第四章因式分解单元检测（二） 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2026年北师大新课标八年级下册数学第四章因式分解单元检测（二） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，有一项是符合题目要求的。 1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各式按如下方法分组后，不能分解的是(    ) A. B. C. D. 3.若三角形的三边长分别为，，，且满足，则该三角形一定是(    ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 4.多项式中，有一个因式为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 5.若，为整数，则  (    ) A. B. C. D. 6.若，则(    ) A. B. C. D. 7.若，则的值为  (    ) A. B. C. D. 8.甲、乙两个商场以同样的价格销售一款商品，各自分别涨价两次，涨价情况分别如下： 甲商场：第一次增长率为，第二次增长率为； 乙商场：两次增长率均为． 若，则两次涨价后商品价格较低的商场是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 价格相同 D. 无法判断 9.已知并且满足：，，则的值为  (    ) A. B. C. D. 无法确定 10.如图，有型、型、型三种不同的纸板．其中型是边长为 的正方形，共有块；型是长为 ，宽为的长方形，共有块；型为边长为的正方形，共有块．用这块纸板去拼出一个大的长方形不重叠、不留空隙，则  (    ) A. 用完全部块纸板能拼出一个长方形 B. 拿掉块型纸板后可拼出长方形 C. 拿掉块型纸板后可拼出长方形 D. 拿掉块型纸板后可拼出长方形 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.分解因式：          ． 12.若，则代数式的值为          ． 13.若，则的值为          ． 14.在对多项式进行因式分解时，甲，乙两位同学都出现了错误，在回看两人的计算过程后，发现甲将“”和“”抄错为了“”和“”，得出的结果是，乙漏抄了“”和“”，得出的结果是根据二人的计算过程，原多项式是          ． 15.如图所示，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中，，在上，，在半圆上．若，则正方形的面积与正方形的面积之和是          ． 三、计算题：本大题共2小题，共16分。 16.分解下列因式：；． 17.把下列各式分解因式：． 四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分求证：能被整除． 19.本小题分如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且以上长度单位： 观察图形，可以发现代数式可以因式分解，请写出因式分解的结果； 若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线虚线部分长之和． 20.本小题分【学习与思考】 如果用表示一个两位数即十位上的数字为，个位上的数字为，那么当时，能被整除如，，，能被整除理由如下： ，当时，，因为是的倍数，所以能被整除． 【探索与应用】 如果用表示一个三位数． 写出两个能被整除的三位数． 写出，，满足什么条件时，能被整除，并说明理由． 21.本小题分阅读下列材料： 材料  将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，就可以把因式分解成． 例：  ． 材料  因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法请你解答下列问题： 根据材料，把分解因式； 结合材料和材料，完成下面小题： 分解因式：； 分解因式：． 22.本小题分【方法感知】以下是用“十字相乘法”分解因式的过程如图． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”； 第三步：发现第个“交叉相乘之和”的结果等于一次项，即． 【方法运用】 将多项式进行因式分解，可以表示为          ； 若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 23.本小题分数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用． 【问题探究】 探究：如图所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，根据等积法，我们可以得出结论：． 探究：请你根据探究所使用的等积法，从图中探究出的结果． 【形成结论】          ； 【应用结论】已知，，分别求与的值； 【变式拓展】因式分解：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年北师大新课标八年级下册数学第四章因式分解单元检测（二) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，有一项是符合题目要求的。 1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是() A.x2-4+6x=(x+2)x-2)+6x B.x2-8x+16=(x-42 C.(x+3)(x-2)=x2+x-6 D.6ab=2a3b 2.下列各式按如下方法分组后，不能分解的是() A.(2ax-10ay)+(5by-bx) B.(2ax-bx)+(5by-10ay) C.(x2-y2)+(ax+ay) D.(x2+ax)-(y2-ay) 3.若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足ab一ac=b2-bc,则该三角形一定是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 4.多项式2x2-13x+b中，有一个因式为x-5,则b的值为（) A.-15 B.-3 C.15 D.3 5.若x=3n-1+3",y=3n-2+3+1(n为整数)，则() A.6y=5x B.3y =7x C.7y =3x D.3y=10x 6,.若92-112-1=8×10×12，则k=() k A.12 B.10 C.8 D.6 7.若(20242-4④(20232-4=2026×2022×2021m,则m的值为() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 8.甲、乙两个商场以同样的价格销售一款商品，各自分别涨价两次，涨价情况分别如下： 甲商场：第一次增长率为a,第二次增长率为b: 乙商场：两次增长率均为学， 若a≠b,则两次涨价后商品价格较低的商场是() A.甲 B.乙 C.价格相同 D.无法判断 9.已知x≠y并且满足：x2=2y+5,y2=2x+5,则x3-2x2y2+y3的值为() A.-16 B.-12 C.-10 D.无法确定 10.如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板.其中A型是边长为xcm的正方形，共有7块；B型是长为x cm,宽为1cm的长方形，共有19块；C型为边长为1cm的正方形，共有15块.用这41块纸板去拼出 第1页，共5页 个大的长方形（不重叠、不留空隙），则() A 1B☐1 A.用完全部41块纸板能拼出一个长方形 B.拿掉1块A型纸板后可拼出长方形 C.拿掉1块B型纸板后可拼出长方形 D.拿掉1块C型纸板后可拼出长方形 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.分解因式：3a3-27ab2= 12.若a-b=1,则代数式a2-b2-2b的值为 13.若m2+2mn+22-6n+9=0,则2的值为。 14.在对多项式12x2+(4a+3b)x+ab进行因式分解时，甲，乙两位同学都出现了错误，在回看两人的计 算过程后，发现甲将“+3b”和“+ab”抄错为了“-3b”和“-ab”,得出的结果是(3x+3)(4x-5), 乙漏抄了“4a”和“+ab”，得出的结果是3x(4x+5).根据二人的计算过程，原多项式是_ 15.如图所示，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C,D,E在AB上，F,N在半 圆上.若AB=10,则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是 DO B 三、计算题：本大题共2小题，共16分。 16.分解下列因式：(1)9(m+n)2-3(m-n)(m+nm):(2)(a2-4a)2+8(a2-4a)+16. 17.把下列各式分解因式：(1)a2-b2-2b-1;(2)4x2-4xyz+y2z2-4z2. 第2页，共5页 四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.(本小题9分)求证：817-279-913能被45整除. 19.(本小题10分)如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形， 两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m,宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm) m n (1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果： (2)若每块小矩形的面积为10cm2,四个正方形的面积和为88cm2,试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之 和. 20.(本小题10分)【学习与思考】 如果用ab表示一个两位数（即十位上的数字为a,个位上的数字为b),那么当a=b时，ab能被I1整除（如 11,22,33,…能被11整除).理由如下： ab=10a+b,当a=b时，ab=10a+a=11a,因为11a是11的倍数，所以ab能被11整除. 【探索与应用】 如果用abc表示一个三位数. (1)写出两个能被11整除的三位数. (2)写出a,b,c满足什么条件时，abc能被11整除，并说明理由. 第3页，共5页 21.(本小题10分)阅读下列材料： 材料1将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mm且p=m+n,就可以把x2+ px+q因式分解成(x+m)(x+n), 例：①x2+4x+3=(x+1)(x+3)②x2-4x-12=(x-6)(x+2). 材料2因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1 解：将“x+y”看成个整体，令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2 再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2 上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法请你解答下列问题： (1)根据材料1，把x2-6x+8分解因式： (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：(x-y)2+4(x-y)+3: ②分解因式：m(m+2)(m2+2m-2)-3. 22.(本小题10分)【方法感知】以下是用“十字相乘法”分解因式2x2一x一3的过程（如图） 第一步：二次项2x2=x2x; 第二步：常数项-3=一1×3=1×(-3)，画“十字图”验算“交叉相乘之和”； 2x -1 (-1)×2x+3x=x 3×2x+（-1)x=5x ② 2x 2x 1×2x+(-3)x=-x -3×2x+1×x=-5y ③ ④ 第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项-x,即2x2-x-3=(x+1)(2x-3). 【方法运用】 (1)将多项式x2-x-2进行因式分解，可以表示为x2-x-2= (2)若3x2+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值. 第4页，共5页 23.(本小题10分)数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法.“数”的精确描述与“形”的 直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化.“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体 现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用， 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是(Q+b),它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形 的面积等于这四个图形的面积之和，根据等积法，我们可以得出结论：(a+b)2=a2+2ab+b2. 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出(a+b+c)的结果. ab 6 a ab 图1 图2 (1)【形成结论】(a+b+c)2=; (2)【应用结论】己知a+b+c=0,a2+b2+c2=12,分别求ab+bc+ac与a2b2+b2c2+a2c2的值； (3)【变式拓展】因式分解：a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc-9. 第5页，共5页1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】B 7.【答案】C 8.【答案】A 9.【答案】A 10.【答案】B 11.【答案】3a(a+3b(a-3b) 12.【答案】1 13.【答案】-青 14.【答案】12x2+27x+15 15.【答案】25 16.【答案】【小题1】 =6(m+nm+2n). 【小题2】 =(a-24. 参考答案 9(m+2-3(m-(m+ =3(m+n[3(m+n-(m-nl =3(m+n(3m+3n-m+n） =3(m+n(2m+4n (a2-4a+8(a2-4a)+16 =(a2-4a+4)2 =[0a-2 第1页，共1页 17.【答案】【小题1】 (a+b+1a-b-1 【小题2】 (2x-yz+22)(2x-yz-22) 18.【答案】原式=328-327-326=326×(32-3-1）=326×5=324×45， :817-279-913能被45整除 19.【答案】【小题1】 解：由图形可知，2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n); 【小题2】 依题意得，2m2+2n2=88,mn=10,·m2+n2=44, :(m+n)2=m2+n2+2mn=44+20=64,÷m+n=8,÷图中所有裁剪线段之和为 8×6=48(cm). 20.【答案】【小题1】 110,121(答案不唯一). 【小题2】 a-b+c是11的倍数时，abc能被11整除，理由如下：abc=100a+10b十c =99a+11b+a-b+c=11(9a+b)+(a-b+c),:11(9a+b)是11的倍数，a-b+c是11的 倍数时，abc能被11整除. 21.【答案】【小题1】 解：x2-6x+8=(x-2)(x-4); 【小题2】 ①冷A=x-y,则原式=A2+4A+3=(A+1)(A+3), 所以(x-y)+4(x-y)+3=(x-y+1)(x-y+3): 第1页，共1页 ②冷B=m2+2m,则原式=B(B-2)-3=B2-2B-3=(B+1)(B-3), 所以原式=(m2+2m+1)(m2+2m-3)=(m+1)2(m-1)(m+3). 22.【答案】【小题1】 x-2x+1) 【小题2】 画“十字图”如下 3x、 3 5×3x+1×x=16x 1×3x+5×x=8x ① 3 -5 3x -1 (-5)×x+(-1)×3x=-8x (-1)×x+(-5)×3x=-16x ③ ④ ·p的所有可能值为16,8，-8，一16. 23.【答案】【小题1】 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 【小题2】 :(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac :12+2ab+2bc+2ac=02.ab+bc+ac=-6. :(ab+bc+ac)2-36.*a2b2+bc2+a2c2+2a2bc+2abc+2abc2-36. :a2b2+b2c2+a2c2+2abc(a+b+c)=36. a262+b2c2+a2c2=36-2×0=36. 【小题3】 a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc-9 =a2+2ab+b2-(2ac+2bc)+c2-9 第1页，共1页 =(a+b-c+3a+b-c-3) =(a+b)-2c(a+b)+c2-9 =(a+b-c2-9 第1页，共1页