7.5正态分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦正态分布，涵盖连续型随机变量、正态密度函数、性质、参数意义及3σ原则。通过“抓回星星”情境和食盐误差实例，从频率分布直方图过渡到正态曲线，搭建知识支架。 亮点在于以真实数据和问题链驱动，培养数学眼光与思维。用100袋食盐误差数据引导观察分布特征，通过推理得出正态曲线性质，结合李明上学时间实例应用3σ原则，发展应用意识。助力学生理解抽象概念，教师可借分层作业提升教学效率。

7.5正态分布 学习目标 1.能通过误差模型认识服从正态分布的随机变量,能用自己的语言说明正态分布、正态密度函数、正态密度曲线的概念、意义及性质。 2.能通过具体实例、借助频率直方图的几何直观,给出正态分布的特征;能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律。 3.能利用正态分布的均值、方差以及原则解决简单的实际问题。 创设情境,引入课题 正态分布，帮人类抓回“星星” 首先让我们看看高斯是如何利用正态分布帮人们抓回神秘的谷神星的。 3 连续型随机变量 问题1：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为．由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）． 用随机变量表示这种误差, 是离散型随机变量吗?如果不是,请说明理由. 连续型随机变量的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为. 接下来让我们重走一遍高斯的来时路，从谷神星的平替版食盐的误差来研究正态分布。 30秒思考后学生回答 问题2：检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差（单位：）的观测值如下： (1)如何研究这100个样本误差数据? -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 可以研究最大值、最小值、均值、方差 画频率分布直方图 正态分布的概念 现在我们回到具体的数据上，怎么研究这100个数据呢? 5 正态分布的概念 (2)你画出的频率分布直方图长什么样? 正态分布的概念 (2)你画出的频率分布直方图长什么样? 正态分布的概念 每个小矩形的面积表示随机变量落在相应区间内的频率,因此所有小矩形的面积之和为. 误差观测值有正有负并大致对称地分布在的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁. (2)你画出的频率分布直方图长什么样? 频率分布直方图的纵坐标，是不是频率？不是，是频率除以组距 每一个小矩形的面积是什么？是频率所以所有小矩形的面积之和为1 这个图像还向我们传递了什么信息呢？ 中间的误差比较小，数据反而更多。两边的误差更大，数据反而少并且均匀的分布在了0的两侧 8 正态分布的概念 （3）随着样本数据量越来越大，让分组越来越多,组距越来越小时,频率分布直方图的轮廓如何? 正态分布的概念 （3）随着样本数据量越来越大，让分组越来越多,组距越来越小时,频率分布直方图的轮廓如何? 正态分布的概念 （3）随着样本数据量越来越大，让分组越来越多,组距越来越小时,频率分布直方图的轮廓如何? n=1000 正态分布的概念 （3）随着样本数据量越来越大，让分组越来越多,组距越来越小时,频率分布直方图的轮廓如何? 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线. 正态分布的概念 (4)根据频率与概率的关系,如何用钟形曲线描述食盐质量误差的概率分布? n=1000 师：现在我们用钟形曲线替代了离散型随机变量的分布列， 师：整条钟形曲线与轴围成的面积是多少？ 师：聚焦于区间任意抽取一袋食盐,误差落在区间上的概率如何表示？ 师：用钟形曲线下每一个小矩形的面积来表示相对应区间上的概率。 13 正态分布的概念 (4)根据频率与概率的关系,如何用钟形曲线描述食盐质量误差的概率分布? 由频率分布直方图得到钟型曲线钟型曲线下可以看成无数个小矩形,所以钟形曲线与水平轴的面积为. 师：现在我们用钟形曲线替代了离散型随机变量的分布列， 师：整条钟形曲线与轴围成的面积是多少？ 师：聚焦于区间任意抽取一袋食盐,误差落在区间上的概率如何表示？ 师：用钟形曲线下每一个小矩形的面积来表示相对应区间上的概率。 14 正态分布的概念 (4)根据频率与概率的关系,如何用钟形曲线描述食盐质量误差的概率分布? 由频率分布直方图得到钟型曲线钟型曲线下可以看成无数个小矩形,所以钟形曲线与水平轴的面积为. 任意抽取一袋食盐,误差落在区间上的概率,可用钟形曲线阴影部分的面积表示. 师：现在我们用钟形曲线替代了离散型随机变量的分布列， 师：整条钟形曲线与轴围成的面积是多少？ 师：聚焦于区间任意抽取一袋食盐,误差落在区间上的概率如何表示？ 师：用钟形曲线下每一个小矩形的面积来表示相对应区间上的概率。 15 正态分布的概念 问题3：上图的钟形曲线是一个函数图象吗?如果是,这个函数是否存在解析式呢? 其中为参数. 正态密度函数 生：是，定义域是R，每一个自变量x，都对应了函数值f(x) 师：这个函数的解析式经过很多数学家的努力得到，是 其中为参数.x是自变量 16 正态分布的概念 我们称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布,记为． 特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布． 正态分布的概念 若，和如何表示？ 表示x左侧和正太密度曲线以及x轴围成的图形的面积； 表示a右侧和b左侧，以及正太密度曲线和x轴围成的图形的面积 18 正态密度函数的性质 问题4：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？ 追问1：可以从哪些方面研究函数的性质？ 定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 最值 刚刚我们学习了正态密度函数的解析式和图象，接下来我们来研究正态密度函数的性质 19 正态密度函数的性质 追问2:观察正态曲线，你能发现正态曲线的哪些特点? 定义域 值域 对称性 最值 单调性 1.对任意，图象在轴上方 2.曲线是单峰的，它关于直线 对称； 3.曲线在 处达到峰值； 4.当无限增大时，曲线无限接近轴. 小组讨论 刚刚好多小组都有自己的成果，下面我们请A组分享你们的结果。 20 追问3：观察正态密度函数,证明正态曲线的特点？ 正态密度函数的性质 1.对任意，图象在轴上方 2.曲线是单峰的，它关于直线 对称； 3.曲线在 处达到峰值； 4.当无限增大时，曲线无限接近轴. 观察的结果可能不准确，请大家根据解析式进行验证 21 追问3：观察正态密度函数,证明正态曲线的特点？ 正态密度函数的性质 1.对任意，图象在轴上方 2.曲线是单峰的，它关于直线 对称； 当 学生分组证明不同内容 22 追问3：观察正态密度函数,证明正态曲线的特点？ 正态密度函数的性质 3.曲线在 处达到峰值； 4.当无限增大时，曲线无限接近轴. 当趋向于时, 趋向于， 则， 所以趋向于0, 所以曲线无限接近轴. 求导，或者复合函数算最大值 23 问题5：一个正态分布由参数和完全确定， （1）这两个参数对正态曲线的形状有何影响？ 正态密度函数的性质 图象关于直线对称，最大值是，正态密度函数与参与和息息相关，那么和分别能决定正太曲线的哪些特征呢？我们通过GGB软件观察。 能从代数的角度分析说明吗？ 24 问题5：一个正态分布由参数和完全确定， （1）这两个参数对正态曲线的形状有何影响？ 正态密度函数的性质 固定参数 图象关于直线对称，最大值是，正态密度函数与参与和息息相关，那么和分别能决定正太曲线的哪些特征呢？我们通过GGB软件观察。 能从代数的角度分析说明吗？ 25 问题5：一个正态分布由参数和完全确定， （1）这两个参数对正态曲线的形状有何影响？ 正态密度函数的性质 固定参数 图象关于直线对称，最大值是，正态密度函数与参与和息息相关，那么和分别能决定正太曲线的哪些特征呢？我们通过GGB软件观察。 能从代数的角度分析说明吗？ 26 问题5：一个正态分布由参数和完全确定， （1）这两个参数对正态曲线的形状有何影响？ 正态密度函数的性质 固定参数 正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿轴平移 图象关于直线对称，最大值是，正态密度函数与参与和息息相关，那么和分别能决定正太曲线的哪些特征呢？我们通过GGB软件观察。 能从代数的角度分析说明吗？ 27 问题5：一个正态分布由参数和完全确定， （1）这两个参数对正态曲线的形状有何影响？ 正态密度函数的性质 固定参数 图象关于直线对称，最大值是，正态密度函数与参与和息息相关，那么和分别能决定正太曲线的哪些特征呢？我们通过GGB软件观察。 能从代数的角度分析说明吗？ 28 问题5：一个正态分布由参数和完全确定， （1）这两个参数对正态曲线的形状有何影响？ 正态密度函数的性质 固定参数 图象关于直线对称，最大值是，正态密度函数与参与和息息相关，那么和分别能决定正太曲线的哪些特征呢？我们通过GGB软件观察。 能从代数的角度分析说明吗？ 29 问题5：一个正态分布由参数和完全确定， （1）这两个参数对正态曲线的形状有何影响？ 正态密度函数的性质 固定参数 当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中； 当较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散. 图象关于直线对称，最大值是，正态密度函数与参与和息息相关，那么和分别能决定正太曲线的哪些特征呢？我们通过GGB软件观察。 能从代数的角度分析说明吗？ 30 问题5：一个正态分布由参数和完全确定， （2）它们反映正态分布的哪些特征？ 正态密度函数的性质 反映了正态分布的集中位置,可以用均值来估计； 反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度,可以用标准差来估计. 若，则. 图象关于直线对称，最大值是，正态密度函数与参与和息息相关，那么和分别能决定正太曲线的哪些特征呢？我们通过GGB软件观察。 能从代数的角度分析说明吗？ 31 例1(多选)已知三个正态密度函数的图象如图所示，则下列结论正 确的是（　 　） AD A. σ1＝σ2 B. μ1＞μ3 C. μ1＝μ2 D. σ2＜σ3 典例应用 典例应用 例2. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布． （1）估计的分布中的参数； （2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出和的分布密度曲线； （3）如果某天有可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． 典例应用 （3）如果某天有可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． 典例应用 应选择在给定时间内不迟到的情况下对应的概率大的交通工具. 如果有可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车; 如果只有可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车. ， （4）李明选择骑自行车，用时大于等于，小于等于的概率是多少？ 阅读课本P86下方后回答. 设 ，可以证明：对给定的， 是一个只与有关的定值．特别地， ， ， . 设 ，可以证明：对给定的， 是一个只与有关的定值．特别地， ， ， . 设 ，可以证明：对给定的， 是一个只与有关的定值．特别地， ， ， . 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为. （4）李明选择骑自行车，用时大于等于，小于等于的概率是多少？ 正态分布 课堂小结 数学思想 数形结合 正态曲线 正态密度函数 正态密度函数的图象 的意义 层：课本87页1-3 层：袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取袋食盐，误差的样本均值为，样本方差为． 层:正态分布的前世今生？正态分布还有哪些起源？ 作业布置 Lavf58.29.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.7.45 $