第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（   ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【解题思路】根据分布列的性质可得的值，再根据随机变量求解概率即可. 【解答过程】由题可得，解得， 所以. 故选：A. 2．（5分）（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【解答过程】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 3．（5分）（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 【答案】C 【解题思路】计算出，从而估计出单果质量不低于70g的猕猴桃个数. 【解答过程】，， 又， 故， 估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为. 故选：C. 4．（5分）（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【解题思路】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解. 【解答过程】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 5．（5分）（24-25高二下·福建福州·期中）随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【解答过程】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B. 6．（5分）（2025高二·全国·专题练习）设，随机变量的分布列如表． 0 1 2 P 则当p在内增大时，下列说法正确的是（    ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【解题思路】设，求出随机变量的数学期望得方差 ，再利用二次函数的单调性可得答案. 【解答过程】设，随机变量的数学期望； 方差 ， 所以时，单调递增，时，单调递减， 所以先增大后减小． 故选：D． 7．（5分）（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【解题思路】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【解答过程】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 8．（5分）（24-25高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·云南曲靖·期末）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【解题思路】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【解答过程】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴ ，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 10．（6分）（24-25高二下·广东深圳·月考）有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】对于选项A，由条件概率公式即可求解；对于选项B，利用事件，事件相互对立及条件概率公式即可求解；对于选项C，由全概率公式和条件概率公式即可求解；对于选项D，根据选项C和条件概率即可求解. 【解答过程】因为是等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球， 所以由古典概型的概率公式和相互独立事件的概率公式可得： ， ，，. 对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立， 所以，故选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式和条件概率公式可得： ， 所以选项C正确； 对于选项D，由选项C知， 则，故选项D正确. 故选：ACD． 11．（6分）（24-25高二下·湖北黄石·月考）已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，现从中逐个摸取3个小球.方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为X；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为Y．下列说法中，正确的有（   ） A．， B． C．，其中 D． 【答案】ABD 【解题思路】分别分析方案一、二，根据服从二项分布、超几何分布的概率公式、期望、方差公式计算，逐项分析得解. 【解答过程】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为，摸3次球， 则取得红球个数，∴，，选项A正确； 选项C，方案一中，， 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数Y服从超几何分布，则，． 当时，∴，，，故选项C错误； 选项B，由二项分布及超几何分布的期望公式，，故选项B正确； 选项D，，， 得，故选项D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·重庆渝中·月考）某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人. 【答案】160 【解题思路】根据正态曲线的对称性求出，再乘以1000可得结果. 【解答过程】∵考试的成绩服从正态分布， ∴考试的成绩X关于对称， ∵， ∴， ∴该年级数学成绩在120分以上的人数为． 故答案为：160. 13．（5分）（24-25高一下·江西宜春·期末）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为__________. 【答案】 【解题思路】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，根据条件求出，，，，利用全概率公式，即可求解，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【解答过程】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·广东清远·期末）小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有且只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为__________. 【答案】38 【解题思路】根据题意可知“任意取出2只信鸽，这两只信鸽的品种相同”的概率为，进而列出等式可求出n的值，进而根据题意可知的可能取值，求出其分布列，进而可求数学期望. 【解答过程】设“任意取出2只信鸽，这两只信鸽的品种相同”为事件， 则， 整理得，解得或（舍去）， 所以李种鸽有3只，蓝鸽有4只， 所以的所有取值为， 且 ， 所以. 故答案为：38. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·宁夏银川·月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设事件，由条件概率的公式求得对应概率； （2）设事件，由全概率的公式求得对应概率. 【解答过程】（1）设“甲罐中取出黑球”为事件，乙罐中取出红球为事件， ∴由题意得， ∴在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率为. （2）设“甲罐中取出红球”为事件，“甲罐中取出白球”为事件， 由题意可知事件两两互质， ∴. ∴乙罐中取出红球的概率. 16．（15分）（24-25高二下·广东佛山·期中）甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球． (1)若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； (2)现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列； （2）设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”，结合全概率公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由题意，随机变量的可能取值为， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 （2）解：设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”， 则，，彼此互斥，且， 可得， 且， 所以 17．（15分）（24-25高二下·广东江门·月考）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64 (2)1587 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）利用频率分布直方图求出样本平均数. （2）由（1）可得，利用正态分布的对称性求出，进而求出学生人数. （3）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望. 【解答过程】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 18．（17分）（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，； (2)，理由见解析. 【解题思路】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【解答过程】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则 ， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 19．（17分）（24-25高二下·海南·月考）有50杯无色透明的液体，其中有48杯清水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测． (1)若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率； (2)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)在（2）的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为，试判断与的大小． 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3) 【解题思路】（1）说明检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的情况，利用排列组合和古典概型的计算公式求解即可； （2）依题意，第一轮需检测10次，若2杯盐水在同一组内，则第二轮需检测5次，若2杯盐水在不同组内，则第二轮需检测10次，由此可得的可能取值，依次算出的每个可能取值所对应的概率，即可得的分布列，再由公式计算数学期望； （3）根据（2）的方法计算出的分布列和数学期望，进行比较即可. 【解答过程】（1）依题意，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到，意味着前9次检测出1份含盐水样本和8份清水样本，第10次检测出剩下的1份含盐水样本， 从2份含盐水样本中选1份含盐水样本，组合数为， 从8份清水样本中选8份清水样本，组合数为， 前9次检测的排列数为，总的10次检测的排列数为， 根据古典概型概率计算公式，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率为：. （2）依题意，的可能取值为， ， ， 得的分布列为： 15 20 得的数学期望. （3）依题意，的可能取值为， ， ， 得的分布列为： 15 25 得的数学期望. . 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（   ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．（5分）（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 4．（5分）（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 5．（5分）（24-25高二下·福建福州·期中）随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2025高二·全国·专题练习）设，随机变量的分布列如表． 0 1 2 P 则当p在内增大时，下列说法正确的是（    ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 7．（5分）（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 8．（5分）（24-25高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·云南曲靖·期末）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 10．（6分）（24-25高二下·广东深圳·月考）有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高二下·湖北黄石·月考）已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，现从中逐个摸取3个小球.方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为X；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为Y．下列说法中，正确的有（   ） A．， B． C．，其中 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·重庆渝中·月考）某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人. 13．（5分）（24-25高一下·江西宜春·期末）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为__________. 14．（5分）（24-25高二下·广东清远·期末）小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有且只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·宁夏银川·月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 16．（15分）（24-25高二下·广东佛山·期中）甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球． (1)若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； (2)现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 17．（15分）（24-25高二下·广东江门·月考）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 18．（17分）（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 19．（17分）（24-25高二下·海南·月考）有50杯无色透明的液体，其中有48杯清水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测． (1)若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率； (2)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)在（2）的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为，试判断与的大小． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $