专题04二元一次方程组基础与解法复习讲义(12大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年青岛版七年级数学下册

专题04二元一次方程组基础与解法复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二元一次方程、二元 1.能准确判断二元一次方程1.熟练辨析二元一次方程 一次方程组及解的概念，能 (组)，利用概念解决简单 (组)相关概念，拿下选择、 正确辨别与检验。 参数问题。 填空基础题。 2.掌握消元思想，理解化二 2.熟练运用两种消元法解方2.灵活选用代入、加减消元 元为一元的转化方法。 程组，能根据系数灵活选方 法，快速准确解方程组，步 3.熟记代入消元法、加减消 法。 骤规范不扣分。 元法的解题原理。 3.规范解题步骤，提高运算 3.掌握解的检验方法，减少 准确率。 符号、移项、计算类失误。 4熟练应对含参数、同解等 常考题型，提升综合解题得 分能力。 ☆ 题型梳理 题型01.二元一次方程的定义 题型02.二元一次方程组的判定 题型03.二元一次方程的解 题型04.二元一次方程组的解的判定 题型05.代入消元法 题型06.加减消元法 题型07.二元一次方程组的特殊解法 题型08.构造方程组求解 题型09.由二元一次方程组的解求参数 题型10.错解复原问题 题型11.方程组相同解问题 题型12.新定义题 解答题7题 ☆ 知识梳理 知识点01：二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，分母不含未知数的 整式方程。 试卷第1页，共3页 三大判定条件：①两个未知数②最高次数为1③整式方程（无分母含字 母) 解的特点：二元一次方程有无数组解，任意给定一个未知数的值，可求出另一 个。 知识点02：二元一次方程组 把两个二元一次方程合在一起，组成二元一次方程组。形式：两个方程、两个未 知数，共同约束变量。 知识点03：二元一次方程组的解 同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值。 特点：一般只有唯一一组解； 检验方法：将数值分别代入两个方程，都成立才是方程组的解。 知识点04：概念对比表 名称 未知数个数 最高次数 解的个数 元一次方程 1个 唯一解 二元一次方程 2个 1 无数组解 二元一次方程组 2个 1 大多唯一解 知识点05：解的检验（规范步骤） ①把未知数的值（如x=a,y=b)分别代入方程组的两个方程； ②若两个方程左右两边都相等，就是方程组的解； ③只要有一个方程不成立，就不是方程组的解。 知识点06：核心重点：二元一次方程组的两种解法（必考！期中大题主力军） 方法一：代入消元法“变形代入。化二为一“ 1.适用场景（一眼判断） 方程组中有一个方程，某个未知数的系数是1或-1（如y=2x+3、x-y=5), 容易变形为“用一个未知数表示另一个未知数”的形式。 2.解题步骤（规范+口决，记牢不踩错） 试卷第1页，共3页 变形，二代入，三求解，四回代，五写解 步骤 具体做法 目的 注意事项 用含一个未知数的式子表示变形为=x+b(或x-y+b) 般选未知数系数比较简单的方 ①变形 另一个未知数 (a,b是常数，a≠0)的形式 程变形 ②代入 把)=ax+b(或x=ay+b)代入 消去一个未知数，将二元一次 变形后的方程只能代入另一个方 另一个没有变形的方程 方程组转化为一元一次方程 程（或另一个方程变形后的方程） ③求解 去括号时不能漏乘，移项时所移的 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 项要变号 ④回代 把求得的未知数的值代入步 骤①中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 般代入变形后的方程 表示为 用“{”将未知数的值联立起来 把两个未知数的值用大括号 X三3 可代入原方程组进行检验 ⑤写解 联立起来 的形式： 代入消元易错点丨避坑提醒 1.变形时移项忘记变号（如把x-y=3变形为xy-3,错误！正确是xy+3); 2.代入时，漏乘系数（如把x=y+3代入2x+3y=16,写成2y+3+3y=16,漏乘2）； 3.回代时，代入原方程，计算繁琐易出错（建议代回变形后的式子，更简单）。 方法二：加减逍元法“系数统一，加减消远” 步骤 具体做法 目的 注意事项 根据绝对值较小的未知数的系数的最 使该未知数在两个方程中 给某个方程乘一个数时，方 ()变形 小公倍数，给方程的两边都乘适当的数 的系数相等或互为相反数 程两边的每一项都要和这 个数相乘 两个方程中同一个未知数的系数互为 消去一个未知数，将二元 把两个方程相加（减）时， (2加减 相反数时，将两个方程相加；同一个未 次方程组转化为一元一次 定要把两个方程两边分别 知数的系数相等时，将两个方程相减 方程 相加（减） (3)求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 (4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中某 求出另一个未知数的值 回代时选择系数较简单的 个较简单的方程 方程 (5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 用“(”将未知数的值联立 表示为 的形式 起来 加减消元易错点丨避坑提醒 1.系数统一时，漏乘方程中的常数项（如把2x+5y=13×2,只乘2x和5y,漏 乘13)： 试卷第1页，共3页 2.两个方程相减时，后面方程的每一项都要变号，容易漏变常数项； 3.消元后，求解一元一次方程时，符号出错、计算失误； 4.回代时，代入的方程太复杂，增加计算难度（优先选系数简单的方程） 知识点07.两种解法精准对比 解法 核心思路 适用条件 优点 代入消元 等量代换、逐步代 系数为士1 简单易懂，不易乱符号 法 加减消元 两式加减、直接消 系数成倍数、同号/异计算更快，适合复杂方程 法 元 号 组 知识点08：高频易错避雷 1.判断二元一次方程：含未知数项次数为1，不是未知数次数，杜绝y这类二 次项。 2.方程组的解：必须同时满足两个方程，只满足一个不算解。 3.代入消元：只能代入另一个方程，不能代回原方程 4.加减消元：两式相减时，每一项都要变号，符号错误是重灾区。 5,最终格式：方程组的解必须写成{产二…形 ☆ 题型精析 题型01.二元一次方程的定义 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是() A.x+2y=5 B.y-3x=2 C.3x+2=0 D.1-7=1 【跟踪专练1】(n-4)x+3ym-+8=0是关于x,y的二元一次方程，则n= 【跟踪专练2】已知(m+3xm2+(n-2y-3=0是关于x,y的二元一次方程，则n"的值为 () A.-8 B.6 C.8 D.9 题型02.二元一次方程组的判定 试卷第1页，共3页 (m-8)x=2 【典例】己知方程组 3x-ym7=1 是关于x,y的二元一次方程组，则m= 【跟踪专练1】下列方程组中，不是二元一次方程组的是() x+y=6 x+y=6 x=6-y x=6+y A. B C. D x-y=2 y=2 y=2+x y=2 【跟踪专练2】下列方程中是二元一次方程组的有() 2xy=6 3x=y+5 =3 「2x+y=1 x+y=1'② ① 2x-y=-2' ③y ④ x-2z=3' 4 4x-2y=5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型03.二元一次方程的解 【典例】已知 x=2 y=1 是方程2x+my=6的解，那么m的值为() A.-2 B.1 C.2 D.-1 x=a 【跟踪专练1】若 y=b 是关于，y的方程3x+5y+6=0的一组解，则10-6a-10b的值为 【跟踪专练2】已知整式A=a2x2+ax+a。,其中a,a为自然数，a2为正整数，下列说法： （1)若a1=1,a,=4,a=1,A=0,则整式3x2+12x的值是3： (2)若A=(2026x+1)2,则a2+a1+a=20272: (3)若a2+a,+a=3,则满足条件的整式A共有5个. 其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 题型04.二元一次方程组的解的消判定 x=1 【典例】以 y=-1 为解的二元一次方程组是() x+y=0 x+y=0 A. B. x+y=0 C. x+y=0 x-y=1 x-y=-1 x-y=2 x-y=-2 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】写出一个解为 2的二元一次方程组 x=1 x=2 【跟踪专练2】若 y=-11 是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为() x+3y=5 2x-y=5 A. x+y=1 x+y=1 x=2y x=y-3 C. D x=3y+1 y+2x=5 题型05.代入消元法 y+3x=6时，将y+3x=6变形为() 2x+3y=9 【典例】用代入消元法解二元一次方程组 A.y=-3x-6B.y=6+3x C.y=3x-6 D.y=6-3x 【跟踪专练1】已知二元一次方程-2x+3y=13,用含x的代数式表示y,则y= 【跟踪专练2】李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步， 如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是() 老师 甲 乙 丙 丁 [3x+2y=8,① 宙①，得x三 将③代入②，得 去分母，得 解得y=2.由 5x-3y=2.② 8-2y.③ 5x8-2y-3y=2 40-10y-9y=2. 4 3 3 ③，得x= A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 题型06.加减消元法 【典例】二元一次方程组 x+y=3 x-y=1的解是() x=2 x=1 x=-1 x=3 A B. C. D y=1 y=2 y=-2 y=-2 2x+y=7 【跟踪专练1】已知 x+2y=8’则r+y= 2x+5y=13① 【跟踪专练2】己知二元一次方程组 3x-7y=-7@' 用加减消元法解方程组，正确的是() A.①×2+②×3 B.①×5+②×7 试卷第1页，共3页 C.①×7-②×5 D.①×3-②×2 题型07.二元一次方程组的特殊解法 「a+2b=7 【典例】已知Q、b满足方程组 2a+b=5'则a+b的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 2m-n=1 【跟踪专练1】如果实数m,n满足方程组 m+n=2’那么(m-2m)202= 【跟踪专练2】关于x,y的方程组 「a,x+bhy=G的解为 x=5 a,x+bay=c2 y=4' 则方程组 3a,x+4hy=-G的解为（） 3a2x+4b2y=-c2 5 5 X= x=5 x B 3 3 A 5 3 y=4 y=1 J= y=-1 4 题型08构造方程组求解 【典例】己知m,n为常数，整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值 时整式mx+n的值，则wm的值为 -2 -1 0 mx+n -1 2 【跟踪专练1】一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边 长为 ② a-b+2(b-c+3(c-a=0 【跟踪专练2】己知有理数a,b,c满足 la-b+4(b-c2+9c-a2=26'则(a- 试卷第1页，共3页 题型09.由二元一次方程组的解求参数 2ax-by =2 x=1 【典例】若关于x、y的二元一次方程组 ax-by=-I 的解为 y=-1,则代数式6a+4h-3的 值是 ax+by=4① 【跟踪专练1】已知方程组 ar-y=-5②' 由于甲看错了方程①中的α，得到方程组的解 少=1：乙看错了②中的6，得到方程组的解为 x=2 x=-1 为 y=1 则乙把②中的b看成的数是() A.-6 B.-3 C.6 D.3 ax+by=e x=3 【跟踪专练2】若关于x,y的方程组 cx+dy=f 是{y=-2'则关于x,y的方程组 的解 a(x-1)+b(y+1)=2e 的解是 cx-1+dy+1)=2f 题型10.错解复原问题 c:-3y=4②，甲将①中的b看成了它的相反数解得 ax+by=2① 【典例】甲、乙两人共同解方程组 X= x=2 =-] 乙抄错②中的c解得 则a-b+c= ax+5y=c 【跟踪专练1】在解关于x,y的方程组 4r-y=1时，甲把方程组中的a看成了-4，求得 x=4 x=-3 的解为 乙看错了方程组中的b,求得的解为 y=1’则a+b+c= 【跟踪专练2】对于代数式x+b,小明分别计算了当x=1,2,3,4时该代数式的值，得到以 下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是() ①k+b=-1;②2k+b=3;③3k+b=5;④4K+b=8. A.① B.② C.③ D.④ 题型11.方程组相同解问题 2x+ay=10 x-y=-2.5 【典例】若方程组 3x+4y=13.5和 x-y=-1.5同解，则a的值是() 试卷第1页，共3页 A.2 B.3 C.4 D.不存在 2x-3y=3∫3x+2y=11 【跟踪专练1】己知关于xy的方程组 和 ax+by=-1 2ax+3by =3 的解相同，则a+2b= 【跟踪专练3】己知方程组 2x-y=7 和方程组 x+by=a 有相同的解，则a,b的值分别 ax+v=b 3x+y=8 为() a=1 a=4 =-4 a=14 A B C. D. b=2 b=6 b=-6 1b=2 题型12.新定义题 【典例】已知x⑧y=ax+by,其中a,b为常数.已知2⑧1=4，-1⑧3=-9.则1⑧5= 【跟踪专练1】对于实数a,b,定义运算“◆”和*”：a◆b= [Na2+b,a之b,例如4◆3， ab,a<b 因为4>3，所以4◆3=√42+32=5，x*y=mx+y+1,m,n为常数，若4*-1=1， 1*2=4,则m◆n=: 【跟踪专练2】对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=axy+bx-4(其中a,b均为非 零常数)，这里等式右边是通常的四则运算.例如：T(0,1)=a×0×1+b×0-4=-4,若 T(3,1)=11,T(-1,3)=-13则下列结论正确的有() ①a=2,b=3: ②若7风-0a》 则m= 2+3 ③若T(m,n=0,则m,n有且仅有2组整数解： ④若无论k取何值时，Tx,川的值均不变，则y= 2 ⑤若T(kx,y)=T(ky,x对任意有理数x,y都成立，则k=0. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解答题】 试卷第1页，共3页 x=2 1.若关于x,y的二元一次方程+3y=5k-4有一组解为 y=-1,求k的值. 2.解二元一次方程组 (0少=2-3 3x+2y=8 3x+4y=16 (②)5x-6y=33 3.对于未知数为x,y的二元一次方程组，如果方程组的解x,y满足x-y=1,我们就说方程 组的解x与y具有“邻好关系” (1)判断方程组 x+2y=7 的解x与y是否具有“邻好关系”？说明理由； x+y=6 4x-y=2m (2)若方程组 2x+y=4m+6 的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； 2amx+(b-1 y=2m (3)若对于任意的有理数m,未知数为x,y的方程组 的解x与y具有“邻 x+2y=4 好关系”，请求出ab的值. 4.对整数x、y定义一种新运算T,规定T(x,y)=ax-by(其中a、b是常数)，如： T2,1=a×2-b×12=2a-b. (1)填空：T(2,-1=_(用含a,b的代数式表示)； a若T,21=10,718-=-} ①求a与b的值： ②若T(x,1=T(1,x,求出此时x的值 5.已知关于x,y的二元一次方程(a+1)x+(3a-2)y+5-2a=0,每取一个a的值，就得到 一个方程。 x=4 (1)若a=1,判断 是不是该方程的解： y=-2 x=m (2)是否存在方程的一组解 使得这个方程的解与a的取值无关，若存在，请求出这组 y=n 解；若不存在，请说明理由。 试卷第1页，共3页 6.甲、乙两人共同解方程组 4x-by=-22'由于甲看错了方程0中的a,得到方程组的 ax+5y=15① 少=-1，乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为 X=-3 解为 y=4'试求出a, x=5 b的正确值， 2026 并计算a20m5 的值 2x+5y=2 3x-y=20 7.己知关于x,y的方程组 ax-by=-4 和关于x,y的方程组 的解相同，求 bx-ay=4 (a+b)226的值. 试卷第1页，共3页 专题04二元一次方程组基础与解法复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及解的概念，能正确辨别与检验。 2.掌握消元思想，理解化二元为一元的转化方法。 3.熟记代入消元法、加减消元法的解题原理。 1.能准确判断二元一次方程（组），利用概念解决简单参数问题。 2.熟练运用两种消元法解方程组，能根据系数灵活选方法。 3.规范解题步骤，提高运算准确率。 1.熟练辨析二元一次方程（组）相关概念，拿下选择、填空基础题。 2.灵活选用代入、加减消元法，快速准确解方程组，步骤规范不扣分。 3.掌握解的检验方法，减少符号、移项、计算类失误。 4.熟练应对含参数、同解等常考题型，提升综合解题得分能力。 题型01.二元一次方程的定义 题型02.二元一次方程组的判定 题型03.二元一次方程的解 题型04.二元一次方程组的解的判定 题型05.代入消元法 题型06.加减消元法 题型07.二元一次方程组的特殊解法 题型08.构造方程组求解 题型09.由二元一次方程组的解求参数 题型10.错解复原问题 题型11.方程组相同解问题 题型12.新定义题 解答题7题 知识点01:二元一次方程 ✅定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1，分母不含未知数的整式方程。 ✅三大判定条件：① 两个未知数 ② 最高次数为 1 ③ 整式方程（无分母含字母） ✅解的特点：二元一次方程有无数组解，任意给定一个未知数的值，可求出另一个。 知识点02:二元一次方程组 把两个二元一次方程合在一起，组成二元一次方程组。形式：两个方程、两个未知数，共同约束变量。 知识点03: 二元一次方程组的解 同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值。 ✅特点：一般只有唯一一组解； ✅检验方法：将数值分别代入两个方程，都成立才是方程组的解。 知识点04:概念对比表 名称 未知数个数 最高次数 解的个数 一元一次方程 1 个 1 唯一解 二元一次方程 2 个 1 无数组解 二元一次方程组 2 个 1 大多唯一解 知识点05:解的检验（规范步骤） ① 把未知数的值（如 x=a，y=b）分别代入方程组的两个方程； ② 若两个方程左右两边都相等，就是方程组的解； ③ 只要有一个方程不成立，就不是方程组的解。 知识点06:核心重点：二元一次方程组的两种解法（必考！期中大题主力军) 方法一：代入消元法｜“变形代入，化二为一” 1. 适用场景（一眼判断） 方程组中有一个方程，某个未知数的系数是 1 或 −1（如y=2x+3、x−y=5），容易变形为 “用一个未知数表示另一个未知数” 的形式。 2. 解题步骤（规范 + 口诀，记牢不踩错） 口诀：一变形，二代入，三求解，四回代，五写解 代入消元易错点｜避坑提醒 1.变形时移项忘记变号（如把x−y=3变形为x=y−3，错误！正确是x=y+3）； 2.代入时，漏乘系数（如把x=y+3代入2x+3y=16，写成2y+3+3y=16，漏乘 2）； 3.回代时，代入原方程，计算繁琐易出错（建议代回变形后的式子，更简单）。 方法二：加减消元法｜“系数统一，加减消元” 加减消元易错点｜避坑提醒⚠️ 1.系数统一时，漏乘方程中的常数项（如把2x+5y=13×2，只乘 2x 和 5y，漏乘 13）； 2.两个方程相减时，后面方程的每一项都要变号，容易漏变常数项； 3.消元后，求解一元一次方程时，符号出错、计算失误； 4.回代时，代入的方程太复杂，增加计算难度（优先选系数简单的方程） 知识点07.两种解法精准对比 解法 核心思路 适用条件 优点 代入消元法 等量代换、逐步代入 系数为±1 简单易懂，不易乱符号 加减消元法 两式加减、直接消元 系数成倍数、同号 / 异号 计算更快，适合复杂方程组 知识点08:高频易错避雷 1.判断二元一次方程：含未知数项次数为 1，不是未知数次数，杜绝xy这类二次项。 2.方程组的解：必须同时满足两个方程，只满足一个不算解。 3.代入消元：只能代入另一个方程，不能代回原方程。 4.加减消元：两式相减时，每一项都要变号，符号错误是重灾区。 5.最终格式：方程组的解必须写成 形 题型01.二元一次方程的定义 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：为整式方程，含有两个未知数，所含未知数的项的次数均为1，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵A、含有两个未知数和，所含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义； B、中项的次数为2，不符合定义； C、只含有一个未知数，不符合定义； D、中是分式，不是整式方程，不符合定义； 【跟踪专练1】是关于x，y的二元一次方程，则___． 【答案】 2 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ，且， 解，得或， 由，得， ． 【跟踪专练2】已知是关于x，y的二元一次方程，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数x，y的次数为1且对应系数不为0，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且，且， 解得，， ∴． 题型02.二元一次方程组的判定 【典例】已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程组满足：共含有两个未知数，所有未知数的项的次数都是1，且均为整式方程． A、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意； B、选项中方程中，项的次数是2，不满足次数为1的要求，不是二元一次方程组，符合题意； C、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意； D、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． 【跟踪专练2】下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 题型03.二元一次方程的解 【典例】已知是方程的解，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用二元一次方程解的定义求解，方程的解满足方程，将已知解代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 【跟踪专练1】若是关于的方程的一组解，则的值为______． 【答案】 【分析】把代入方程得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：是关于，的方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法： （1）若，则整式的值是3； （2）若，则； （3）若，则满足条件的整式共有5个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】（1）可求出，用整体代入法求代数式的值判断正误，（2）当时，，把代入可判断正误；（3）根据条件分类讨论计数，判断说法正误． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，原说法错误； （2）∵， ∴当时， ∵， ∴当时， ∴，原说法正确； （3）∵，且为自然数，为正整数， ∴当时，或或， 当时，或 当时，， ∴符合条件的整式A共有 个，原说法错误； ∴正确的只有（2）． 题型04.二元一次方程组的解的判定 【典例】以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将给定的解代入各选项的方程组，能使两个方程左右两边都相等的方程组即为所求． 【详解】解：把依次代入各选项的方程组验证： A选项∵代入得，∴A不符合题意； B选项∵代入得，∴B不符合题意； C选项∵代入得，左右两边相等，代入得，左右两边相等，两个方程都成立，∴C符合题意； D选项∵代入得，∴D不符合题意． 【跟踪专练1】写出一个解为的二元一次方程组________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的解，构造两个满足该解的二元一次方程，联立后即可得到符合要求的二元一次方程组． 【详解】解：，得到方程； ，得到方程． 因此，所求二元一次方程组为． 【跟踪专练2】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，即是方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； 故选：B． 题型05.代入消元法 【典例】用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等式的基本性质，将方程整理为用含的式子表示的形式即可． 【详解】解：需要将方程变形，用含的式子表示， 等式两边同时减去， 可得 ． 【跟踪专练1】已知二元一次方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴． 【跟踪专练2】李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法求二元一次方程组，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由，得， 将代入得，， , ， ∴解题过程中开始出现错误的同学是丙， 故选：． 题型06.加减消元法 【典例】二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ①②得，解得， 把代入①得，解得， 因此方程组的解为． 【跟踪专练1】已知  ，则_________． 【答案】5 【分析】将方程组中的两个方程的左右两边分别相加，整理后即可求出的值． 【详解】解： 得，即， ∴． 【跟踪专练2】已知二元一次方程组，用加减消元法解方程组，正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，解题思路是利用加减消元法，将方程组中同一个未知数的系数化为相同或互为相反数，再消去该未知数，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵方程组 中，的系数分别为和，最小公倍数为， ∴ 将①得 ，将②得 ， ∴ ①②可消去未知数，符合选项D． 其余选项均无法消去任一未知数，因此D正确． 题型07.二元一次方程组的特殊解法 【典例】已知、满足方程组，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：， 由①②得， 则． 【跟踪专练1】如果实数，满足方程组，那么________． 【答案】 【分析】将方程组两个方程相减，计算出的值即可求解． 【详解】解：， 得， 则． 【跟踪专练2】关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可． 【详解】解：方程组可变形为， ∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得． 题型08.构造方程组求解 【典例】已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式的值，则的值为______． x 0 1 2 2 5 8 【答案】6 【分析】本题考查了求代数式的值，解二元一次方程组．根据表格数据，选取和时的对应值，代入整式中，解方程组求m和n的值，再计算． 【详解】解：由表格可知，当时，，即， 解得； 当时，，即， 代入，得， 解得． 因此． 故答案为：6． 【跟踪专练1】一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知有理数a，b，c满足，则________． 【答案】1 【分析】令，，则，整体代入第一个方程化简求出，进而求出，，然后整体代入第二个方程化简求出，即可求解. 【详解】解：令，，则， 代入第一个方程化简为， ∴， ∴，， 代入第二个方程化简为， ∴， ∴. 题型09.由二元一次方程组的解求参数 【典例】若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程组中，得到，①+②得，，可求得，即可求解． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴①+②得，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 【跟踪专练2】若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将待求方程组变形，换元后可得到与已知方程组结构相同的同解方程组，结合已知方程组的解即可求出目标方程组的解． 【详解】解：将两边同时除以2， 变形可得， 令， 则方程组可化为， 该方程组与原方程组系数完全相同，为结构相同，故其解的形式也相同， 已知原方程组的解为， 因此可得， 即，解得． 题型10.错解复原问题 【典例】甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 【跟踪专练2】对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值、解方程组，通过假设每个结论错误，验证其余三个结论是否一致，找出唯一矛盾的情况． 【详解】解：假设①错误，则②、③、④正确： 联立②和③：， 解得，，代入④得，矛盾，故①不可能错误． 假设②错误，则①、③、④正确： 联立①和③：， 解得，，代入④得，④正确，代入②得，仅②错误，符合题意． 假设③错误，则①、②、④正确： 联立①和②：， 解得，，代入④得，矛盾，故③不可能错误． 假设④错误，则①、②、③正确： 联立①和②：， 解得，，代入③得，矛盾，故④不可能错误． 综上，错误的结论是②． 故选：B． 题型11.方程组相同解问题 【典例】若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练1】已知关于的方程组和的解相同，则_____． 【答案】 【分析】因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值． 【详解】∵关于的方程组和的解相同， 方程和的解相同， 联立方程组可得：， 得：， 解得：， ， 解得：， 方程组的解为， 根据题意可得，方程和方程的解也是， ， 化简得：， 解得：， ． 【跟踪专练3】已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 题型12.新定义题 【典例】已知，其中a，b为常数．已知．则___________． 【答案】 【分析】先根据题意列出方程组即可求出a与b的值，再根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ∴， ∴． 【跟踪专练1】对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则______． 【答案】 【分析】根据新定义法则得出，求出的值，再根据新定义运算法则，计算即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解本题的关键在理解新定义运算法则． 【跟踪专练2】对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确． 【详解】解：， ， 解得，故（1）正确； ， ， ， ， ，故（2）正确； 、均取整数， ，，， ∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去） ∴m，n有2组整数解，故（3）正确； ∵，无论取何值时，的值均不变， ， ∴或，故（4）不正确； ， ， ， 对任意有理数、都成立， ，故（5）正确； 综上所述：（1）（2）（3）（5）正确， 故选：C． 【解答题】 1．若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得． 2．解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 3．对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 【答案】(1)不具有“邻好关系”，理由见解析 (2)或； (3)或 【分析】（1）先求出方程组的解，再代入验证即可； （2）由得，，根据题意得到，解得m的值即可； （3）根据该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程组的解x与y不具有“邻好关系”， 理由如下：， 得，， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y不具有“邻好关系”； （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或； （3）解：， ∵该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上，或． 4．对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 5．已知关于x，y的二元一次方程，每取一个a的值，就得到一个方程． (1)若，判断是不是该方程的解； (2)是否存在方程的一组解使得这个方程的解与a的取值无关，若存在，请求出这组解；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不是 (2)存在，， 【分析】（1）将代入原方程整理得：，再将代入方程判断即可； （2）将原方程整理得，若解与a取值无关，则需要同时满足： ，解答即可 【详解】（1）解：当时，代入原方程整理得：， 将代入方程得：，因此该组不是方程的解； （2）解：将原方程按含的项整理：， 若解与a取值无关，即不论a取何值等式恒成立， 因此需要同时满足： ， 解方程得，，因此存在这组固定解． 6．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 【答案】，，0 【分析】根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此分别代入到对应的方程求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：把代入中得， 解得， 把代入中得， 解得， ． 7．已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 【答案】0 【分析】先求出，再将代入，解得，即可得到答案． 【详解】解：两个方程组的解相同，故是两个方程组的公共解， 解得， 将代入，得， 解得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $