7.5 正态分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修三册

回忆与展望 二项分布、超几何分布描述的是______随机变量的概率分布规律 在生产中：某电器的使用寿命； 在测量中：同年龄人群的身高、体重等；小明上学途中等公交车的时间； 在生物学中：一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等； 在气象中：某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等； 离散型 随机变量 连续型 如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，而是充满某个区间甚至 整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类变量为连续型随机变量。 连续型随机变量： 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 二项分布 超几何分布 ？分布 7.5 正态分布 自主研读 P83~P85，梳理知识，记录疑问 什么是正态密度函数？什么是正态曲线？ 正态曲线有哪些几何特征？（对称轴、峰值、走势） 参数 μ 和 σ 在曲线中代表了什么含义？它们如何影响曲线的形状？  什么是 3σ原则？ 关注以下问题： 问题一：如何研究连续型随机变量在某个区间内的概率大小？之前有没有学过相关知识？  频率分布直方图 面积即为概率 问题二：增加样本容量，细化分组，缩小组距，频率分布直方图的轮廓会如何变化？  n=1000 钟形曲线 问题三：钟形曲线有何特征?在某区间的概率可用什么来代替？  中间高，两边低，左右对称 面积 频率 / 组距 X a 0 0.15 0.05 0.10 0.20 b f (x) x 钟形曲线是一个函数： (其中μ∈R，σ>0为参数.) 正态密度函数： 正态密度函数： 正态曲线： 正态分布： (其中μ∈R，σ>0为参数.) x y -3 -2 -1 3 2 1 O 问题四：正态密度函数中各个量的意义是什么？  若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x)， 则称随机变量X服从正态分布. 问题五：若 ，则下图中各区域面积的意义是什么？  区域A面积:____________ 区域B面积:____________ 正态曲线还有哪些特点？  ①曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称 ②曲线在x=μ处取得最大值 曲线与x轴间的区域面积为1 ③ ④曲线在x轴的上方，x轴为渐近线 问题六：一个正态分布由参数 μ 和 σ 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征?？ 1 σ=0.5 3 2 μ=-1 μ=0　 μ=1 μ为位置参数 反映了正态分布的集中位置， 可以用均值来估计. 故有E(X)=μ. μ=0　  =0.5 =1 =2 为形状参数 反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，可以用标准差来估计，故有D(X)=σ2. σ越大，曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”， 表示总体的分布越集中. 自主研读 P86~P87，梳理知识，记录疑问 3 σ 原则： 正态分布中特殊区间的概率 假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ―kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值. 在实际应用中, 通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值, 这在统计学中称为3σ原则. 几乎不可能发生 正态曲线下对称区域的面积相等，对应的概率也相等 问题七：根据3σ原则，数据落在 (μ-3σ， μ+3σ) 之外的概率仅为 0.27%. 如果某天你从服从N(μ，σ2)的流水线上抽到一个产品，其测量值远在3σ之外，你会怎么做？这体现了统计学的什么思想？ 可以认为生产出现了异常（如机器故障、原料变化）。 这体现了统计推断中的小概率事件原理（或假设检验的思想）：小概率事件在一次试验中几乎不会发生。如果发生了，我们有理由怀疑原有的假设（即分布正常）是错误的 典例精析 例1 随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于（ ） A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 C 变式：已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X<a)＝0.32， 则P(a≤X≤4―a)＝ . 0.36 典例精析 例2：已知随机变量X～N(5,4)，则P(1<X≤9)=( ) A.0.6826 B. 0.9544 C. 0.3413 D. 0.1587 B 典例精析 例3 一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从 正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大， 那么他应该选择哪一个方案？ 解：对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3， 对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1， 显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案. 归纳总结 其中μ∈R，σ>0为参数. ①曲线在x轴的上方，x轴为渐近线 ②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称 ③曲线在x=μ处取得最大值 曲线与x轴间的区域面积为1， ④ 2.性质： ⑤为位置参数，为形状参数， E(X)=μ，D(X)=σ2. 归纳总结 归纳总结 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中. 在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布. 归纳总结 德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线 随堂小测 课本P87 练习 1，2 课后作业 课本P87 习题7.5 1，2，3，4 课本P91 12 P(X>5)＝＋P(5<X≤11)＝≈0.841 35； P(X>5)＝≈0.977 25， $