精品解析：辽宁盘锦市高级中学2026届高三年级第二次模拟数学试题

绝密★启用前 2026年盘锦市高级中学高三年级第二次模拟 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，则. 2. 已知全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】易知； 又，所以， 因此的子集个数为个. 3. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量. 【详解】设公差为，则，解得. 故选：B 4. 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用抛物线的定义求证，再在直角梯形中计算即可. 【详解】连接，因为，所以， 由抛物线的定义可知，，所以，则， 同理可得，，故， 由，可得，， 故在直角梯形中，， 因为为线段的中点，所以. 5. 在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，作图如下： 因为三点共线，所以可设 又，可得； 所以； 又因为三点共线，可设， 因此可得，解得； 所以 可得. 6. 圆与圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定两圆的位置关系，再由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】由，所以圆心，半径； 由，所以圆心，半径. 所以，且，所以两圆相交. 所以两圆公共弦所在的直线方程为：， 即，就是. 故选：B 7. 已知函数，则下列选项中错误的是（ ） A. 为的周期 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于点对称 D. 是奇函数 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，因，即为的周期，故A正确； 对于B，因，即， 故的图象不关于对称，即B错误； 对于C，，故的图象关于点对称； 对于D，，令， 则，即是奇函数，故D正确. 8. 正四棱锥中，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正棱锥球的内切或外接确定球心位置，然后求出外接球和内切球半径，然后根据外接球半径与内切球半径之比最小时，求出，即可求解. 【详解】如图，正四棱锥中，正方形的对角线相交于点，则平面， 如图所示，设正四棱锥外接球的球心为，， 连接，则， 因为，所以, 在中， ,即， 如图所示，设正四棱锥内切球的球心为， ， 取的中点，连接, 设内切球与面切于点,与面切于点,易知,, 则， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当即时，等号成立，取得最小值， 所以， 所以， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 为等比数列 B. 为递增数列 C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】ABD 【解析】 【分析】由数列递推式两边同除以，可得，推得为等比数列，可判断A项；通过证明和可得B正确；利用错位相减法可求得的前项和为，排除C项；化简得，易求得该数列的前项和推出D项正确. 【详解】由两边同除以，可得：， 因，则，故为等比数列，首项为4，公比为2. 对于A，由上分析，是公比为2的等比数列，即A正确； 对于B，由上分析，可得，即， 由，因，故为递增数列，故B正确； 对于C，由上已得，则 ①， 则  ②， 由：， 即，即， 故得，故C错误； 对于D，因，则， 故的前项和为，故D正确. 10. 已知双曲线C：，则下列结论正确的是（ ） A. m的取值范围是 B. C的焦距与m的取值无关 C. 若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D. 存在实数，使得点在C上 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.由求解判断；B.由C的焦距为2判断；C.由和求解判断；D.结合，由判断. 【详解】由题意得，则，A正确． 由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确． 由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确． 假设存在实数，使得点在C上，则，． 当时，，则， 所以在上无实数解，D错误． 11. 已知边长为l的等边的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，且的重心G到平面α的距离恰有两个可能值，则l的取值可以为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】先证明引理：若不全相等，则空间中存在一个边长为的正三角形，满足到平面的有向距离分别是的充要条件是，然后将题目条件分4种情况考虑，分别计算出对应的存在的条件，再通过这4个条件中恰有2个成立，可得出的取值范围，最后分别验证4个选项即可得到正确答案. 【详解】对题目中给定的平面，我们取定平面的一个法向量，并将该法向量所指的方向定义为平面的上方. 然后，我们定义空间中一个点到平面的有向距离：一方面，到平面的有向距离的绝对值等于到平面的距离； 另一方面，若在平面的上方，则到平面的有向距离为正数，若在平面的下方，则到平面的有向距离为负数. 易知，到平面的全体有向距离为的点构成的集合为一个平面，将该平面记为， 那么就有：，且全体两两之间是平行的，而两平面之间的距离为. 现在，我们证明一个引理： 引理：若不全相等，则空间中存在一个边长为的正三角形，满足到平面的有向距离分别是的充要条件是：. 如图所示： 一方面，我们证明必要性： 若空间中存在一个边长为的正三角形，满足到平面的有向距离分别是，且不全相等： 记点所在的平面为，则由于不全相等，知不可能是某个， 由于全体两两之间是平行的，所以不可能平行于任意一个， 故和任意一个都有唯一的交线，将其记为. 然后，在上任取一点，并过作的垂线交于，然后以为原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系. 这样相应确定的轴显然就是直线，记两直线和之间的距离为，则，且直线的方程就是. 现在，由于是边长为的正三角形，故可设，， 而分别在平面上，从而分别在直线上， 这意味着我们有，. 从而，，故： . 这就有 . 所以. 从而必要性得证. 另一方面，我们证明充分性： 若不全相等，且. 我们取，则. 然后取一个平面，使得和之间的夹角的正弦值为. 此时，和任意一个的夹角正弦值都是正数，故和任意一个都有唯一的交线，将其记为. 此时，之间的距离为， 从而我们可以在上取一个平面直角坐标系，使得的方程恰为. 这种情况下，和之前证明必要性时进行的演算类似，可以证明恒等式， 这表明我们可以再取一个实数使得，. 然后，在该直角坐标系下取，，， 则显然是边长为的正三角形，与此同时，由于，且 . 故分别在直线上，也就是分别在直线上， 从而分别在平面上，故它们到平面的有向距离分别是，充分性得证. 现在我们回到原题，根据对称性，我们不妨设中至少有两个点在平面的上方. 情形1：均在平面的上方，此时，而重心到平面的距离为 （这是因为重心的坐标可由三点取平均值得到，故它到的有向距离一定也是到的有向距离的平均值，即）. 若此种情况存在，根据我们的引理，这等价于； 情形2：在平面的下方，在平面的上方，此时，而重心到平面的距离为. 若此种情况存在，根据我们的引理，这等价于； 情形3：在平面的下方，在平面的上方，此时，而重心到平面的距离为. 若此种情况存在，根据我们的引理，这等价于； 情形4：在平面的下方，在平面的上方，此时，而重心到平面的距离为. 若此种情况存在，根据我们的引理，这等价于. 而题目条件为重心到平面的距离恰有两个可能值，根据以上讨论，这就相当于四个不等式，，，中恰有两个成立，这等价于. 综上，原题条件等价于给定的边长满足. 最后，分别验证A，B，C，D四个选项，它们的平方分别是，，，，在区间上的是，，所以B，C正确，A，D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题最重要的还是证明引理：若不全相等，则空间中存在一个边长为的正三角形，满足到平面的有向距离分别是的充要条件是，这也是该问题的核心. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为，建立等量关系，从而求出实数. 【详解】解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为. 已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得. 13. 已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求得球心到平面的距离，可求得到平面的距离的最大值，进而可求四面体的体积的最大值. 【详解】设球心为，因为球的表面积为，所以球的半径. 因为是边长为3的正三角形，所以的外接圆半径为， 所以到平面的距离， 所以到平面的距离的最大值为， 所以四面体的体积的最大值为：. 故答案为： 14. 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 【答案】 【解析】 【分析】设为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解，再利用数学期望的线性性质求出. 【详解】将门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，， 则， 又， 则． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列各项均不为零，，，. （1）当时，求的前50项和； （2）若，求正整数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求出数列的周期，根据数列的周期进行求解即可； （2）利用特殊值法，结合等差数列的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为数列各项均不为零，，， 所以当时，由， 所以有 ， 所以此时该数列的周期为，因此， 所以的前50项和为； 【小问2详解】 由， 因为，， 所以， 因为， 所以，或， 因为是正整数，所以，即 当时，由， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此，所以， 显然恒成立，所以正整数的最小值为. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面PAD与平面PBD夹角为45°. （1）点P，A，B，C，D均在同一球面上，求该球的体积； （2）点E，F，G分别在棱AB，BC，PB上，当为等边三角形时，求直线AD与平面EFG所成角的正弦值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理得出线面垂直，进而证明平面ABCD，得出即可求解； （2）先证明面面平行再转化得出直线AD与平面EFG所成角等于AD与平面PAC所成角，最后应用空间向量法求出线面角正弦值. 【小问1详解】 因为底面ABCD为矩形，所以， 又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面PCD，所以，同理：， 又因为，平面ABCD，所以平面ABCD， 由题知，由平面ABCD为矩形知：， 所以，所以，ABCD为正方形， 记PB中点为，可求得：， 所以O为该球的球心，其半径 因此，该球的体积 【小问2详解】 若平面EFG与平面PAC不平行， 依平行性，不妨将点G放在点P的位置，不妨设E不在A的位置， 则，，不合题意 若平面平面PAC，则， 所以，所以为等边三角形， 又因为平面平面PAC，两平面的法向量共线， 所以直线AD与平面EFG所成角等于AD与平面PAC所成角 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，， 设平面PAC的一个法向量为，则， 所以，令，得 显然，设AD与平面PAC所成角为， 则 17. 13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行． （1）求五张字母牌互不相邻的概率； （2）求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率； （3）对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率．（结果用含k的式子表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式和排列数的计算公式可求解； （2）利用古典概型概率公式和排列数的计算公式可求解； （3）利用古典概型概率公式和排列数的计算公式可求解. 【小问1详解】 记五张字母牌互不相邻为事件为， 则； 【小问2详解】 记在标有8的卡牌左侧没有数字牌为事件， 由于标的牌都在标有的牌的右侧，有种排法， 所以； 【小问3详解】 标号比小的数字牌有张，比大的数字牌有张， . 18. 已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、． （1）求的方程； （2）求的外接圆的标准方程； （3）若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可得出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）分析可知不与轴平行，设直线的方程为，根据直线与抛物线相切以及点在直线上，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可求出点、，由此可求出的外接圆圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的方程； （3）解法一：设，，可得出，，结合已知条件得出，设，则，，设点，利用平面向量的坐标运算可化简得出点的轨迹方程； 解法二：记，，，可得出，根据三角形的面积关系得出，可得出的值，进而得出点为的重心，再结合平面向量的坐标运算化简可得出点的轨迹方程； 解法三：设、、、，设，则，根据平面向量的坐标运算得出点的坐标，设，同理可得出点的坐标，求出、的方程，结合，联立两直线方程可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为在上，所以，所以的方程为. 【小问2详解】 若与轴平行，则直线与轴无交点，不合题意； 若不与轴平行，则与相切于， 设直线的方程为，由，得， 所以，解得， 所以直线的方程为， 因为、、，，故为中点， 所以，线段中垂线的方程为，线段中垂线的方程为， 联立，解得，因此的外接圆圆心坐标为， 的外接圆半径等于， 所以，外接圆方程为. 【小问3详解】 解法一：设，， ，故， 所以，同理， 因为，所以，所以， 设，因为， 所以， 因为、、三点共线，所以，所以，则， 设，则，，设点， 因为，， 所以，所以， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为； 解法二：因为为中点，记，，， 则， 因为为中线，则且，故， 所以，所以是的重心， 设，则，，设点， 所以，解得， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为； 解法三：设、、、， 设，则，所以， 所以，， 设，同理可得：，， 直线的方程为， 又因为，化简得：①， 直线的方程为②， 由①②解得，消去得：， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为. 19. 已知函数，其中. （1）若函数是偶函数，求； （2）当时，讨论函数在上的零点个数； （3）若，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）两个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. 【小问2详解】 当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. 【小问3详解】 当时，；当时，， 则或. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 若，则函数，当时，显然成立，当时，因为,所以恒成立，即符合题意 综上，. 【点睛】方法点睛，本题是函数综合问题，考查了利用导函数得到函数单调性，由函数单调性解决不等式恒成立问题.本题需要先通过三角函数的值域先得到不等式在某个区间恒成立，再通过某个特殊值得到的范围，然后通过函数解析式的特殊性，分别讨论的范围内不等式恒成立.本题用到了隐零点的方法求得函数的最小值，要想不等式大于等于零恒成立，转变为最小值大于等于零，然后解得的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年盘锦市高级中学高三年级第二次模拟 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 2. 已知全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 圆与圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列选项中错误的是（ ） A. 为的周期 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于点对称 D. 是奇函数 8. 正四棱锥中，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 为等比数列 B. 为递增数列 C. 的前项和 D. 的前项和 10. 已知双曲线C：，则下列结论正确的是（ ） A. m的取值范围是 B. C的焦距与m的取值无关 C. 若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D. 存在实数，使得点在C上 11. 已知边长为l的等边的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，且的重心G到平面α的距离恰有两个可能值，则l的取值可以为（ ） A. B. C. 5 D. 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 13. 已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为_____________. 14. 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列各项均不为零，，，. （1）当时，求的前50项和； （2）若，求正整数的最小值. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面PAD与平面PBD夹角为45°. （1）点P，A，B，C，D均在同一球面上，求该球的体积； （2）点E，F，G分别在棱AB，BC，PB上，当为等边三角形时，求直线AD与平面EFG所成角的正弦值 17. 13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行． （1）求五张字母牌互不相邻的概率； （2）求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率； （3）对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率．（结果用含k的式子表示） 18. 已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、． （1）求的方程； （2）求的外接圆的标准方程； （3）若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程． 19. 已知函数，其中. （1）若函数是偶函数，求； （2）当时，讨论函数在上的零点个数； （3）若，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $