专题01 随机变量及其分布全章10大重点题型归纳（必考50题专项训练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

专题01 随机变量及其分布全章10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 条件概率  1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】计算出，根据概率的基本性质得到，从而求出，，利用条件概率求出答案. 【解答过程】由题意得，故， ， 又，故，解得， 所以， 故， 由条件概率公式得. 故选：B. 2．（24-25高二下·湖南湘西·期末）在一次投篮比赛中，小明同学连续投篮3次，若前一次投中，则后一次投中的概率为前一次投中概率的2倍；若前一次未投中，则后一次投中的概率与第一次投中的概率相同．已知他第一次投中的概率为，则在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设“第二次投中”为事件，“第三次投中”为事件，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【解答过程】根据题意，设“第二次投中”为事件，“第三次投中”为事件， 则，， 所以， 即在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为． 故选：A． 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某高校两名学生准备从、、、、、这门选修课程中任选门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了门相同课程的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【解答过程】记事件这两名学生在所选课程中有相同课程，事件这两名学生恰好选择了门相同课程， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：B. 4．（24-25高二下·重庆·期末）某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是__________. 【答案】 【解题思路】根据条件概率计算公式进行计算即可. 【解答过程】设事件“从8道题中抽4道题，第一题不会答”，事件“从8道题中抽4道题，至少有2道题会答”.， 则， 所以该生在第一题不会答的情况下及格的概率为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·宁夏银川·月考）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，由古典概型概率公式求出，，然后由条件概率公式可解； （2）记“挑选的2人一男一女”为事件C，由古典概型概率公式求出，，然后由条件概率公式可得. 【解答过程】（1）从7名成员中挑选2名成员，共有种情况， 记“男生甲被选中”为事件A，所包含的基本事件数为种，故. 记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则， 故. （2）记“挑选的2人一男一女”为事件C， 事件C所包含的基本事件数为种， 由（1），则，则， 故. 题型2 全概率公式 6．（24-25高二下·四川资阳·期末）已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球，记事件从乙箱中取出的球是黑球，利用全概率公式可求得的值. 【解答过程】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球， 记事件从乙箱中取出的球是黑球，则，，，， 由全概率公式可得. 故选：D. 7．（24-25高二下·河南周口·期末）某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据全概率公式进行计算. 【解答过程】设事件表示“抽取人购买了纪念品”，事件表示“抽取人来自上午场”，事件表示“抽取人来自下午场”. 已知上午场人数占比为60%，即,则下午场人数占比为. 上午场每人购买纪念品概率为，即;下午场每人购买纪念品概率为，即. 根据全概率公式：， 代入上述概率值得：. 故选：A. 8．（24-25高二下·贵州遵义·月考）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用全概率的计算公式即可求. 【解答过程】分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是白球， 依题意，，，， 所以. 故选：D. 9．（24-25高二下·江西宜春·月考）在一个名为“奇幻冒险岛”的游戏中，玩家可以选择战士、法师和猎人这三种不同的角色．根据游戏设定，一名玩家选择战士、法师和猎人的概率分别为0.4，0.3，0.3，每种角色在进入游戏后，都有可能触发“神秘宝藏”事件．已知战士、法师和猎人触发“神秘宝藏”事件的概率分别为0.2，0.5，0.1，现在随机选择一名玩家进入游戏，则该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为_________． 【答案】0.26 【解题思路】由全概率公式计算求解. 【解答过程】设事件“玩家触发神秘宝藏”，事件“玩家选择战士”，事件“玩家选择法师”，事件“玩家选择猎人”， 根据题意，有 ， 根据全概率公式，得 ， 因此，随机选择一名玩家，该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为0.26． 故答案为： 0.26. 10．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家制造厂的产品在仓库中是均匀混合的且无区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求该次品是由丙制造厂提供的概率. 【答案】(1)0.014 (2) 【解题思路】（1）根据已知条件和全概率公式可求得结果. （2）根据条件概率公式即可求出答案. 【解答过程】（1）A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”， 表示“取到的元件是由乙制造厂提供的”，表示“取到的元件是由丙制造厂提供的”， 则，，， ，，， 由全概率公式得： ． （2）该元件出自丙工厂的概率为. 题型3 利用随机变量分布列的性质解题 11．（24-25高二下·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（   ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【解题思路】根据分布列的性质可得的值，再根据随机变量求解概率即可. 【解答过程】由题可得，解得， 所以. 故选：A. 12．（24-25高二下·河南·月考）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 0.2 A．0.56 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【答案】B 【解题思路】根据分布列的性质列式计算求解. 【解答过程】由分布列的性质知，即， 解得（舍）. 故选：B. 13．（24-25高二下·福建福州·期中）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件，利用分布列的性质得到，即可求解. 【解答过程】由题知，解得，所以， 又， 故选：B. 14．（24-25高二下·山西吕梁·期中）设离散型随机变量的分布列如右表，若随机变量，则_________． X 0 1 2 3 4 P 【答案】 【解题思路】利用分布列性质计算可得，再由和事件即可求得其概率. 【解答过程】易知，解得； 由可得或， 所以. 故答案为：. 15．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用离散型随机变量分布列的性质可求得的值； （2）由计算可得结果. 【解答过程】（1）根据分布列的性质，所有概率之和等于1，即：， 将题目给出的概率公式代入，得：， 化简计算：，通分得到：，解得：. （2）， 将的值代入概率公式，得： ，所以. 题型4 分布列与其他知识的交汇问题 16．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列. 【解答过程】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 17．（24-25高二下·广东茂名·期中）近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求得的值； （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为，得到行驶里程在和抽取的车辆数，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解； 【解答过程】（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得. （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为：， 若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆， 在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆， 由题意知，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 18．（24-25高二下·山东·期中）数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照分组，得到如下的频率分布直方图. (1)估计中国大模型用户年龄的第60百分位数. (2)为了进一步了解用户在工作中使用.模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. ①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列. 【答案】(1)40； (2)①；②分布列见解析. 【解题思路】（1）根据百分数的计算公式即可得到答案； （2）①根据对立事件和古典概型的计算公式即可得到答案；②写出的可能取值，再分别求出其概率即可. 【解答过程】（1）AI大模型的用户年龄在，，，，内的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.15，0.05， 所以AI大模型用户年龄的第60百分位数在内. 设AI大模型用户年龄的第60百分位数为， 则，解得， 所以估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40. （2）由分层抽样可知，抽取的7名用户中年龄在内和内的分别有3人和4人. ①记至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼为事件， 则，所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为. ②的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 19．（24-25高二下·重庆南岸·期中）2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立． (1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？ (2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1)，， (2) (3)分布列见解析 【解题思路】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求解； （2）利用甲、乙、丙三人都进入决赛的概率之积列方程求解即可； （3）利用分类计算三人相互独立事件发生概率之积来求分布列即可. 【解答过程】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为. （2）因为甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为， 则， 整理得，解得或， 因为，所以. （3）由（2）知，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为，，， 根据题意可得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 可得； ， ， 则， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 20．（24-25高二下·福建漳州·期末）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．      (1)求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 【答案】(1)120；120 (2)答案见解析 (3)来自班的概率为，来自班的概率为． 【解题思路】（1）根据统计学中的箱型图的规定，易得班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； （2）由题意确定的可能取值，利用古典概型概率公式求出对应的概率值，列出分布列即可； （3）设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分，利用全概率公式先求出，再利用贝叶斯公式求和即可. 【解答过程】（1）由两个班级的成绩箱型图可知，A班的上四分位数与B班的中位数均为120. （2）依题意的可能取值为，，， 所以， ，， 所以的分布列如下 0 1 2 3 （3）设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分， 由成绩箱型图可得，，，， 由全概率公式， ， 故由贝叶斯公式，， 即该同学来自班的概率为，来自班的概率为． 题型5 均值、方差的性质 21．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【解答过程】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A. 22．（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 23．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解. 【解答过程】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则 ，， 所以 ，． 故选：A. 24．（24-25高二下·山东滨州·期末）随机变量X的分布列如下，则__________． X 0 1 2 P 0.3 0.3 【答案】 【解题思路】利用分布列的性质，求出值，再利用期望、方差的定义计算作答. 【解答过程】依题意： . 所以， 所以 . 所以. 故答案为：. 25．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用方差和期望的公式可求得结果. （2）利用均值和方差的性质求解. 【解答过程】（1）， . （2）因为， 所以， . 题型6 离散型随机变量的均值与方差 26．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（   ） A．m B．2 C．1 D． 【答案】D 【解题思路】先根据分布列的性质求得，然后根据期望公式求解即可. 【解答过程】由，得， 所以． 故选：D. 27．（24-25高二上·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【解答过程】由题意知，解得， 因为，则， 则 ，解得， 则 . 故选：C. 28．（24-25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【解答过程】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则的可能取值为，，，. 表示在摸出个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且只摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 期望. 故选：D. 29．（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为__________． 【答案】576 【解题思路】求出的可能取值及各个值对应的概率，再根据均值和方差的计算公式进行计算即可. 【解答过程】依题意，的可能取值为190，150，110， 且，，， 则的期望， 所以方差. 故答案为：576. 30．（24-25高二下·天津·月考）某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制，且各局比赛结果相互独立. 已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为. (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)已知第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球：规定胜一局记1分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及期望； (3)求随机变量的方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【解题思路】（1）根据全概率公式可求出结果； （2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）根据方差公式计算可得. 【解答过程】（1）设事件为“乙在第一局中获得胜利”，设事件为“甲先发球”，事件为“乙先发球”，则， 由全概率公式可知： ； （2）依题意的可能取值为，，， 时，比赛的结果为：乙连胜两局，∴； 时，比赛的结果为：“乙胜甲胜乙胜”，“甲胜乙胜乙胜”， ∴； 时，比赛的结果为：“甲胜甲胜”，“甲胜乙胜甲胜”，“乙胜甲胜甲胜”， ∴； 所以的分布列为： X 0 1 2 P 则； （3）由（2）可得， 即随机变量的方差. 题型7 二项分布 31．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二项分布概率公式计算求解. 【解答过程】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 32．（24-25高二下·四川成都·期末）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，则（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解题思路】设事件“向右下落”， “向左下落”，根据题意，得到，结合二项分布的方差公式，即可求解. 【解答过程】设事件“向右下落”， “向左下落”，则， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，所以， 所以. 故选：B. 33．（24-25高二下·广东中山·月考）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答过程】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【解题思路】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 34．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为，则的数学期望___________. 【答案】 【解题思路】由二项分布的均值公式即可求解. 【解答过程】由题意可得，则. 故答案为：. 35．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，； (2),理由见解析. 【解题思路】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【解答过程】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有， 则 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故； （2）由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为， 所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,化简得： ，解得， 又因为，所以， 即同学获得张奖券的概率最大. 题型8 二项分布与超几何分布的综合应用 36．（24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【解答过程】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 37．（24-25高二下·吉林·期中）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 【答案】B 【解题思路】根据超几何分布和二项分布的定义判断两个试验，再根据不同的分布计算概率、期望和方差，判断各个选项； 【解答过程】试验一：从袋子中逐个不放回地随机摸出20个球是超几何分布模型， 记取到黄球的个数为,, 则变量分布列是，， ，. 试验二：从袋子中逐个有放回地随机摸出20个球是二项分布模型； 记取到黄球的个数为，则,则期望和方差分别为，， 对于A,试验二是二项分布模型，A正确；对于B,，B错误； 对于C,，C正确；D正确； 故选：B. 38．（24-25高二下·重庆·期末）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)万元 【解题思路】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解. 【解答过程】（1）由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； （2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元， 则万元， 公司的年利润为万元. 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 39．（24-25高二下·河南信阳·月考）某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 【答案】(1)； (2)选择投票给学生甲；理由见解析． 【解题思路】（1）结合二项分布定义进行求解即可； （2）根据超几何分布求出“甲回答问题的正确个数”的分布列、数学期望和方差，结合二项分布的定义求出“乙回答问题的正确个数”的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可. 【解答过程】（1）由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则， 则乙恰好答对两个问题的概率为：. （2）令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为， 则；；． 所以． 由题意，随机变量，所以． 又，． 所以，， 可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定， 所以选择投票给学生甲． 40．（24-25高二下·陕西安康·月考）为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 (1)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． (2)用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 【答案】(1)分布列见解析，，； (2)分布列见解析，，. 【解题思路】（1）由题设X可能取值为0，1，2，应用超几何分布的概率求法求出分布列，进而求期望和方差； （2）由题意，应用二项分布的概率求法求分布列，进而求期望和方差. 【解答过程】（1）按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人， 所以X可能取值为0，1，2，，，， X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的期望为，； （2）由题意，则，，， 的分布列为： 0 1 2 P ，. 题型9 随机变量与其他知识的交汇问题 41．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学，很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新，某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中a的值； (2)估计该50份高考模拟卷的平均准确率（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (3)为进一步调查，采用分层抽样从准确率在，，内的试卷中抽取9份，再从中任选3份进行调查，求抽到准确率在内的试卷份数X的分布列和数学期望． 【答案】(1)． (2)92% (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积和为1计算； （2）利用平均数公式计算； （3）先算出各层数量，确定X可取0，1，2，3．求出对应概率，得到分布列，求出期望即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得， 解得． （2）由已知可得估计准确率的平均数为 ． （3）由题意，准确率在，，内的试卷分别有2份，4份，3份， 则X可取0，1，2，3． ， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望． 42．（24-25高二下·福建福州·期末）福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就胜出，比赛结束．假设两人每一次抢到题的概率均为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为，，且两人答题正确与否互不影响． (1)在某次抢答中，求甲得1分的概率； (2)在某次抢答中，在乙得1分的条件下，求乙答对这个题的概率； (3)比赛进行中，若甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了题后比赛结束，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率； （2）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求相关概率，再由条件概率公式求目标概率； （3）根据题意有的可能值为，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【解答过程】（1）由题意，某次抢答中甲得1分的情况有甲抢到题且答对，或乙抢到题且答错， 所以某次抢答中甲得1分的概率为； （2）由题意，某次抢答中乙得1分的情况有甲抢到题且答错，或乙抢到题且答对， 所以某次抢答中乙得1分的概率为， 其中乙抢到题且答对的概率为， 所以某次抢答中，在乙得1分的条件下乙答对这个题的概率为； （3）由题设，的可能值为，且每次甲、乙得1分的概率分别为、， 所以，， 的分布列如下， 2 3 所以. 43．（24-25高二下·北京房山·期末）习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析， (3) 【解题思路】(1) 有3个行业人工智能渗透度不低于，再由古典概率公式求解； (2)由可取，求出对应的频率，列出分布列，再求出数学期望即可； (3) 设，得，当且仅当，等号成立时，，再由中位数的概念进行求解． 【解答过程】（1）从上图2021年8个行业中，有3个行业人工智能渗透度不低于， 则所求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率为：． （2）从上图2022年8个行业中，有2个行业的人工智能渗透度高于， 2023年8个行业中，有4个行业的人工智能渗透度高于， 则可取， ， ， ， 得的分布列为： X 0 1 2 P 则的数学期望为：． （3）设，则， 则， 得， 当且仅当，等号成立时，， 从上图2023年8个行业中人工智能行业渗透度从小到大依次为： ， 则实数的取值范围为：. 44．（24-25高二下·湖北·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. (1)求； (2)记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； (3)若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【解题思路】（1）第二局比赛结束时比赛停止，即甲连赢2局或连输2局，列式即可求解； （2）的可能取值为2，4，6，结合题意分析列式求出相应概率，列出分布列，再根据期望公式求解即可； （3）当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则，当为偶数时，，利用等比数列的通项公式即可求解. 【解答过程】（1）由得：或， ∵，∴； （2）的可能取值为2，4，6， 由（1）知，当时 ，， ， ， 所以的分布列如表所示： 2 4 6 的均值为； （3）由题可得， 当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则， 当为偶数时，， ∴当为偶数时，数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴， 当为奇数时，为偶数， ∴，当时，也满足. 所以通项公式. 45．（24-25高二下·浙江金华·月考）某校随机调查了100名同学的日运动时间（分钟），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值； (2)求该100名同学的平均日运动时间； (3)为进一步调查运动方式，采用分层抽样从日运动时间在内的同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在内的调查人数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析； 【解题思路】（1）利用小长方形面积和为建立方程，求解即可. （2）利用平均数公式结合给定条件求解即可. （3）得X可取，再求得相应的概率，列出分布列，然后求解期望即可. 【解答过程】（1）因为小长方形面积和为， 所以，解得 （2）因为， 所以该100名同学的平均日运动时间为分钟. （3）由题意得日运动时间在内的同学人数分别为， 则可取， 而，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望为 题型10 正态分布的实际应用 46．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【解答过程】由题意可知，随机变量的密度曲线关于对称， ，所以. 故选：A. 47．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【解答过程】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确． 故选：C. 48．（24-25高二下·安徽合肥·期末）庐江某早餐店发现加入网络平台销售后，每天米饺的销售量（单位：个），估计200天内米饺的日销售量约在700到850个的天数大约是（   ） （附：随机变量，则， A．158 B．164 C．172 D．180 【答案】B 【解题思路】首先确定，，从而确定，再根据原则求出概率，即可求解. 【解答过程】由条件可知，，， 则， ， 估计200天内米饺的日销售量约在700到850个的天数大约是. 故选：B. 49．（24-25高二下·湖北恩施·期末）设随机变量，，则实数a的值为__________. 【答案】 【解题思路】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，得到，即可求解. 【解答过程】由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为， 因为，所以，解得. 故答案为：. 50．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） (2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； (3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1) (2)18人 (3)分布列见解析，1 【解题思路】（1）应用频率分布直方图计算平均数公式计算； （2）先计算正态分布对应概率再求解人数； （3）先计算二项分布的概率，再得出分布列计算数学期望即可. 【解答过程】（1）由题意得； （2）由（1）得， 则， 所以， 故估计得分超过95.8分的居民约有18人. （3）用频率估计概率，从该小区任选1名居民，该居民得分超过80分的概率为. 所以该小区任选2名居民互不影响，该问题可看作二项分布. 故得分超过80分的居民人数可能的取值为，且， 所以， 所以， 所以的分布列为 0 1 2 . 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 随机变量及其分布全章10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 条件概率  1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南湘西·期末）在一次投篮比赛中，小明同学连续投篮3次，若前一次投中，则后一次投中的概率为前一次投中概率的2倍；若前一次未投中，则后一次投中的概率与第一次投中的概率相同．已知他第一次投中的概率为，则在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某高校两名学生准备从、、、、、这门选修课程中任选门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了门相同课程的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆·期末）某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是__________. 5．（24-25高二下·宁夏银川·月考）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 题型2 全概率公式 6．（24-25高二下·四川资阳·期末）已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河南周口·期末）某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·贵州遵义·月考）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·江西宜春·月考）在一个名为“奇幻冒险岛”的游戏中，玩家可以选择战士、法师和猎人这三种不同的角色．根据游戏设定，一名玩家选择战士、法师和猎人的概率分别为0.4，0.3，0.3，每种角色在进入游戏后，都有可能触发“神秘宝藏”事件．已知战士、法师和猎人触发“神秘宝藏”事件的概率分别为0.2，0.5，0.1，现在随机选择一名玩家进入游戏，则该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为_________． 10．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家制造厂的产品在仓库中是均匀混合的且无区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求该次品是由丙制造厂提供的概率. 题型3 利用随机变量分布列的性质解题 11．（24-25高二下·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（   ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 12．（24-25高二下·河南·月考）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 0.2 A．0.56 B．0.4 C．0.2 D．0.1 13．（24-25高二下·福建福州·期中）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·山西吕梁·期中）设离散型随机变量的分布列如右表，若随机变量，则_________． X 0 1 2 3 4 P 15．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 题型4 分布列与其他知识的交汇问题 16．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 17．（24-25高二下·广东茂名·期中）近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 18．（24-25高二下·山东·期中）数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照分组，得到如下的频率分布直方图. (1)估计中国大模型用户年龄的第60百分位数. (2)为了进一步了解用户在工作中使用.模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. ①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列. 19．（24-25高二下·重庆南岸·期中）2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立． (1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？ (2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列． 20．（24-25高二下·福建漳州·期末）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．      (1)求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 题型5 均值、方差的性质 21．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 22．（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 23．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 24．（24-25高二下·山东滨州·期末）随机变量X的分布列如下，则__________． X 0 1 2 P 0.3 0.3 25．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 题型6 离散型随机变量的均值与方差 26．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（   ） A．m B．2 C．1 D． 27．（24-25高二上·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 28．（24-25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为__________． 30．（24-25高二下·天津·月考）某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制，且各局比赛结果相互独立. 已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为. (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)已知第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球：规定胜一局记1分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及期望； (3)求随机变量的方差. 题型7 二项分布 31．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二下·四川成都·期末）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，则（ ） A．2 B． C． D．4 33．（24-25高二下·广东中山·月考）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 34．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为，则的数学期望___________. 35．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 题型8 二项分布与超几何分布的综合应用 36．（24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 37．（24-25高二下·吉林·期中）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 38．（24-25高二下·重庆·期末）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 39．（24-25高二下·河南信阳·月考）某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 40．（24-25高二下·陕西安康·月考）为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 (1)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． (2)用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 题型9 随机变量与其他知识的交汇问题 41．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学，很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新，某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中a的值； (2)估计该50份高考模拟卷的平均准确率（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (3)为进一步调查，采用分层抽样从准确率在，，内的试卷中抽取9份，再从中任选3份进行调查，求抽到准确率在内的试卷份数X的分布列和数学期望． 42．（24-25高二下·福建福州·期末）福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就胜出，比赛结束．假设两人每一次抢到题的概率均为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为，，且两人答题正确与否互不影响． (1)在某次抢答中，求甲得1分的概率； (2)在某次抢答中，在乙得1分的条件下，求乙答对这个题的概率； (3)比赛进行中，若甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了题后比赛结束，求的分布列及数学期望． 43．（24-25高二下·北京房山·期末）习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 44．（24-25高二下·湖北·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. (1)求； (2)记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； (3)若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 45．（24-25高二下·浙江金华·月考）某校随机调查了100名同学的日运动时间（分钟），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值； (2)求该100名同学的平均日运动时间； (3)为进一步调查运动方式，采用分层抽样从日运动时间在内的同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在内的调查人数的分布列和数学期望. 题型10 正态分布的实际应用 46．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 48．（24-25高二下·安徽合肥·期末）庐江某早餐店发现加入网络平台销售后，每天米饺的销售量（单位：个），估计200天内米饺的日销售量约在700到850个的天数大约是（   ） （附：随机变量，则， A．158 B．164 C．172 D．180 49．（24-25高二下·湖北恩施·期末）设随机变量，，则实数a的值为__________. 50．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） (2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； (3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $