 所以由正弦定理得：， 即， 又，所以，所以， 所以的形状为直角三角形， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关三角形形状的判断问题，涉及到的知识点有正弦定理，正弦函数和角公式，诱导公式，属于简单题目. 6. 如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（ ） A. 9π B. 10π C. 12π D. 14π 【答案】C 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，由于为定值，所以当平面时，三棱锥的体积取得最大值，从而可求出，进而可求出其侧面积. 【详解】设圆柱的底面半径为， 因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的母线长为， 因为为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径， 所以， 所以当点到平面的距离最大时三棱锥的体积取得最大值， 所以当平面时，三棱锥的体积取得最大值， 所以，解得， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：C 7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简后可得，再结合余弦定理和正弦定理化简可得，两者结合可得，最后由基本不等式可求最大值. 【详解】因为， 故， 整理得：，而为三角形内角，故， 故，但，故. 所以， 因为，故，所以， 所以，故， 故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2， 故选：B. 8. 在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，由此可知表示轴上一点到和的距离之和，由对称性即可得出答案. 【详解】由可得， 又因为，，所以， 建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 所以，， ， 所以， ， 表示轴上一点到和的距离之和， 所以求即， 关于轴的对称点为， 所以， 所以的最小值为， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若．则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数及模的意义判断ACD；由模的计算判断B. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 对于B，设，由，得， 则，因此，，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BD 10. 如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ） A. 正四棱锥的高为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的体积为 D. 一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，B错误； 对于C，该几何体的体积为，C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，D正确. 故选：ACD 11. 在中，角，，的对边分别为a，b，c，面积为，有以下四个命题中正确的是（ ） A. 当，，时，解三角形有两解 B. 当，时，不可能是直角三角形 C. 当，，时，的周长为 D. 当，，时，若为的外心，则的面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式、正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A：由正弦定理可得：，则， 所以，因为，所以，所以解三角形有一解，故A错误； 对于选项B：因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边， 则有，即，得，故选项B错误； 对于选项C，由，可得，由得， 由正弦定理得，，即， 所以，化简得， 因为，所以化简得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以， 因为，所以，， 所以的周长为，故选项C正确； 对于选项D，由C可知，为直角三角形， 且，，， ， 所以的外切圆的圆心为边的中点， 所以的面积为. 所以选项D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程. 12. 已知，则＝______. 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算化简，即可求出，即可得出答案. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为： 13. 如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______. 【答案】8 【解析】 分析】利用斜二测画法还原直观图即得. 【详解】由题可知， ∴，还原直观图可得原平面图形，如图， 则， ∴原平面图形的面积为. 故答案为：. 14. 如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是______. 【答案】1 【解析】 【分析】由题设可得，利用系数和为1结合等边三角形的高得为的中点，故可求的长度. 【详解】因为，故， 设，则，故共线， 且也共线，故即为，故， 故，故，而等边中边上的高为， 故，故， 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共计77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后由三角函数恒等变换公式化简可求出C的大小， （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求得三角形的面积 【小问1详解】 因， 所以由正弦定理得， 因为， 所以, 所以， 因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 由余弦定理得 ， 所以， 所以，解得， 所以 16. 如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 . （1）求三棱锥的体积； （2）求证：直线交于一点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出可得； （2）利用基本事实3可证三线共点. 【小问1详解】 连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. 【小问2详解】 在平面中，不平行，设， 则且，故平面 且平面， 故平面平面， 所以三线共点. 17. 如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点. （1）当时，求的值； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标表示即可得出答案; （2）由向量的线性运算求出，由点的轨迹求出的最大值和最小值即可得出答案. 【小问1详解】 由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 所以， 由，可得，所以， 所以. 【小问2详解】 ， 当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆， 所以， ， 所以的取值范围为：. 18. 桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，15分钟后到达N点．在M点时测得A点位于北偏西方向上，B点位于北偏西方向上；在N点时测得A点位于北偏东方向上，B点位于北偏东方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为．设A点在地表水平面上的正投影为，B点在地表水平面上的正投影为，，，M，N在地表水平面上的分布如图2所示． （1）该山的高度为多少千米？ （2）已知该山的下底面圆的半径为km，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合图形求解可得高度； （2）由正弦定理求得底面半径，再根据圆台侧面积和底面积公式求得表面积即可. 【小问1详解】 由题意可知， ∴，在中，由正弦定理，， 所以，即， 又∵N点观测A时仰角的正切值为，， 所以该山的高度为千米． 【小问2详解】 设的外接圆为圆O，∵，， 又由题意可知，所以， 所以， 所以， 所以根据圆的性质，，，M，N四点共圆， 在中，由正弦定理圆O直径为， 在中，由正弦定理， 延长与圆台交于C点，由题意下底面圆半径为km， 圆台的母线长BC可在直角中由勾股定理得： ． 圆台的侧面积， 圆台的上底面面积， 所以侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米． 19. 如图，中，，，点在线段上，为等边三角形. （1）若，，求线段的长度; （2）若，求线段的最大值; （3）若平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用向量表示,再根据已知条件求即可； （2）由（1）可知，通过向量运算得，两边同时平方，由向量的数量积运算即可； （3）根据角平线的性质得出，在，中，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据的范围即可求出结果. 【小问1详解】 因为,, 所以, 即, 所以, 所以. 小问2详解】 由（1）可知， 所以, 设,且为等边三角形， 所以， 即， 故， 且， 所以当时，， 所以. 【小问3详解】 因为平分, 所以由角平分线定理得,即, 故 设，，的内切圆半径分别为, 在中,则，解得， 因为, 所以, 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 又因为, , 所以， 令，则， 因为，所以， 则，故，， 即，故, 所以与的内切圆半径之比的范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理、向量模的运算以及通过余弦定理、面积公式解三角形，第三问解题的关键由角平线的性质得出，在，中，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据的范围即可求出结果，计算比较复杂. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$