8.4.1平面 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版必修第二册 8.4.1 平面 日期：2026年x月x日 授课人：xxx 第八章 立体几何初步 1 1 复习 请回忆并阐述空间几何体的基本元素. 2 2 复习 请回忆并阐述棱柱、棱锥、棱台的定义. 3 3 一、创设情境，引入新知 4 思考 对于点、直线和平面，你了解多少？ 点：没有长度、宽度、高度（点不分大小），具有不可再分性. 直线：没有宽度（线不分宽窄），向两端无限延伸，具有平直性、无限性、连续性. 初中学过 4 5 思考 生活中哪些对象给我们以平面的印象？ 一、创设情境，引入新知 5 二、问题驱动，构建新知 6 思考1 平面的含义是什么？ 思考2 类比点、直线的图形和符号表示，平面的图形和符号表示是什么样的？ 思考3 类比两点确定一条直线，如何确定一个平面？ 思考4 类比“两点之间线段最短”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等基本事实（基本性质/公理），平面是否有一些基本性质？ 6 7 经过长期观察，生活中有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等. 几何里所说的“平面”，就是从这样的一些物体中抽象出来的，平面是向四周无限延展的. 平面 在几何学中，与点和直线一样，平面也是一个不加定义的原始概念. 没错！“平”和 “无限延展”是平面的两大本质特征. 二、问题驱动，构建新知 7 8 画出平面的一部分——常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. 水平放置：一边横向 竖直放置：一边竖向 平面 平面 平面 平面 平面 平面 写在一个角内 二、问题驱动，构建新知 8 图形语言 文字语言 符号语言 9 二、问题驱动，构建新知 9 10 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 简称“不共线的三点确定一个平面”. 平面的基本事实1：确定平面的条件 二、问题驱动，构建新知 若给定的3个点在一条直线上，请问还是确定1个平面吗？ 无数多个 10 11 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 简称“不共线的三点确定一个平面”. 二、问题驱动，构建新知 三点不共线平面. 不共线的四点确定一个平面吗？ 不一定 平面的基本事实1：确定平面的条件 11 图形语言 文字语言 符号语言 12 二、问题驱动，构建新知 YES 12 13 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 平面的基本事实2：判断直线是否在平面内 二、问题驱动，构建新知 这个内容反映了直线和平面的关系. 阐述两层意思：一是整条直线在平面内；二是直线上所有点在平面内. 13 14 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 平面的基本事实2：判断直线是否在平面内；判断面是否为平面 二、问题驱动，构建新知 球面是平面吗？为什么？ 14 15 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 二、问题驱动，构建新知 基本事实2实际上是利用直线的“直”和“无限延伸”的属性刻画了平面的“平”和“无限延展”的属性. 没错！ 平面的基本事实2：判断直线是否在平面内；判断面是否为平面 15 16 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 二、问题驱动，构建新知 . 集合语言描述几何对象之间的关系：直线是点集，平面也是点集. 平面的基本事实2：判断直线是否在平面内；判断面是否为平面 16 图形语言 文字语言 符号语言 17 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 三个推论:确定平面的依据 二、问题驱动，构建新知 17 18 二、问题驱动，构建新知 18 19 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 平面的基本事实3：判断多点共线，判定多线共点 二、问题驱动，构建新知 该基本事实进一步说明了平面的“平”和“无限延展”的特性. 是的. 因为平面“平”，所以它们才可能交于一条直线. 你认为该基本事实有何作用？ 不妨展开说一说. 19 20 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 平面的基本事实3：判断多点共线，判定多线共点 二、问题驱动，构建新知 作用一：判定两个平面相交的依据，只要两个平面有公共点，则这两个平面必相交于过这个点的一条直线. 作用二：判定点在直线上，若点是两个平面的公共点，线是两个平面的公共交线，则点在交线上. 20 21 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 平面的基本事实3：判断多点共线，判定多线共点 二、问题驱动，构建新知 且 两个平面的交集是直线，没有加花括号哦！ 21 图形语言 文字语言 符号语言 22 练 习 1.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示 文字语言 符号语言 点A在直线l上 _______ 点A在直线l外 _______ 点A在平面α内 _______ 点A在平面α外 _______ 直线l在平面α内 _______ 直线l不在平面α内 _______ 平面α，β相交于直线l _______ A∈l A∉l A∈α A∉α l⊂α l⊄α α∩β=l 2.基本事实的表示 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，　　　　 一个平面   A，B，C三点不共线⇒存在　　　　平面α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的______ 在一个平面内，那么这条直线在___________   A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒_______ 有且只有 唯一的 两个点 这个平面内 l⊂α 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的____ _____   P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l 公共 直线 3.三个推论的表示 推论 文字语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面   推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面   推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面   　(1)(多选)下列说法正确的是 A.我们通常画出平面的一部分表示平面 B.平面是无限延展的 C.平面的形状是平行四边形 D.一个平面的厚度可以是0.001 cm √ 例 1 √ 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，且我们通常画出平面的一部分来表示平面，A，B两种说法是正确的，C，D两种说法是错误的. 解析 27 (2)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. ①A∉α，a⊂α：　　　； ②α∩β=a，P∉α且P∉β：　　　； ③a⊄α，a∩α=A：　　　； ④α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O：　　　. C D A B 28 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的 图形立体感更强一些，如 图所示. 反 思 感 悟 29 　用符号和图形表示下列语句： (1)A，B两点既在平面α内，又在平面β内，则直线AB是平面α与β的交线； 跟踪训练 1 符号表示为：A∈α，B∈α，A∈β，B∈β，则α∩β=AB. 图形表示如图①. 解 30 (2)两条相交直线a和b都在平面α内； 符号表示为：a∩b=P，a⊂α，b⊂α. 图形表示如图②. 解 31 (3)直线a在平面α内，直线b在平面α外，a与b相交于一点M. 符号表示为： a⊂α，b⊄α，a∩b=M. 图形表示如图③. 解 32 二 点、线共面问题 　已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面. 例 2 ∵b∥c，∴b，c可确定一个平面α， 设a∩b=A，a∩c=B， ∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b⊂α，∴A∈α，同理B∈α，∴a⊂α，∴直线a，b，c共面. 证明 34 在本例中，若直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C，又该如何证明直线a，b，c，l共面？ 延伸探究 35 如图所示. ∵a∥b， ∴a，b可确定一个平面α. 又l∩a=A，l∩b=B， ∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. ∴AB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α. 又b∥c，∴b，c可确定一个平面β.同理l⊂β. ∵平面α，β均经过直线b，l，且b和l是两条相交直线，∴l与b确定的平面是唯一的，平面α和β重合.∴直线a，b，c，l共面. 证明 36 证明多线共面的两种方法 (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内. 反 思 感 悟 37 点共线问题 三 如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点在同一条直线上. 例 3 39 方法一　由AB的延长线交平面α于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l. ∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC. 又AB∩α=P，∴P∈平面α， ∴P是平面ABC与平面α的公共点. ∵平面ABC∩α=l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l. ∴P，Q，R三点在同一条直线上. 证明 40 方法二　∵AP∩AR=A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α=P，AC∩α=R，∴平面APR∩α=PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR， 又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点在同一条直线上. 证明 41 证明三点共线的方法 反 思 感 悟 42 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线. 跟踪训练 3 43 ∵MN∩EF=Q， ∴Q∈直线MN，Q∈直线EF， 又M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD. ∴Q∈平面ABCD. 同理，可得EF⊂平面ADD1A1. ∴Q∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD， ∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线. 证明 44 线共点问题 四 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1P=2PA1，C1Q=2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点. 例 4 46 如图，连接PQ. 由B1P=2PA1，C1Q=2QA1， 得PQ∥B1C1，且PQ=B1C1. 又BC//B1C1， ∴PQ∥BC，且PQ=BC， ∴四边形BCQP为梯形， ∴直线BP，CQ相交，设交点为R， 则R∈BP，R∈CQ. 证明 47 又BP⊂平面AA1B1B，CQ⊂平面AA1C1C， ∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C， ∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线AA1上， 即R∈AA1， ∴直线AA1，BP，CQ相交于一点. 证明 48 证明三线共点的步骤 反 思 感 悟 49 在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=1∶3.求证：EF，GH，BD相交于一点. 跟踪训练 4 50 如图所示，连接GE，HF. ∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC. 又DF∶FC=DH∶HA=1∶3， ∴HF∥AC，∴GE∥HF， ∴G，E，F，H四点共面. 又GE=AC，==， ∴EF与GH不平行，∴EF与GH相交. 证明 51 延长EF，GH，设交点为O，则O∈平面ABD， O∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD， ∴O∈BD. 即EF，GH，BD相交于一点. 证明 52 平面的交线问题 五 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由. 例 5 54 方法一　延长D1E交DA的延长线于点M，连接CM交AB于点F，连接EF， ∵M∈D1E，D1E⊂平面D1CE， ∴平面D1CM即为过点D1，C，E的平面， 易知CM∩AB=F， AB⊂平面ABB1A1，CM⊂平面D1CM， ∴F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CM， ∴F为两平面公共点， 又E也为两平面的公共点， ∴EF为过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线. 解 55 方法二　如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF. ∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1=BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形. ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴EF和CD1共面，即E，F，C，D1四点共面. ∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE， ∴平面ABB1A1∩平面D1CE=EF. ∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF. 解 56 找两个平面交线的突破口 由基本事实3知，找两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点. 反 思 感 悟 57 如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线. (1)过点G及AC； 跟踪训练 5 58 画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N，连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示. 解 59 (2)过三点E，F，D1. 60 画法：连接EF并延长交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q，连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N，连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示. 解 61 1.知识清单： (1)平面的概念及基本性质. (2)点、线共面问题. (3)点共线问题. (4)线共点问题. (5)平面的交线问题. 2.方法归纳：纳入法、重合法、归纳法. 3.常见误区：三种语言的相互转换、平面的交线找不准. 课堂小结 三、课堂小结 63 平面的不同表示法，平面的基本事实及其作用. 01 复习巩固 课本习题 02 综合应用 资料这一节 03 四、课后作业 64 拓展思考 预习 03 谢谢大家！ 65 $