精品解析：江西赣州市瑞金市2025-2026学年八年级下学期期中阶段练习数学试卷

2026年春八年级数学阶段练习题 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 4. 四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，把一张矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，若得到一个钝角为的菱形，则剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 8. 正六边形内角和度数为___． 9. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 10. 某次研学过程中，老师让同学们利用所学知识测量被池塘隔开的、两点之间的距离．小明同学想到可以在不远处选择C点，测量、的中点、的距离．如图所示，若米，则AB的距离为________________． 11. 平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 12. 如图，在矩形ABCD中，，点P在BC上，且，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则_______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，已知：在平行四边形中，点、分别在边、上，．求证：四边形是一个平行四边形． 15. 如图，四边形是矩形，点在的延长线上，．求证：是等腰三角形． 16. 如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为米，问船向岸边移动了多少米． 17. 如图，在中，点是的中点，请仅用无刻度直尺作图（保留作图痕迹，不写画法） （1）在图1中，请过点作的平行线交于点． （2）在图2中，请过点作的平行线交于点． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： （1）两条小路的长度； （2）菱形花坛的面积． 19. 如图，有一张三角形纸片，三边长分别为，，． （1）求证：； （2）将沿折叠，使点B与点A重合，求的长． 20. （1）【课本再现】我们前面学习过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．请你尝试证明． 已知：如图1，是的中位线． 求证：． （2）【实践应用】 如图2，是的中位线，是边上的中线，与是否互相平分？请证明你的结论． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 22. 如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点． （1）与相等吗？证明你的结论： （2）试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明； （3）在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有_____（一个即可）； ②如图（1），点在正方形网格的格点上，请你在图中画出以格点为顶点，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； （2）知识运用 如图（2），是等边三角形，，且，，求证：，即四边形是“勾股四边形”． （3）拓展应用 如图（3），菱形是“勾股四边形”，对角线、交于点，，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春八年级数学阶段练习题 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意； B. ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式 ，不符合题意； C.被开方数含分母，不是最简二次根式 ，不符合题意； D.被开方数含分母，不是最简二次根式 ，不符合题意； 故选：A． 2. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形， 故A不符合题意； B、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，可以构成三角形，又，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形，故C符合题意； D、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 4. 四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 6. 如图所示，把一张矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，若得到一个钝角为的菱形，则剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况：和，根据菱形的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中，若， ∴， ∴与的夹角为，即剪口与第二次折痕所成角的度数应为 若时， ∵， ∴， ∴， ∴与的夹角为，即剪口与第二次折痕所成角的度数应为， 综上所述，剪口与第二次折痕所成角的度数应为或． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 则实数x的取值范围是：， 故答案为：． 8. 正六边形内角和度数为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据多边形内角和公式为：，其中为多边形的边数，且， ∵正六边形的边数， ∴代入公式得：． 9. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 10. 某次研学过程中，老师让同学们利用所学知识测量被池塘隔开的、两点之间的距离．小明同学想到可以在不远处选择C点，测量、的中点、的距离．如图所示，若米，则AB的距离为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴， 故答案为：． 11. 平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于，则，，再根据勾股定理求解． 【详解】作轴于，则，． 则根据勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值． 12. 如图，在矩形ABCD中，，点P在BC上，且，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意，分，，两种情况讨论，利用勾股定理和矩形的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=10， ∴AD=BC=10，CD=AB=4， ①当时，当M在BC上时，在Rt△ABP中，AB=4，PB=3， PM=AP=5， 而BC=10， ∴CM=10-3-5=2； 当M在AD上时，连接CM，如图，过点P作PN⊥AD，则四边形ABPN是矩形， AN=BP=NM=3， ,， 中，； ②当时，点M在AD上,连接CM，则AM=AP=5， ∴DM=AD-AM=BC-MD=10-5=5， ∵CD=AB=4， 在Rt△CMD中，， 故答案为：或或. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，同时利用了等腰三角形的性质和勾股定理，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，已知：在平行四边形中，点、分别在边、上，．求证：四边形是一个平行四边形． 【答案】证明：四边形是平行四边形，  ，． ，  ，即 ． 又因为在上、在上，结合，可得 ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质，得到边与的关系：平行且相等，结合已知条件，通过线段的和差关系推导和的数量关系，同时根据与平行的性质得到和的位置关系．依据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，完成证明． 【详解】略 15. 如图，四边形是矩形，点在的延长线上，．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，根据可证明四边形是平行四边形，可得，进而得出，即可证明是等腰三角形． 【详解】略． 16. 如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为米，问船向岸边移动了多少米． 【答案】船向岸边移动了米 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：在中： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：船向岸边移动了米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 17. 如图，在中，点是的中点，请仅用无刻度直尺作图（保留作图痕迹，不写画法） （1）在图1中，请过点作的平行线交于点． （2）在图2中，请过点作的平行线交于点． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，连接并延长交于点F，可证明，则可证明，进而可证明四边形是平行四边形，则； （2）连接交于点G，连接并延长交于点F，连接，可证明是的中线，则为的中位线，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： （1）两条小路的长度； （2）菱形花坛的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设与交于点O，根据菱形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长即可； （2）根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，设与交于点O， ∵四边形是菱形，且边长为，， ∴，， ∴，则， ∴，则； 【小问2详解】 解：由（1）得． 19. 如图，有一张三角形纸片，三边长分别为，，． （1）求证：； （2）将沿折叠，使点B与点A重合，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，即可得出答案； （2）由折叠知：，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠知：，为直角三角形， 在中，①， 设，则， 代入①式得 化简得， 解得：， 即CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 20. （1）【课本再现】我们前面学习过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．请你尝试证明． 已知：如图1，是的中位线． 求证：． （2）【实践应用】 如图2，是的中位线，是边上的中线，与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】 证明：（1）如图所示，延长到F，使得， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴，且； （2）如图，连接， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴分别为的三边中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质； （1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，，再由，即可证明； （2）如图，连接，证明四边形为平行四边形，从而可得结论． 【详解】略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】（1） （2） 木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 【解析】 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； 【小问2详解】 解：略． 22. 如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点． （1）与相等吗？证明你的结论： （2）试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明； （3）在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 【答案】（1） 解：，证明如下： ∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2） 解：当点O是的中点时，四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （3） 解：当满足时，四边形是正方形，证明如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵平行四边形是矩形， ∴， ∴菱形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义推出，根据等角对等边推出，同理可得，然后运用等量代换即可解答； （2）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，据此只需要满足即可，据此可得答案； （3）令，证明四边形是菱形，再结合四边形是矩形，即可证明是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有_____（一个即可）； ②如图（1），点在正方形网格的格点上，请你在图中画出以格点为顶点，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； （2）知识运用 如图（2），是等边三角形，，且，，求证：，即四边形是“勾股四边形”． （3）拓展应用 如图（3），菱形是“勾股四边形”，对角线、交于点，，，求四边形的面积． 【答案】（1）①正方形（或矩形）； ②如图所示，四边形和四边形即为所求； （2） 证明：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，即四边形是“勾股四边形”． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理可知，矩形和正方形相邻两边的平方和等于其一条对角线的平方，即可求解，②根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再结合网格的特点画出即可； （2）如图，连接，证明可得，，证明是等边三角形，得到，，则可证明，由勾股定理可得，则． （3）先证明四边形是正方形，得到，，证明得则可推出，据此可得答案． 【小问1详解】 解：①由勾股定理可知，矩形和正方形相邻两边的平方和等于其一条对角线的平方； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形是“勾股四边形”， ∴菱形的两边长的平方等于其对角线的平方， 不妨设 ∴ ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $