第8章 概率（高效培优单元自测·提升卷）数学苏教版高二选择性必修第二册

第8章 概率（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据给定条件，黑球个数X服从超几何分布，再借助超几何分布的期望公式计算作答. 【解析】依题意，取出3球中黑球个数X为随机变量，，X服从超几何分布， 所以黑球个数数学期望是. 故选：C 2.已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案. 【解析】由知，可知，故，故成立； 反之，若，则，故为充要条件， 故选：C. 3.已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先根据二项分布的期望公式求出的值，再根据二项分布的概率公式计算. 【解析】已知随机变量，根据二项分布的期望公式， ，可得.解得. 由，，根据二项分布的概率公式，可得. 故选：A. 4.盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，根据题意可得，结合全概率公式运算求解. 【解析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B， 则， 所以. 故选：B. 5.已知随机变量服从两点分布，且，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【分析】利用两点分布的期望公式判断A，方差公式判断B，利用两点分布的期望性质判断C，利用两点分布的方差性质判断D即可. 【解析】因为随机变量服从两点分布，所以， 对于A，由两点分布的期望公式得，故A正确， 对于B，由两点分布的方差公式得，故B错误， 对于C，由两点分布的性质得，故C正确， 对于D，由两点分布的性质得，故D正确. 故选：B 6.不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】当时，的可能取值为1，2，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差；当时，η可取1，2，3，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差，再比较即可得解得. 【解析】当时，ξ的可能取值为1，2， ，， 因此，； 当时，的可能取值为1，2，3， ，，， 因此，， 所以，. 故选：A 7.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【解析】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：D. 8.袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球， 分别求出利用条件概率公式即可求解. 【解析】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，则,， 所以 所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，若，则 B. 若随机变量X 的分布列为 ，则 C. 已知X 是随机变量，则. D. 随机变量 ，若，则图象关于点 成中心对称 【答案】ACD 【分析】利用正态分布的性质判断AD；利用超几何分布的期望公式计算判断B；利用方差计算公式推理判断C. 【解析】对于A，由，，得，A正确； 对于B，由，得服从超几何分布，，B错误； 对于C，方差，因此，C正确； 对于D，随机变量 ，则分布函数满足， 因此图象关于点 成中心对称，D正确 故选：ACD 10.若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 【答案】BD 【分析】利用正态分布密度曲线的性质及原则、密度函数解析式一一分析选项即可. 【解析】 由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大， 即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高， 则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线， 易知，故A错误； 由原则可知，故B正确； 根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：， ，建立方程， 整理可得， 则，故C错误； 易知，故D正确. 故选：BD 11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 【答案】BCD 【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得，则，所以，根据相互独立满足的公式即可判断A，结合基本不等式即可求解C,根据条件概率即可求解D. 【解析】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.某一随机变量X的分布列如下表，且，则______. X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 【答案】8 【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而结合期望公式可求得，进而得到. 【解析】由题意，得，解得， 所以， 所以. 故答案为：8. 13.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为___________. 【答案】 【分析】应用全概率公式计算求解. 【解析】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 14.某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为，则＝______ 【答案】 【分析】要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概率将球传给甲，有，设，可求得，从而有是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，代入可求得. 【解析】解：要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概率将球传给甲， 所以，即， 设，则，所以， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设事件，由条件概率的公式求得对应概率； （2）设事件，由全概率的公式求得对应概率. 【解析】（1）设“甲罐中取出黑球”为事件，乙罐中取出红球为事件， ∴由题意得， ∴在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率为. （2）设“甲罐中取出红球”为事件，“甲罐中取出白球”为事件， 由题意可知事件两两互质， ∴. ∴乙罐中取出红球的概率. 16.从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了8人，其中打算生二胎的有3人，不打算生二胎的有5人． （1）从这8人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这8人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）分布列见解析，期望1.125 （2）分布列见解析，期望1125 【分析】（1）由题可知服从超几何分布，的取值为0,1,2,3.则的分布列和数学期望易求： (2)由题意可知服从二项分布，且，则机变量的分布列和数学期望.可求 【解析】（1）由题意知， 的值为0,1,2,3. ， ， ， . ∴的分布列为: 0 1 2 3 ． （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为P=，=0,1,2,3. 且. . 的分布列为： 0 1 2 3 ． 17.小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 【答案】(1) (2)小李应选择路线1，理由见解析. 【分析】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件，由题意可得，进而由条件概率公式可求结果； （2）分别求得条路线的情况下的数学期望，设路线累计增加时间的随机变量为，则，可求期望，路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为，进而求得，，进而求得期望，比较可得答案. 【解析】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件， ，则， 则小李在路上遇到了红灯的情况下，小李在第一个路口就遇到了红灯的概率为； （2）设路线累计增加时间的随机变量为，则，所以， 设路线第个路口遇到红灯为事件，则， 设路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为， 则， ，所以． 因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小， 小李应选择路线1． 18.近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 【答案】(1)①；②； (2)28 【分析】（1）①根据相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可；②利用条件概率公式及性质计算即可. （2）由已知可推得，根据已知以及正态分布的对称性，可求得，则服从二项分布，利用二项分布概率最大值的求法计算可得结果. 【解析】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为： ． ②证明：由题意，所以，所以， 因为， 所以， 即， 所以，即，所以． （2）由已知得： ， 因为， 所以服从二项分布，， 设， 由得，即， 解得，由得， 所以的估计值为28． 19.某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置． 则一轮游戏结束． （1）求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； （2）求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望； （3）在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 【答案】（1） （2）1 （3） 【分析】（1）根据题意，在1号手中放入红卡，取出黑卡满足题意，再求解对于概率即可； （2）先根据全概率公式，建立递推关系，求得对任意号学生抽取卡片后手中有两张红卡和一张黑卡的概率为，，再求号手中红卡个数的取值及对应概率，并求解期望即可. （3）由题可知，一轮游戏后至少还有个学生未被淘汰”，其中，进而结合（2）得一轮后单个学生不淘汰的概率为，根据未被淘汰的人数二项分布求得，二轮结束后人中剩1人未被淘汰的概率为：，最后结合组合恒等式，全概率公式求得即可. 【解析】（1）记“一轮游戏结束后1号手中有两张红卡”， 若要1号手中是两张红卡，则应从在1号手中放入红卡，取出黑卡 所以， 所以一轮游戏结束后，1号学生恰有两张红卡的概率为； （2）记“抽取卡片后号学生手中有两张红卡和一张黑卡”， “从号手中取出的卡为红卡”， 所以，， ，， 则由全概率公式可得： 则，故， 又，所以，， 假设一轮游戏结束后，号手中红卡个数为，可能取值为， ， ， ， 所以. （3）由题可知，一轮游戏后至少还有两位学生未被淘汰， 记“一轮游戏后剩个学生未被淘汰”，其中， 记“两轮游戏后恰好剩一个学生未被淘汰”， 则， 由（2）知，每个学生，一轮后最终卡片的状态概率为： 两红的概率；两黑的概率， 所以，单个学生被淘汰的概率均为，不淘汰的概率为 故一轮结束后，未被淘汰的人数服从二项分布， 所以，， 第二轮结束后，人中剩1人未被淘汰的概率为：， 所以， 由全概率公式得： 因为， 因为， 所以 所以比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 概率（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（ ） A. B. C. D. 2.已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4.盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 5.已知随机变量服从两点分布，且，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C D. 6.不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 7.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 8.袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，若，则 B. 若随机变量X 的分布列为 ，则 C. 已知X 是随机变量，则. D. 随机变量 ，若，则图象关于点 成中心对称 10.若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.某一随机变量X的分布列如下表，且，则______. X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 13.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为___________. 14.某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为，则＝______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 16.从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了8人，其中打算生二胎的有3人，不打算生二胎的有5人． （1）从这8人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这8人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 17.小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 18.近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 19.某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置． 则一轮游戏结束． （1）求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； （2）求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望； （3）在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $