2026年九年级数学中考一轮复习反比例函数与一次函数的综合解答题专题突破训练

**基本信息** 本专题训练聚焦反比例函数与一次函数综合应用，通过13道解答题构建基础巩固-综合应用-拓展提升三层梯度，强化运算能力与推理意识，适配中考一轮复习知识整合需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一函数解析式求解|直接代入坐标求解析式（如第1-3题）| |综合应用|多知识点结合（面积/不等式）|结合几何图形计算面积（如第4-8题）| |拓展提升|复杂情境存在性问题|动态平移与相似推理（如第9-13题）|

2026年九年级数学中考一轮复习反比例函数与一次函数的综合 解答题专题突破训练 1.如图，已知一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=严的图象交于A1,m,B(-2,-1) 1 两点，与y轴相交于点C (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (②)若OC=OD,求△ABD的面积 2.如图，已知直线y=-2x+4与反比例函数y=《(k≠0)的图象交于点A-1,m,与y轴交 1 于点B B (1)点B的坐标为- (②)求反比例函数的解析式 同将直线=2+4向下平移后与反比例函数y=女的图象交于点C,,求直线 y=-2x+4向下平移的距离 3.如图，直线y=+b与双曲线y=”分别交于点4(3,3)，点B,与x轴交于点C,过点A 作线段4D垂直x轴于点D,an∠ACD-?,连接40，B0. 试卷第1页，共3页 Q)求直线y=+b与双曲线y=”的解析式： (2)求A0B的面积. 4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象1与反比例函数y=《的图象交于 M[小Na两点 (I)求一次函数y=x+b的表达式： (2)利用图象，直接写出不等式x+b<的解集， (3)点P是y轴上一动点，当△PON是等腰三角形时，直接写出点P的坐标 5.如图，反比例函数="m≠0)的图象与一次函数，=kx+b(k≠0的图象交于点 A-3,-1)和点B(n,3. (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (②)求A0B的面积； (3)直接写出y>y2时，x的取值范围. 4 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=4x与反比例函数y=的图象相交于 3 试卷第1页，共3页 A(3,m、B两点， (1)求反比例函数的解析式： (2)若x轴上存在点C,使AC⊥BC,求点C的坐标； ③)直接写出x>人时x的取值范围， 7.如图，一次函数y=2x+4的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数 y=(k≠0，x>0)的图像交于点C,过点B作x轴的平行线与该反比例函数y=人的图像交 于点D,连接CD. Y B D (1)求A、B两点的坐标： (2)如果BC=DC,求k的值 8.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数片=6的图象与一次函数，=x-1的图象交于 A,B两点，与一次函数的图象交于C,D两点，且AB∥CD.一次函数，的图象分 别与y轴交于点E,F. 试卷第1页，共3页 (1)求点E的坐标； (2)若△ABD的面积为15，求EF的长； (3)y3>y时，求x的取值范围. 9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=:+b的图象与反比例函数y=”的图象相交 于点A(-1,n),B(2,1). (求一次函数y=:+b、反比例函数y=”的表达式」 X (②)若在x轴上存在一点P,使得。PAB的面积为6，求点P的坐标. 10.如图，一次函数y=。x+2的图象与反比例函数y=k≠0)的图象交于点A(2,b)和点 B(a,-1). (1)求反比例函数解析式； (2)若点C在x轴上，且SABc=2,求点C坐标； (3)若点P(m,n在该反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，请根据图象直接写出m的 取值范围。 11.如图，已知一次函数片=mx+m(m≠0)与反比例函数片，=《(k≠0)的图象相交于点 A1,6),B(b,-1,与y轴交于点M,连接A0、BO 试卷第1页，共3页 ()求出一次函数和反比例函数的解析式： (2)填空：当y,≤y2时，自变量x的取值范围为 (③)点N为平面内一点，且使得以点B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接 写出满足条件的点N的坐标. 12.如图，一次函数y=2x+b与反比例函数y=二(k≠0)的图象交于点4(2,8)，与y轴交于 点B, VA YA2,8) (1)求k与b的值： 2连接并延长A0,与反比例函数y=K≠0)的图象交于点C,点D在y轴上，若以0、C、 D为顶点的三角形与AOB相似，求点D的坐标 13.如图，直线m:y=x-4与反比例函数y=kx≠0)图象交于点45,1)和点B. ()求反比例函数表达式。 (2)连接0A,0B,则0A OB(填写“<”或=”或>”) (③)将直线m向上平移得到直线n,直线n与反比例函数图象交于点C和点D,连接 试卷第1页，共3页 OC,OD,若0A=OB=0C=OD,请直接写出平移后直线n的表达式. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)解：：8(-2，-1在反比例函数y=”的图象上， .m=-2×-1)=2, 2 :反比例函数的解析式为y=二 x :A1,n)也在反比例函数y=的图象上， m=2=2, 1 即A1,2), :A(1,2),B(-2,-1在一次函数y=ax+b的图象上， a+b=2 -2a+b=-1 a=1 解得b=1' 即一次函数解析式为y=x+1. (2)解：：一次函数y=x+1的图象与y轴相交于点C, C(0,1, 即0D=0C=1, .D(0,-1, 又A1,2),B(-2,-1, S4m=BDp,-y=×2x3=3. 2 2 2.(1)0,4): (2y=-6 (3)5 【分析】(1)将x=0代入直线y=-2x+4中，即可求解： (2)先求出点4-1,6，再代入反比例函数y=(k0)中，即可求解； (3)设直线y=-2x+4向下平移了Q个单位长度，得到平移后的直线表达式为 答案第1页，共2页 y=-2x+4-a,再求出点C-2,3,代入y=-2x+4-a中，即可求解. 【详解】(1)解：：直线y=-2x+4与y轴交于点B, 当x=0时，y=-2×0+4=4,解得y=4, .点B的坐标为0,4； (2)解：将A-1,m代入直线y=-2x+4中，得m=-2×（-1)+4=6, .点A-1,6, :将A-1,6)代入反比例函数y=《(k≠0)中，得k=6x-1=-6, 6 反比例函数的解析式为y=-巴； (3)解：设直线y=-2x+4向下平移了a个单位长度， :平移后的直线表达式为y=-2x+4-a, :点C(m,3)在反比例函数y=-6的图象上， :3=-6,解得n=-2, n C(-2,3), 代入y=-2x+4-a,得3=-2x(-2)+4-a, a=5, :直线y=-2x+4向下平移的距离为5个单位长度. 13 9 3.()直线的解析式为y=2x+2双曲线的解析式为y= 2 号 【分析】(1)根据锐角三角函数求出CD=6,得出C(-3,0),然后利用待定系数法求函数解 析式即可； (2)联立解析式求出交点坐标，然后利用三角形面积公式求解. 【详解】(1)解：：A(3,3), AD=3. :tan∠ACD=2' 1 AD I :cp21 答案第1页，共2页 .CD=6, .C(-3,0) :直线y=x+b经过点A,C, 「3k+b=3 -3k+b=01 1 解得 3 b= 2 13 直线的解析式为y2+ 2 :双曲线y=严经过点43,3)， .m=3×3=9. 9 .双曲线的解析式为y= 3 (2)解：联立 2 2 9 y=- x=3 x=-6 解得=3或 3 y=- 2 6》 1 1 327 S△40B=S△40c+SABOC=5×3×3+5×3× 2 2 24 4.(1)y=-2x+5 2)0<x<2或x>2 (3)P点坐标为0，±V5或(0,2)或(0,2.5 【分析】(1)先求出k值，进而求出N点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即 可 (2)图象法求出不等式的解集即可； (3)分OP=ON,OP=PN,ON=PN三种情况进行讨论求解即可. 【详解】(1)解：：一次函数y=ar+b的图象1与反比例函数y=《的图象交于 答案第1页，共2页 [g小Nal两点， :k=×4=n-l, .k=2,n=2, .N(2,1, 把M[G+N2,代入y=a+b,得 2a+b=1 a=-2 解得6=5’ y=-2x+5; (2)解：由图象可知，不等式x+b<的解集为0<x< x 2或x>2: (3)解：设P(0,, N(2,1, .0P2=t2,0W2=22+12=5,NP2=22+(t-1)2=4+t-12, 当0P=0N时，t2=5,解得1=±V5; 当0N=NP时，5=4+(t-1)2,解得t=0(舍去)或t=2; 当0P=NP时，t2=4+(t-1),解得1=2.5； 综上：P点坐标为0，±V5或(0,2)或(0,2.5). 3 5.(1)y=二，2=x+2 (2)4 (3)x<-3或0<x<1 【分析】(1)先将点A的坐标代入反比例函数关系式可得答案，再求出点B的坐标，然后 将两个点的坐标代入直线关系式，求出解即可； (2)先求出点M的坐标，再根据S。4OB=S。4OM+SBOM得出答案： (3)先观察图象的交点，再根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范 围即为答案. 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：将点4(-3，-)代入反比例函数关系式y=m(m≠0)，得 1=m 3 解得m=3, ·反比例函数关系式为片=3 x 3 将点B,3)代入关系式y=,得 3=3 n 解得n=1, 点B1,3). 将点4(-3，-1)，B1,3)代入一次函数关系式y2=x+b(k≠0)，得 [-3k+b=-1 k+b=3 k=1 解得b=2 一次函数关系式为y2=x+2; (2)解：令直线AB与x轴交于点M, 当y=0时，x+2=0, 解得x=-2, 点M(-2,0),即0M=2. :点A(-3,-1)B(1,3), 5m=5m+5w-x2x1+2x3=4: 答案第1页，共2页 (3)解：当x<-3或0<x<1时，乃>y2. 6.(①y=12 (2)5,0或(-5,0 (3)-3<x<0或x>3 【分析】(1)先求出点A坐标，再代入反比例函数解析式即可； (2)由勾股定理可知，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，再结合题 意可得点的坐标： (3)结合函数的性质，根据图象观察可得一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可 写出的取值范围， 4 【详解】(1)解：：点A(3,m)在一次函数y=了x的图象上， .∴.m 3x3=4, :点A的坐标为3,4， :反比例函数y=的图象经过点A(3,4), k=3×4=12, 12 ·反比例函数的解析式为y= (2)解：“A3,4),由图象的对称性，可知B(-3,-4), 由勾股定理，得0B=0A=√32+42=5· 又AC⊥BC, .0C=0B=0A=5. 又：点C在x轴上， ∴C点的坐标为5,0)或(-5,0). (3)解：结合函数图象，一次函数图象在反比例函数上方的区间为：-3<x<0或x>3. 7.(1)A(-2,0),B(0,4) (2)16 【分析】(1)分别令x=0和y=0即可得到答案； (2)过点C作CE⊥BD,垂足为E,证明△AOB∽△BEC,设点C(m,2m+4),则D(2m,4), 答案第1页，共2页 得到m(2m+4)=2m×4,求出D(4,4),即可得到答案. 【详解】(1)解：当x=0时，y=4, B(0,4), 当y=0时，x=-2, A(-2,0): (2)解：过点C作CE⊥BD,垂足为E, :∠BAO=∠CBE,∠AOB=∠BEC, A △AOB∽△BEC, .BE AO 2 1 CE OB 4 2' 设点C(m,2m+4),则D(2m,4), ∴.m(2m+4)=2m×4, 整理得，m2-2m=0, 解得m=0（舍去)或m=2, D(4,4), .k=4×4=16. 8.(1)0,-1: (2)EF=6; (3)x>1或-6<x<0 【分析】(1)令x=0,代入求解即可； (2)作D0∥x轴交B于点0，设乃，=x+m,Dm,,则Q(m,m-1,联立，片求得 A-2,-3),B(3,2),根据三角形面积公式列式计算即可求解： (3)根据函数图象即可求解。 【详解】(1)解：令x=0,则=-1， 答案第1页，共2页 .点E的坐标为0，-1)： (2)解：如图，作DQ∥x轴交AB于点Q, :AB∥CD, 6 .设y3=x+m,Dn,已 ,则Q(n,n-1, n 6 联立2，得， 2=x-1, 整理得x2-x-6=0, 解得x=-2或x=3, 当x=-2时，=-3，当x=3时，y2=2, .A-2,-3,B3,2), :△ABD的面积为15， 整理得n2+5m-6=0,解得n=-6或n=1, C(-6,-1,D(1,6),91,0, :AB∥CD,DQ∥x轴， .四边形EFDQ是平行四边形， :EF=DO=6; (3)解：C-6,-1,D(1,6, .由图象得y>,时，x的取值范围为x>1或-6<x<0. 9.(0)y=-1,y=2 x (2)-3,0)或(5,0 答案第1页，共2页 【分析】(1)根据反比例函数y=”的图象过点4(-1，m,B(2,1),求出m=2,n=-2,然后利 用待定系数法求一次函数的解析式即可； (2)求出直线AB与x轴的交点坐标，设点P的横坐标为n,利用三角形的面积公式列式求 解即可。 【详解】(1)解：由题意，得m=2×1=-1·n, .m=2,n=-2, “反比例函数的表达式为y= x -k+b=-2 将点A(-1,-2),B(2,1)代入y=x+b,得 2k+b=1’ [k=1 解得 b=-1' .一次函数的表达式为y=x-1; (2)设直线AB与x轴交于点C, VA y=x-1 .当y=0时，x=1, 点C的坐标为(L,0), 设点P的横坐标为n,则PC=1-n, aPAB的面积=x2x-川+分X1x1-川=6， 整理得1-n=4, 解得n1=-3,n2=5, .点P的坐标为(-3,0)或(5,0). 10.(y=6 (2)(-5,0)或(-3,0 答案第1页，共2页 (3)-2<m<0或0<m<2 【分析】1D将点4(20代入一次函数y+2,求出B的值，再指点A代入反比例函数 解析式求出k即可： （2)将点8a,-刂代入反比例函数解折式求出a的值，设一次函数y-+2与x维交于点 D,则点D为(-4,0)，设点C坐标为m,O),根据S△4Bc=S△4CD+S△cp=2列方程求解即可； (3)分别求出当y=3或-3时，对应的x的值，再结合反比例函数图象即可求解。 【详解】(1)解：：一次函数y=+2的图象经过点4(2,6)， ×2+2=3, :b= :反比例函数y=k的图象经过4(2,3)， k=2×3=6, :反比例函数解析式为y= 6 (2)解：：反比例函数y=6经过点B(a,-), -1=6, a ∴.a=-6, :点B(-6,-1, 设一次函数y=2x+2与X轴交于点D,则点D为(-4,0)， B 设点C坐标为m,0), ∴CD=m-（-4)=m+4, Sme=5w+5am+43+=2. 解得m=-5或m=-3, 答案第1页，共2页 ：点C坐标为-5,0)或(-3,0： (3)解：当y=3时，即6=3，解得x=2, 当=-3时，即6=-3，解得x=-2, 结合反比例函数图象可知，-2<m<0或0<m<2. 1.(0y=x+5,为=6 (2)x≤-6或0<x≤1 (3)点N的坐标为(-6，-6或(6,6或(-6,4). 【分析】(1)先将点A1,6)代入求出反比例函数解析式，从而得到点B的坐标，再利用待定 系数法求出一次函数解析式即可； (2)由函数图象可知，当x≤-6或0<x≤1时，一次函数图象在反比例函数图象下方，即可 得解： (3)利用平行四边形的性质求解即可. 【详解】(1)解：将点A1,6)代入反比例函数片=k≠0)可得，6= 解得：k=6, 6 :反比例函数y2=二， 当y=-1时，6=-1， 解得：x=-6, B(-6,-1, 将点A1,6,B(-6,-1代入一次函数y=mx+nm≠0)可得， m+n=6 m=1 -6m+n=-1'解得： (n=5, ·一次函数y=x+5; (2)解：由函数图象可知，当x≤-6或0<x≤1时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 则当y≤y2时，自变量x的取值范围为x≤-6或0<x≤1： (3)解：令x=0,1=5, 答案第1页，共2页 .M(0,5), 0(0,0),B(-6,-1, 设N(x,y), 以0B为对角线：对角线中点重合，6+0_0+x,-1+0_5+y, 22 22 解得x=-6,y=-6, .N(-6,-6: 以0M为对角线：对角线中点重合，0+0-6+x,0+5--1+y, 22’22 解得x=6,y=6, .N(6,6): 以BM为对角线：对角线中点重合，6+0-0+x,-1+5_0+y 2=2 22 解得x=-6,y=4, .N(-6,4: 综上，点N的坐标为(-6，-6)或(6,6)或-6,4). 12.(1)k=16,b=4: (2)点D的坐标为(0，-4或(0，-17. 【分析】(1)将点A的坐标代入关系式y=2x+b,求出b的值，即可得出答案； (2)令x=0得到B点的坐标，然后分情况根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可. 【详解】(1)解：：一次函数y=2x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点42,8)， X 8=2x2+b,8= 2 解得：b=4,k=16; (2)解：由(1)知一次函数解析式为y=2x+4, 当x=0时，y=4, .点B0,4, .B0=4 当点D落在y轴的正半轴上， 答案第1页，共2页 则LC0D>LAB0, .△COD与aABO不可能相似. 当点D落在y轴的负半轴上， 若△C0Dn△A0B, CO OD ·AOOB :C0=A0, .B0=D0=4, D(0,-4, 若△C0D∽△B0A, :0D0c OA OB :C0=0A=V22+82=2√17，B0=4 :.OD=OA.OC OB =17, D(0,-17）, 综上所述：点D的坐标为(0，-4)或(0，-17. 13.()y= x (2)= (3)y=x+4 【分析】(1)把A5,直接代入y=(x≠0)中，求出k的值即可： 5 y= (2)联立方程组x,求解得 =1'5=5得出点A、B的坐标，求出0A, x=5x3=-1 y=x-4 OB的值，再进行比较即可； (3)设平移后的解析式为y=x+b,与y=3联立得x2+hx-5=0,设C(x,, D(,得到+=-b,x=-5,求得x2+2=26,x+2=26,代入片=3得 =26,求出x=±1，±5，进行验证可得结论. 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：：直线m:y=x-4与反比例函数y=(x≠0)图象交于点A5,1), k=5, 反比例解析式为y= 5 (2)解：联立方程组 X, y=x-4 解得5 x2=-1 y=1’y2=-5' .A5,1,B(-1,5), A0=V5-0)2+(1-02=V52+1=V26, B0=V-1-0)2+-5-0)2=P+52=√26， .0A=0B; (3)解：设平移后的直线的解析式为y=x+b, 5 联立x+b=二 x 整理得x2+bx-5=0, 设C(x,y),D(x2,y2),则x1+x2=-b,xx2=-5, 由0C=0D=0A=√26得x2+y2=26,x,2+y,2=26, 2 又男=代入得+ 5 =26, x 25 令1=x2,则t+ =26, 解得t=1或1=25 x1=±1,5，其中x=-1,5不合题意，舍去， x=1或-5， C(1,5),D(-5,-1,(反之也成立) 将C(1,5)代入y=x+b,则5=1+b,解得b=4. 答案第1页，共2页 所以，平移后直线n的表达式为y=x+4. 答案第1页，共2页