2026年初中数学中考一轮复习备考 反比例函数与一次函数的综合——求面积（解答题）专项练

反比例函数与一次函数的综合——求面积（解答题） 高频考点归纳 专项练 2026届初中数学中考一轮复习备考 1．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，点在第二象限内，点的坐标是，且，． (1)求直线的函数关系式； (2)若直线与反比例函数的图像交于另一个点，求的面积． 2．反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在点的左侧，请根据表中提供的数据，回答下列问题． (1)求一次函数的解析式，并画出其大致图象； (2)一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，连接，．请补全图形并求、、的面积之比； (3)过点，且与轴平行的直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，若点在点的左侧，请直接写出的取值范围． 3．如图，已知反比例函数的图象经过点，P是第一象限内图象上一点，过点P作坐标轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点A，B，作直线分别交x，y轴于点D，C． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)求证：． 4．如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边于点B，过点C作双曲线．，点A的坐标为． (1)求直线的解析式与点E的坐标； (2)连接，，当时，求m的值． 5．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． (1)求与的解析式； (2)求的面积． 6．如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)C是线段上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？ 7．如图，直线与双曲线交于点和点． (1)求k、b的值； (2)写出点的坐标_____； (3)点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 9．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的解析式． (2)求的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点是该反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标． 11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点C． (1)求k，b，n的值； (2)点P在x轴上，且满足，求点P的坐标． 12．如图，直线与轴，轴分别交于点，反比例函数的图象经过的顶点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值． 参考答案 1．(1) (2) 本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）将点代入正比例函数，得到点的坐标，再将点代入反比例函数解析式，求出的值即可，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出所在直线的解析式； （2）延长交反比例函数图象于点D，连接，设与y轴交于点F，令，求出点F的坐标，联立直线与反比例函数解析式可求出点的坐标，根据利用三角形面积公式即可得出答案． （1）解：点在正比例函数的图象上， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， ， 设所在直线的解析式为， ， 解得：， 所在直线的解析式为； （2）解：延长交反比例函数图象于点D，连接，设与y轴交于点F， 由（1）知，直线解析式为，反比例函数解析式为， 令，则， ， 联立， 解得：，， ， ． 2．(1)，画图见解析 (2) (3) 本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，画一次函数，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键； （1）根据表格可得，根据反比例函数的性质求得点，进而待定系数法求解析式，并画出一次函数的图象； （2）根据题意得出的坐标，进而根据三角形的面积公式分别求得、、，即可求解； （3）根据题意画出图象，结合函数图象，即可求解． （1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在点的左侧， 根据表格可得 当时，，解得： ∴ 当时，， ∴ ∴将，代入得， 解得： ∴ 如图， （2）解：如图 由，当时，， 当时，， ∴， ∴ （3）解：如图， ∵点在点的左侧，， 根据函数图象可得： 3．(1)4 (2) (3)见解析 本题考查的是反比例函数综合题，树脂反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键． （1）直接把点代入，求得k的值即可； （2）设点P的坐标为得点A的坐标为点B的坐标为根据三角形面积公式可求解； （3）延长PA，PB分别交y轴，x轴于点E，F，证明，可得出再证明，即可得出结论． （1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）知， ∴设点P的坐标为 ∵轴，轴， ∴点A的纵坐标为点B的横坐标为a， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点A的坐标为点B的坐标为 （3）证明：如图，延长分别交y轴，x轴于点E，F， ∴， 由（2）知 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．(1)直线的解析式为：，点E的坐标为 (2) 本题考查了反比例函数与几何综合，图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，准确作出辅助线求出C点坐标是解题的关键． （1）过点B作于点F，根据平行线分线段成比例定理得出，由点A的坐标为，，得出，，则点B的纵坐标为2．根据待定系数法即可求出直线的解析式与点E的坐标； （2）由可得，可求点，代入得，则，可求m的值． （1）解：过点B作于点F， ， ， 点A的坐标为，， ， ，， 点B的纵坐标为2， 双曲线过点， ， 点B的坐标为， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 令，解得， 点E的坐标为． （2）解：， ， ， 点， ，代入得， ， 代入中，即， 解得． ． 5．(1)， (2) 此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，面积问题等知识，正确求出函数解析式是关键． （1）先求出，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设与y轴相交于点C，求出，即：，根据进行解答即可． （1）由题知， ∴， ∴，， ∴， 把，代入 得， ∴，       ∴； （2）设与y轴相交于点C， 当时，， ∴，即：， ∴． 6．(1) (2)当时，的面积最大，这个最大值是 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及二次函数的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用一次函数求出点，再将求出的点代入反比例函数解析式求解，即可解题； （2）根据题意得到，再利用a表示的面积，最后结合二次函数的最值求解，即可解题． （1）解：⸪一次函数过点， ⸫， 解得， ⸫点， ⸪反比例函数图象过点， ⸫， ⸫反比例函数的表达式为； （2）解：⸪点C的横坐标为a，轴交反比例函数的图象于点D， ⸫，， ， 则的面积为 ， ⸪， ⸫当时，的面积最大，这个最大值是． 7．(1) (2) (3)或 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）解析式联立，解方程组即可求得； （3）求得C点的坐标，然后根据求得，进一步求得M的坐标． （1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， ∴，； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴． 故答案为：； （3）解：如图， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 8．(1) (2)或 此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． （1）解：将代入，得， 解得， 点． 把代入，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：由题意，得点． 把代入，得，解得， 点，． 设点，由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 9．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为： (2)的面积为 本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与几何图形面积的计算方法是关键． （1）把点代入反比例函数解析式得，，得到反比例函数解析式，可求出点的坐标，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）由一次函数与坐标轴的交点得到次函数与坐标轴的交点分别为，如图所示，分别算出的值，由即可求解． （1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， 把点代入反比例函数解析式得，， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，， ∴， 设一次函数解析式为， 把点，代入一次函数解析式得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为：， 当时，，当时，， ∴设一次函数与坐标轴的交点分别为，如图所示， ∴， ∴，，， ∴， ∴的面积为． 10．(1)， (2)或 （1）根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解． （1）解： 点在反比例函数的图象上， ， 解得，， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ，解得， 点，在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的表达式为：； （2）由（1）得，一次函数的解析式为， 令，则； 令，则，， ， ，， ， ， ，解得， ∴当时，，当时，， 或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 11．(1)k，b，n的值分别是，，2 (2)或 本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）把点代入反比例函数解析式求出k的值，然后将代入一次函数解析式求出，根据反比例函数的图象过点，求出n的值即可； （2）先求出点，设点P的坐标为，根据，求出或，即可得出答案． （1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ，， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴k，b，n的值分别是，，2． （2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C， ∴令，得， ∴， 如图，设点P的坐标为， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 12．(1) (2) 本题考查了反比例函数表达式的求解、平行四边形的性质、动点问题中三角形面积最大值的计算，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质确定点的坐标，以及通过建立二次函数模型求面积的最大值。 （1）在中，令，则，得到点的坐标为，再根据平行四边形的性质得到,点的坐标为（6，4），代入反比例函数表达式求出，从而求解； （2）如图，过点作，垂足为点,设动点的运动时间为秒，则，用其表示出三角形的底和高，从而得到面积关于时间的函数关系式，通过求函数的最值来解决问题。 （1）解：在中，令，则． 点的坐标为， 四边形ABCD为平行四边形， ．则点的坐标为（6，4）， 将代入，得． 即反比例函数的表达式为； （2）解：如图，过点作，垂足为点, 在中，令，则．则点A的坐标为． ， 在Rt中，可得． 设动点的运动时间为秒，则， ， ， ， ．即． ． ． 面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $