专题03平行线的性质与判定复习讲义(15大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年青岛版七年级数学下册

专题03平行线的性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平行线的定义、同一平面内两直线的位置关系，掌握平行公理及其推论，明晰平行与相交的区别。 2.熟记平行线三大判定方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。 3.熟记平行线三大性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 4.精准区分平行线判定与平行线性质的因果关系，理清二者互逆逻辑，杜绝混淆。 5.准确识别同位角、内错角、同旁内角，能在复杂图形中快速找准三类关键角。 1.能灵活运用平行线判定，由角的数量关系证直线平行，掌握几何简单推理书写。 2.能灵活运用平行线性质，由直线平行求角度、证角相等或互补。 3.学会结合对顶角、邻补角、垂直等旧知识，进行综合角度计算与几何证明。 4.提升识图能力、逻辑推理能力，规范几何解题步骤与推理依据书写。 1.牢记 “判定：角→平行，性质：平行→角” 核心逻辑，选择、填空基础题零失误。 2.熟练掌握几何解答题答题格式，规范书写∵∴ 及定理依据。 3.能解决折线拐角、多线平行等中档综合题型，培养数形结合思想。 4.建立几何逻辑思维，为后续三角形、几何证明打下扎实基础。 题型01.平行公理的应用 题型02.平行公理推论的应用 题型03.同位角.内错角.同旁内角 题型04.同位角相等.两直线平行 题型05.内错角相等.两直线平行 题型06.同旁内角互补.两直线平行 题型07.立体图形中平行的棱 题型08.两直线平行同位角相等 题型09.两直线平行内错角相等 题型10.两直线平行同旁内角互补 题型11.由平行线的性质探究角的关系 题型12.由平行线性质求角的度数 题型13.平行线性质的应用 题型14.由平行线判定于性质求角度 题型15.由平行线判定于性质证明 解答题8题 知识点01:基础铺垫：三线八角（必会识图） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，三类关键角： 同位角：位置相同，同上同左、同上同右，形状像 “F” 内错角：两线内部，左右错开，形状像 “Z” 同旁内角：两线内部，同侧相邻，形状像 “U” ✅ 关键提醒： 三类角只看位置关系，和角度大小无关；只有两直线平行时，三类角才有固定数量关系。 知识点02:平行线及其判定 1. 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。符号：a∥b⚠️ 前提条件：同一平面内同一平面内两直线位置只有两种：相交、平行 2. 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3. 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 简言之：平行于同一直线，两线互相平行 平行 平行公理 同一平面内不相交的两直线 知识点03:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点04:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点05:判定 vs 性质 超清晰对比表（重中之重） 类别 推理方向 口诀 作用 平行线判定 角相等 / 互补 ⇒ 两直线平行 由角证线 证明两条直线平行 平行线性质 两直线平行 ⇒ 角相等 / 互补 由线得角 计算角度、证明角关系 一句话绝杀区分：判定是找理由证平行，性质是知平行求角度。 高频易错点 避雷专区 1.不要混淆因果：判定：角推平行；性质：平行推角，顺序不能反。 2.同位角、内错角不一定相等，同旁内角不一定互补，只有两直线平行才成立。 3.平行公理只限制：直线外一点，直线上一点无法作平行线。 4.不在同一平面内，不相交的直线不一定平行。 5.做题识图：先找截线，再找被截两直线，快速锁定三类角。 . 题型01.平行公理的应用 【典例】a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理， 根据平行公理及推论求解即可． 【详解】解：∵， ∴. 故选：B． 【跟踪专练1】如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【跟踪专练2】如图是一个工业机械臂调整场景，是操作台的基准轴线，点A，B，M，N，P在同一平面内．当，且时，可判定机械臂与在同一条直线上，判定依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：当时，；时，， 根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上． 题型02.平行公理推论的应用 【典例】三条直线，若，则与的位置关系是______． 【答案】 【分析】根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即可判断与的位置关系． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行可得到结论． 【详解】解：∵， ∴     又∵ ∴ 【跟踪专练2】如图，已知，，试说明．请补全解答过程． 解：因为， 所以根据______，得． 又因为， 所以根据______，得______． 所以根据______，得． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】首先根据同旁内角互补判定，再根据内错角相等判定，最后利用平行于同一条直线的两条直线平行得出结论． 【详解】解：因为， 所以根据“同旁内角互补，两直线平行”，得． 又因为， 所以根据“内错角相等，两直线平行”，得． 所以根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，得． 题型03.同位角.内错角.同旁内角 【典例】如图，若直线a，b被直线l所截，则的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内错角的定义进行判断，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，其边构成“Z”形． 【详解】解：由内错角的定义可得：与是一组内错角． 【跟踪专练1】如图，根据汉字“士”中标注的角，回答下列问题： （1）与成同位角的是________； （2）与成内错角的是________； （3）图中有________对同旁内角，分别是________． 【答案】 2 与，与 【详解】解：（1）由图可知：与成同位角； （2）由图可知：与成内错角； （3）由图可知：图中有2对同旁内角，分别是与，与． 【跟踪专练2】如图，下列结论错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 【详解】解：A.与是同位角，该结论正确，故选项不符合题意； B.与是内错角，该结论正确，故选项不符合题意； C.与不是同位角，该结论错误，故选项符合题意； D.与是同旁内角，该结论正确，故选项不符合题意. 题型04.同位角相等.两直线平行 【典例】如图，用直尺和三角尺作出直线、，得到的理由是_____． 【答案】同位角相等，两直线平行 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线的方法.，在平移三角尺的过程中，三角尺与直尺边缘的夹角保持不变.，这两个角在直线、被直尺边缘所截的同位角位置上， 同位角相等.， (同位角相等，两直线平行)． 【跟踪专练1】如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、， ∴，不符合题意． 【跟踪专练2】如图，点在的延长线上，给出四个条件：；；；．其中能判断的有______．（填写所有满足条件的序号） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有， 故答案为：． 题型05.内错角相等.两直线平行 【典例】如图，由可得，其中依据的数学原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据内错角相等，两直线平行进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故其中依据的数学原理是内错角相等，两直线平行． 【跟踪专练1】如图，要使，请你添加一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：添加，根据内错角相等，两直线平行，可得， 添加或，根据同旁内角互补，两直线平行，可得， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、， （内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； 、， （内错角相等，两直线平行），不能判定，故本选项符合题意； 、 ， （内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； 、 ， （同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意． 题型06.同旁内角互补.两直线平行 【典例】如图，一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据__________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了阅读题目信息，观察图形，试着得到的位置关系； 分析可得是同旁内角，回想平行线的判定定理； 根据同旁内角互补，两直线平行即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行. 【跟踪专练1】如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，能判定，故A不符合题意； B、，能判定，故B不符合题意； C、，能判定，故C不符合题意； D、，能判定，不能判定，故D符合题意． 【跟踪专练2】如图，平分，平分，要使，则和应满足的条件是____． 【答案】 【分析】根据平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，可知要使，需满足，再结合角平分线的定义将和分别用和表示，即可得出和应满足的关系． 【详解】解：平分，平分， ，． 要使， 根据“同旁内角互补，两直线平行”，需满足， ， ． 题型07.立体图形中平行的棱 【典例】观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 【跟踪专练1】将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有_________条． 【答案】8 【分析】本题考查长方体的棱的分组特征，解题关键是明确与水面平行的棱为长方体上、下底面的所有棱． 长方体有12条棱，分为三组互相平行的棱，每组4条．当长方体放置使一个面与水面平行时，水平方向的棱最多． 【详解】长方体共有12条棱，分为3组，每组4条棱互相平行且长度相等，这3组棱分别对应长、宽、高三个方向． 要使与水面平行的棱最多，应使长方体的一个面与水面平行，此时，构成上、下底面的棱均与水面平行． 因为因为上底面有4条棱，下底面也有4条棱， 因此与水面平行的棱最多有条． 故答案为：8． 【跟踪专练2】一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据五棱柱的性质，确定互相平行的棱最多的情形，即可求解． 【详解】解：五棱柱的侧棱互相平行，侧面均为平行四边形，当同一底面上有两对棱互相平行时，平行的棱的对数最多， 如图，在五棱柱中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有对， ∴ 一个五棱柱中，互相平行的棱最多有对． 故选：D． 题型08.两直线平行同位角相等 【典例】如图，若，，则（   ） A． B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】先根据互补的定义，求得，再根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：，， ， ， ． 【跟踪专练1】数学中的“”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】设平行的两条直线为，根据平行线的性质得，由对顶角相等的性质得到，从而即可求解． 【详解】解：如图，， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，直线，，则下列正确个数为（   ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平行线的性质进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴，，故①、③、④正确； ∵， ∴ ∴，故②正确； 故正确的有四个． 题型09.两直线平行内错角相等 【典例】如图，街道与平行，其中一个拐角，则另一个拐角的度数为_______． 【答案】/150度 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得答案． 【详解】解：∵街道与平行，即， ∴． 【跟踪专练1】如图，，，，是射线上的一点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质先求出，再根据两直线平行内错角相等，得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，，点在线段上，，平分，平分，若，则___________． 【答案】45 【分析】由平分，可得，再由，得，，可得，再由平分，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型10.两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，直线与直线，分别交于点，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，根据两直线平行，同旁内角互补，得． 【跟踪专练1】共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知，，，则__________°． 【答案】65 【分析】结合两直线平行，同旁内角互补得，又因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】山西省因地处太行山以西而得名，如图所示的“山”字中，且，若，则的度数为（   ） . A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 题型11.由平行线的性质探究角的关系 【典例】如图，若，，则_____． 【答案】 【分析】由，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等即，由，利用两直线平行同旁内角互补，再等量代换即可求证． 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，与关系描述正确的是（   ） A．与互补 B．与互余 C． D． 【答案】D 【分析】利用平角的定义求出，再根据平行线的性质即可得出与的关系． 【详解】解：如图， 纸条两边平行， ∴， 由图可得，， ， ∵， ． ． ． 【跟踪专练2】数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 故答案为：． 题型12.由平行线性质求角的度数 【典例】如图，直线，，则的度数是（   ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【分析】根据邻补角求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴. 【跟踪专练1】如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相反，第一次拐弯的角，第二次拐弯的角是_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质求解． 公路两次拐弯后方向相反，说明前后两段公路互相平行；根据平行线的性质，同旁内角互补，即可求出第二次拐弯的角度． 【详解】解：∵ 公路两次拐弯后和原来的方向相反， ∴ 前后两段公路互相平行， 根据“两直线平行，同旁内角互补”，得． ， ． 【跟踪专练2】如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线，与在直线异侧．若，，射线分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间t的值为多少时，与平行．（   ） A．4秒或10秒 B．4秒或50秒 C．40秒或50秒 D．4秒或40秒 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，本题要分情况进行讨论，①当与在直线异侧，②当旋转到与都在的上方时，③当旋转到与都在的下方时，分别根据题意表示出平行条件下的同位角，结合方程计算即可． 【详解】①当与在直线异侧，CD与AB平行时，如图 ∵，， ∴， ， 当时，则， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴符合题意； ②当旋转到与都在的上方时，如图 ∵，， ∴当时，则， ∴， 解得， 此时，， ∴， ∴时符合题意； ③当旋转到与都在的下方时，如图 ∴，， 当时，则, ∴， ∴， 此时，， ∵， ∴此时不符合题意． 综上所述，当时间t的值为秒或秒，与平行． 题型13.平行线性质的应用 【典例】．武汉市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）． ， ． 【跟踪专练1】如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，一条公路两次转弯后又回到原来的方向，若第一次转弯的转角的度数为，那么应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得出，即可求解． 【详解】解：， ． 题型14.由平行线判定于性质求角度. 【典例】如图所示的是由4条线段，，，组成的“鱼”形图案，若，，，则的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】B 【分析】根据判定，再利用平行线的性质及对顶角相等求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图， 设的对顶角为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则______． 【答案】 【分析】作，得到，进而得到，，根据角的和差关系列出等式，进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，，射线交于点，，点为上一点，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点N作，过点M作，则，由平行线的性质可得，，则可证明，设，则，可证明，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点N作，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则 ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型15.由平行线判定于性质证明 【典例】如图，下列推理不正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行判定，故此选项不符合题意； B、由，可以根据两直线平行，同旁内角互补得到，不能得到，故此选项符合题意； C、由，可以根据同位角相等，两直线平行判定，故此选项不符合题意； D、由，可以根据两直线平行，同位角相等得到，故此选项不符合题意； 【跟踪专练1】如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】①根据角平分线的定义得出，，再根据，即可得出，于是推出；②由角平分线的定义结合已知推出，再根据内错角相等，两直线平行即可得出；③由两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义得出，结合①的结论即可得出；④先证，再根据平行线的性质即可得证． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ， ， 即，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ， 由①知， ，故③正确； 平分， ， ， ， ， ， ，故④正确； 其中正确的有：①②③④． 【跟踪专练2】如图，点、点分别是的边、上的点，连接并延长到，使得，若，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定和性质，可判断，设，，，由角平分线的定义可得， ， 可判断． 【详解】解：∵， ∴，故正确； ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∴， 又∵， ∴， ∴平分，故正确； 在延长线上取点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 设，，， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵ 平分， ∴， ∴， 即， 将代入，得， 解得， ∴，故不正确． 【解答题】 1．如图，已知，那么吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，证明，则可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 2．如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平行线的判定与性质补全证明过程即可． 【详解】证明：（已知）． （等式性质1）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 3．如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，求证：直线与平行． 【答案】见解析 【分析】先由垂直的定义与，可求解的度数，进而可求解的度数，再由即可证明． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 4．阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点G、K，直线上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线和直线之间，连接和，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴　　　　　　　　　　　　　　， ∴　　　　　　　（　　　　　　　）， ∵（已知）， ∴　　　　　　　， ∴（　　　　　　　）． 【答案】；；；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行； 【分析】根据平行线的性质和判定定理解题即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 5．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合下图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． (1)如图①，，，求证：； (2)如图②，，，写出与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据“两直线平行，内错角相等”证明； （2）利用平行线的性质得到、，进而得到与的关系． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 证明：， ， ， ， ． 6．如图，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由垂直证明，结合角度的关系可得，由此可证； （2）设，由此可表示与，再由平行关系可得，由此可解x的值，进而可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，解得， ∴， ∵， ∴． 7．2026年春晚《武BOT》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强，意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，求．（提示：过点作） 【答案】 【分析】过点作，结合平行线的性质可得，的度数，运用角的和差关系可得的度数，进而可得的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． 8．解答下列各题： (1)如图1，直线，若，，则 如图2，直线，则 如图3，直线，那么的度数是 (2)如图4，直线，连接，直线，及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） ①当动点落在第①部分时，求证：； ②当动点落在第②部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立） ③当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 【答案】(1)；； (2)①见解析；②不成立；③当在射线右侧时：；当在射线上时：且；当在射线左侧时：，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点E作，根据两直线平行，内错角相等得到、，进而得到；如图2，过点E作，根据两直线平行，同旁内角互补得到、，进而得到；如图3，过点A作、过点作，过点C作，利用多次平行线的性质求解即可； （2）同（1）进行求解即可，当动点在第③部分时，要注意分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点E作， ， ， 、， ； 如图2，过点E作， ， ， 、， ， 即； 如图3，过点A作、过点作，过点C作， 同图1得：， ， ， ， ， ； （2）解：①过点作交于， ， 、， ， 即； ②不成立， 过点作交于， ， 、， ， 即； ③（a）当在射线右侧时，结论是：； （b）当在射线上时，结论是：且； （c）当在射线左侧时，结论是：； 选择（a）证明： 如图，连接，连接交于， ， ， ， ； 选择（b）证明： 如图，在射线上， ， ， ； 选择（c）证明： 如图，连接，连接交于， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行线的性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平行线的定义、同一平面内两直线的位置关系，掌握平行公理及其推论，明晰平行与相交的区别。 2.熟记平行线三大判定方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。 3.熟记平行线三大性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 4.精准区分平行线判定与平行线性质的因果关系，理清二者互逆逻辑，杜绝混淆。 5.准确识别同位角、内错角、同旁内角，能在复杂图形中快速找准三类关键角。 1.能灵活运用平行线判定，由角的数量关系证直线平行，掌握几何简单推理书写。 2.能灵活运用平行线性质，由直线平行求角度、证角相等或互补。 3.学会结合对顶角、邻补角、垂直等旧知识，进行综合角度计算与几何证明。 4.提升识图能力、逻辑推理能力，规范几何解题步骤与推理依据书写。 1.牢记 “判定：角→平行，性质：平行→角” 核心逻辑，选择、填空基础题零失误。 2.熟练掌握几何解答题答题格式，规范书写∵∴ 及定理依据。 3.能解决折线拐角、多线平行等中档综合题型，培养数形结合思想。 4.建立几何逻辑思维，为后续三角形、几何证明打下扎实基础。 题型01.平行公理的应用 题型02.平行公理推论的应用 题型03.同位角.内错角.同旁内角 题型04.同位角相等.两直线平行 题型05.内错角相等.两直线平行 题型06.同旁内角互补.两直线平行 题型07.立体图形中平行的棱 题型08.两直线平行同位角相等 题型09.两直线平行内错角相等 题型10.两直线平行同旁内角互补 题型11.由平行线的性质探究角的关系 题型12.由平行线性质求角的度数 题型13.平行线性质的应用 题型14.由平行线判定于性质求角度 题型15.由平行线判定于性质证明 解答题8题 知识点01:基础铺垫：三线八角（必会识图） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，三类关键角： 同位角：位置相同，同上同左、同上同右，形状像 “F” 内错角：两线内部，左右错开，形状像 “Z” 同旁内角：两线内部，同侧相邻，形状像 “U” ✅ 关键提醒： 三类角只看位置关系，和角度大小无关；只有两直线平行时，三类角才有固定数量关系。 知识点02:平行线及其判定 1. 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。符号：a∥b⚠️ 前提条件：同一平面内同一平面内两直线位置只有两种：相交、平行 2. 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3. 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 简言之：平行于同一直线，两线互相平行 平行 平行公理 同一平面内不相交的两直线 知识点03:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点04:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点05:判定 vs 性质 超清晰对比表（重中之重） 类别 推理方向 口诀 作用 平行线判定 角相等 / 互补 ⇒ 两直线平行 由角证线 证明两条直线平行 平行线性质 两直线平行 ⇒ 角相等 / 互补 由线得角 计算角度、证明角关系 一句话绝杀区分：判定是找理由证平行，性质是知平行求角度。 高频易错点 避雷专区 1.不要混淆因果：判定：角推平行；性质：平行推角，顺序不能反。 2.同位角、内错角不一定相等，同旁内角不一定互补，只有两直线平行才成立。 3.平行公理只限制：直线外一点，直线上一点无法作平行线。 4.不在同一平面内，不相交的直线不一定平行。 5.做题识图：先找截线，再找被截两直线，快速锁定三类角。 . 题型01.平行公理的应用 【典例】a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 【跟踪专练1】如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【跟踪专练2】如图是一个工业机械臂调整场景，是操作台的基准轴线，点A，B，M，N，P在同一平面内．当，且时，可判定机械臂与在同一条直线上，判定依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 题型02.平行公理推论的应用 【典例】三条直线，若，则与的位置关系是______． 【跟踪专练1】在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【跟踪专练2】如图，已知，，试说明．请补全解答过程． 解：因为， 所以根据______，得． 又因为， 所以根据______，得______． 所以根据______，得． 题型03.同位角.内错角.同旁内角 【典例】如图，若直线a，b被直线l所截，则的内错角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，根据汉字“士”中标注的角，回答下列问题： （1）与成同位角的是________； （2）与成内错角的是________； （3）图中有________对同旁内角，分别是________． 【跟踪专练2】如图，下列结论错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 题型04.同位角相等.两直线平行 【典例】如图，用直尺和三角尺作出直线、，得到的理由是_____． 【跟踪专练1】如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点在的延长线上，给出四个条件：；；；．其中能判断的有______．（填写所有满足条件的序号） 题型05.内错角相等.两直线平行 【典例】如图，由可得，其中依据的数学原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【跟踪专练1】如图，要使，请你添加一个条件是______． 【跟踪专练2】如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 题型06.同旁内角互补.两直线平行 【典例】如图，一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据__________． 【跟踪专练1】如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，平分，平分，要使，则和应满足的条件是____． 题型07.立体图形中平行的棱 【典例】观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 【跟踪专练1】将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有_________条． 【跟踪专练2】一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 题型08.两直线平行同位角相等 【典例】如图，若，，则（   ） A． B．100° C．110° D．120° 【跟踪专练1】数学中的“”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若，则的度数是_____． 【跟踪专练2】如图，直线，，则下列正确个数为（   ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型09.两直线平行内错角相等 【典例】如图，街道与平行，其中一个拐角，则另一个拐角的度数为_______． 【跟踪专练1】如图，，，，是射线上的一点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，点在线段上，，平分，平分，若，则___________． 题型10.两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，直线与直线，分别交于点，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知，，，则__________°． 【跟踪专练2】山西省因地处太行山以西而得名，如图所示的“山”字中，且，若，则的度数为（   ） . A． B． C． D． 题型11.由平行线的性质探究角的关系 【典例】如图，若，，则_____． 【跟踪专练1】将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，与关系描述正确的是（   ） A．与互补 B．与互余 C． D． 【跟踪专练2】数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为_____． 题型12.由平行线性质求角的度数 【典例】如图，直线，，则的度数是（   ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【跟踪专练1】如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相反，第一次拐弯的角，第二次拐弯的角是_____． 【跟踪专练2】如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线，与在直线异侧．若，，射线分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间t的值为多少时，与平行．（   ） A．4秒或10秒 B．4秒或50秒 C．40秒或50秒 D．4秒或40秒 题型13.平行线性质的应用 【典例】．武汉市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【跟踪专练2】如图，一条公路两次转弯后又回到原来的方向，若第一次转弯的转角的度数为，那么应是（    ） A． B． C． D． 题型14.由平行线判定于性质求角度. 【典例】如图所示的是由4条线段，，，组成的“鱼”形图案，若，，，则的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【跟踪专练1】如图，已知，，，则______． 【跟踪专练2】如图，，射线交于点，，点为上一点，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 题型15.由平行线判定于性质证明 【典例】如图，下列推理不正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【跟踪专练1】如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（填序号） 【跟踪专练2】如图，点、点分别是的边、上的点，连接并延长到，使得，若，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的序号是（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，已知，那么吗？为什么？ 2．如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 3．如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，求证：直线与平行． 4．阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点G、K，直线上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线和直线之间，连接和，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴　　　　　　　　　　　　　　， ∴　　　　　　　（　　　　　　　）， ∵（已知）， ∴　　　　　　　， ∴（　　　　　　　）． 5．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合下图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． (1)如图①，，，求证：； (2)如图②，，，写出与的关系，并证明． 6．如图，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 7．2026年春晚《武BOT》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强，意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，求．（提示：过点作） 8．解答下列各题： (1)如图1，直线，若，，则 如图2，直线，则 如图3，直线，那么的度数是 (2)如图4，直线，连接，直线，及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） ①当动点落在第①部分时，求证：； ②当动点落在第②部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立） ③当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $