精品解析：江西省赣州市瑞金市2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2025年春八年级数学期中练习题 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项。） 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能组成直角三角形三边的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 4，6，8 D. 6，8，10 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，已知，，，是中位线，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 6. 如图，将一根长的筷子置于圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，且的取值范围是为，则圆柱形水杯的底面直径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若二次根式有意义，则应该满足的条件是______． 8. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 9. 计算：________． 10. 如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F．AB＝6．CF＝2，则CE＝_____． 11. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 12. 在中，，，，为射线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简： （2）已知点、分别为平行四边形的边、的中点，求证：四边形为平行四边形． 14. 如图是的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上（保留作图痕迹）． （1）在图①中，作一个以为一边而且面积为12的平行四边形； （2）在图②中，作一个以为其中一条对角线而且面积为10的平行四边形． 15. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 16. 如图，在中，，于，，，求的长． 17. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间（单位；s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？是的多少倍？ （2）从高空抛出物体经过落地，所抛物体下落的高度是多少？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 19. 如图，在四边形中，，是对角线上的两点． （1）若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 20. 某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长米，吊臂支柱B点与楼房的距离米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（的长度）． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形的周长； （2）是直角吗？说明理由． （3）以、、、任意三点为顶点的三角形有等腰直角三角形吗，若有，请说明理由． 22. 观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： （1）________； （2）当为正整数时，________； （3）计算的值． 六、解答题（本大题1小题，共12分） 23. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． （1）如图1，在邻余四边形中，，则________； （2）如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； （3）如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春八年级数学期中练习题 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项。） 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义可得，，和都是最简二次根式， 的被开方数含有能开得尽的因数，故不是最简二次根式， 故选：C． 2. 下列各组数中，能组成直角三角形三边的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 4，6，8 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴2、3、4不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、∵， ∴3、4、6不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、∵， ∴4、6、8不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴6，8，10能作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，中，已知，，，是中位线，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半得到的长，再根据三角形中位线等于第三边长的一半可得答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵是中位线， ∴， 故选：B． 5. 如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 6. 如图，将一根长的筷子置于圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，且的取值范围是为，则圆柱形水杯的底面直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，h的最大值是筷子的长度减去杯子的高度，h的最小值是筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，筷子的长度减去该直角三角形的斜边的长度，据此求出杯子的高度以及筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，该直角三角形的斜边长，再利用勾股定理求出底面直径即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，h的最大值是筷子的长度减去杯子的高度，则杯子的高度为 h的最小值是筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，筷子的长度减去该直角三角形的斜边的长度，则筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，该直角三角形的斜边长为， ∴圆柱形水杯的底面直径为， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若二次根式有意义，则应该满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 所以应满足的条件是的实数． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 8. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质． 9. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F．AB＝6．CF＝2，则CE＝_____． 【答案】5 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可求得DF＝4，再利用含30°角的直角三角形的性质求解AD，BC，BE的长，进而可求解CE的长， 【详解】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝6，∠D＝∠B＝60°， ∵CF＝2， ∴DF＝CD−CF＝6−2＝4， ∵AF⊥CD， ∴∠DAF＝90°−60°＝30°， ∴BC＝AD＝2DF＝8， ∵AE⊥BC，∠B＝60°， ∴∠BAE＝30°， ∵AB＝6， ∴BE＝AB＝3， ∴CE＝BC−BE＝8−3＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求解BC，CE的长是解题的关键． 11. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 12. 在中，，，，为射线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为________． 【答案】或 或 或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 分是等腰三角形、是等腰三角形且为底、是等腰三角形且为腰时三种情况讨论，利用等腰三角形的性质或勾股定理求解即可． 【详解】解：在中， ， 当是等腰三角形时， 此时 所以； 当是等腰三角形，且时， 且， 所以； 当时， ， ∴； 当是等腰三角形，且为底时， 则， 又， 所以 在中， 解得， 所以， 则； 综上所述：此等腰三角形的面积为或 或 或， 故答案为： 或 或 或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简： （2）已知点、分别为平行四边形的边、的中点，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1） （2）证明：∵是平行四边形， ∴，， 又∵点、分别为平行四边形的边、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，平行四边形的判定与性质． （1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）根据四边形是平行四边形，可得，，由、分别为平行四边形的边、的中点，可推出，即可证明． 【详解】（1）解：； （2）略 14. 如图是的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上（保留作图痕迹）． （1）在图①中，作一个以为一边而且面积为12的平行四边形； （2）在图②中，作一个以为其中一条对角线而且面积为10的平行四边形． 【答案】（1） 如图，四边形即为所作； （2） 如图，四边形即为所作． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）作高为，底边为的平行四边形即可； （2）根据题意作一个边长为，高为的平行四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1） 选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）6 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 16. 如图，在中，，于，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查考查勾股定理，由勾股定理求出，再根据等积关系求出． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 17. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间（单位；s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？是的多少倍？ （2）从高空抛出物体经过落地，所抛物体下落的高度是多少？ 【答案】（1），，倍； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，乘二次根式除法运算的实际应用，掌握运算法则是解题的关键． （）先把时，时，代入，然后根据二次根式的性质化简，再进行二次根式除法运算即可； （）当时，则，然后然后根据二次根式的性质化简即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，． ∴， ∴是的倍； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴所抛物体下落的高度是． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）17 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练运用乘法公式是解答本题的关键． （1）先计算，，再把变形为，再代入计算即可； （2）计算，再把变形为，然后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴ 19. 如图，在四边形中，，是对角线上的两点． （1）若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【小问1详解】 解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 略 20. 某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长米，吊臂支柱B点与楼房的距离米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（的长度）． 【答案】（1）10.5米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再由即可得出结论； （2）先由米得出的长，再由勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【小问1详解】 解：米，米， （米）， 吊臂点距离地面1.5米， 米， （米）， 答：吊臂最高点与地面的距离是10.5米； 【小问2详解】 解：由（1）知，米， 米， （米）， 米， （米）， （米）． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形的周长； （2）是直角吗？说明理由． （3）以、、、任意三点为顶点的三角形有等腰直角三角形吗，若有，请说明理由． 【答案】（1） （2）是直角， 理由为： 连接，则， ∴， ∴是直角三角形，且； （3）是等腰直角三角形， 理由为： ∵， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，二次根式的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求得各边长即可求解； （2）连接，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）根据勾股定理的逆定理可得，再根据解答即可． 【小问1详解】 解：，，，， ∴四边形的周长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： （1）________； （2）当为正整数时，________； （3）计算的值． 【答案】（1） （2） （3）45 【解析】 【分析】本题主要考查分母有理化，正确确定有理化因式是解答本题的关键． （1）原式分子与分母分别乘以即可； （2）方法同（1）； （3）将原式中含有分母的式子进行分母有理化后再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 六、解答题（本大题1小题，共12分） 23. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． （1）如图1，在邻余四边形中，，则________； （2）如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； （3）如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （3）15 【解析】 【分析】（1）根据邻余四边形的定义即可作答； （2）垂直平分，根据勾股定理逆定理，，即可证明； （3）①四边形是邻余四边形，，进而推出，，四边形是平行四边形，进而即可证明； ②延长到点F，使得，连接，推出，，则，进而作答即可． 【小问1详解】 解：∵邻余四边形，为锐角， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①四边形为平行四边形， ∵四边形是邻余四边形， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵A、E、B三点共线且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵A、E、B三点共线，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②如图，延长到点F，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是邻余四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴的长为15． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，新定义问题，解题的关键是理解新定义，作辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $