精品解析：安徽滁州市定远育才学校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

定远育才学校2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知平面向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知中，，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【详解】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A 3. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D 5. 已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】由题意得，在方向上的投影向量. 故选：C 6. 奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意可得，， ∴， 在中由正弦定理，，即，解得． ∴，则（）． 故选：B． 7. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果. 【详解】，由正弦定理得， ， ，即， ，，， ，，. 故选：A. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算结合给定图形计算判断ABC；利用数量积的定义及运算律计算判断D作答. 【详解】在中，为的中点，为的中点，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有，C正确； 对于D，依题意，，于是 ，D正确. 故选：BCD 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，由正弦定理求解即可判断；对于C，由余弦定理及基本不等式得，代入三角形面积公式即可判断，对于D，由余弦定理及基本不等式得，即可判断. 【详解】对于A，若，又，，由正弦定理得，故A错误； 对于B，由题意，，，由正弦定理得，故B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，，及余弦定理得， ，所以， 当且仅当时取等号， 所以的周长， 所以周长的最大值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 11. 已知向量，，，的夹角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 12. 已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【详解】设、的夹角为，由，为单位向量且满足， 可得，解得； 又，，所以， ，， ，的夹角为，则， 所以时，取得最小值为 13. 已知为内一点，若，则称点为的“布洛卡点”.若为等腰的“布洛卡点”，且为钝角，的外接圆的面积为，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合几何图形求出；利用正弦定理建立方程，结合差角的正弦求出. 【详解】由的外接圆的面积为，得外接圆半径，， 又为钝角，则，，， 在中，； 同理，在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得，则， 整理得，即，所以. 故答案为：； 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 14. 如图，在平行四边形中，，. （1）若，求的值； （2）若，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合向量线性运算的几何意义，用、表示出向量，即可求出、的值，代入即可. （2）将也用、表示，结合已知条件和数量积的定义求解即可. 【小问1详解】 ，，，又，，故. 【小问2详解】 ，， 又，，，， 故的值为. 15. 已知向量，，若，，与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积定义计算结合模长公式求解； （2）应用垂直数量积为0结合数量积运算律计算求参即可. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得． 所以当时，向量与向量互相垂直. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理得，再由正弦定理得，即可求解； （2）由三角形的面积公式，求得，根据题意和余弦定理，化简求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理及，可得， 又由正弦定理，可得. 因为，所以，所以，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，又知外接圆的半径为， 则由正弦定理得. 又由，可得， 根据余弦定理，得，所以，所以， 所以的周长为. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，且的周长为，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合正弦、余弦定理，求得，即可求解； （2）根据题意得到，结合（1）得到，联立方程组求得，再由余弦定的值，利用，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得，所以， 又由正弦定理和余弦定理，可得， 整理得，所以. 【小问2详解】 解：由，且的周长为，可得， 又由（1）可知，，即，所以， 联立方程组，解得， 所以， 则， 所以边上的高为. 18. 如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知. （1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）； （2）求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）先求出，的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出，最后利用正弦定理计算可得. 【小问1详解】 依题意可得，，， 在中由余弦定理， 即，即， 解得（舍去）或， 所以线段的长度约为. 【小问2详解】 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ， ∴ ． 又， 在中由正弦定理， 即，解得， 所以线段的长度约为. 19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，D为BC中点，求线段AD长； （3）若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用向量数量积的运算律及定义求解. （3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由D为BC中点，得，而， 所以. 【小问3详解】 由的面积为，得，解得， 由为内角的角平分线，得， 由，得， 因此，，当且仅当时取等号， 所以线段AD长的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知平面向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知中，，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 11. 已知向量，，，的夹角为，则______. 12. 已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______. 13. 已知为内一点，若，则称点为的“布洛卡点”.若为等腰的“布洛卡点”，且为钝角，的外接圆的面积为，则__________，__________. 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 14. 如图，在平行四边形中，，. （1）若，求的值； （2）若，，，求的值. 15. 已知向量，，若，，与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，且的周长为，求边上的高. 18. 如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知. （1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）； （2）求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）. 19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，D为BC中点，求线段AD长； （3）若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $