精品解析：贵州遵义市仁怀市2025-2026年九年级中考第一次适应性考试数学试卷

仁怀市2026年中考第一次适应性考试 数学试卷 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试卷上无效． 3.考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案选项涂黑、涂满．） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 2. 汉字是世界上最古老的文字之一，已有六千多年的历史，是上古时期各大文字体系中唯一的传承者．下列汉字中，可以近似看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点约439000米，将439000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在2026年央视春晚的机器人表演方阵中，舞台被划分为正方形网格．若以舞台中心某点为原点建立平面直角坐标系，已知代表“科技”字样的机器人 位于，代表“未来”字样的机器人 位于．若代表“强国有我”的机器人 位于如图所示位置，则它的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 某篮球队5名队员的身高（单位：）分别是：185，185，188，189，193．现增加两名身高是186、190的预备队员，与增加前相比，下列统计量受影响的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 8. 记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有 只羊，乙有 只羊，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 若是关于 的方程的一个根，则该方程的另一个根是（ ） A. －5 B. C. 5 D. 10. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中， ，按以下步骤作图： ①以 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ，于 ， 两点； ②分别以 ， 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点 ； ③作射线 ，交边 于 点． 若，则线段 的长为（ ） A. 2 B. C. D. 12. 已知抛物线的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，甲乙丙丁四位同学分别写出了下列结论： 甲：； 乙：； 丙：抛物线的顶点坐标为； 丁：当时， 随 增大而增大． 其中结论正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）． 13. 若在实数范围内有意义，写出一个符合条件的 的值__________． 14. 2026年是丙午马年，“马到功成”将马年与祝福相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“马”、“到”、“功”、“成”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“功”的概率为__________． 15. 2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型， 、是圆的切线， 为切点， 为圆心，连接 并延长 交射线 于点 ，若，则 的长度为__________． 16. 如图，的对角线 ，交于点 ，，若，，的面积为__________．     三、解答题：（本题共9小题，满分98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）在下面四个式子中任选三个求和 ① ② ③ ④ （2）解一元二次方程： 18. 下面是小强的化简分式的过程： 解：原式…………第一步 ………………………第二步 ……………………………………第三步 （1）小强的化简过程从第__________步开始出现错误； （2）请你写出正确的化简过程，并从2、3、4、5中选择一个合适的数代入求值． 19. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）九年级接受调查的同学__________并补全条形统计图； （2）九年级共有500名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名； （3）若喜欢“交流谈心”的4名同学中有两名男生和两名女生，心理老师想从4名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求选出的两名同学同为男生或同为女生的概率． 20. 在 中， 是边上的一点， 是 边的中点，过点 作交 的延长线于点 ，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 21. 2025年12月为纪念仁怀撤县设市30周年，仁怀举办了大型无人机表演，科技走入了我们的生活．某校准备开设无人机驾驶实验课程，打算购买 两种型号的无人机．已知 型号无人机的单价比 型号无人机单价多2000元，若购买3台 型号无人机和2台 型号无人机需要21000元． （1）求 型号、 型号无人机的单价分别是多少元； （2）若学校预计用不高于145000元的资金购买 ， 两种型号的无人机共40台，则最多可以购买 型号无人机多少台？ 22. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿 直立于地面 ，小腿部分 刚好与地面 平行，上身 垂直于大腿 ，即于点 ，，于点是机器人小腿 上踢后与大腿 在同一直线的瞬间．（这里的小腿都包括脚面部分，上身 包括头部部分）已知，参考数据：，． （1）求的度数： （2）点 距离地面的高度．（结果精确到） 23. 如图， 与相切于点 ， 为的直径，点 在上，连接，，且． （1）连接 ，求证：； （2）连接，若，，求弦的长度； （3）在（2）的条件下计算图中阴影部分的面积． 24. 跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为 轴，过小明拿绳子的手作 轴的垂线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． （1）求绳子所对应的抛物线的解析式． （2）身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． （3）身高为的小红和身高为的小美，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是多少． 25. 【问题背景】借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系．如图1，在“ 中，， ，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ．如图2所示，将 绕点 逆时针旋转，连接 ． （1）【操作发现】如图2，旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）【问题探究】如图3，当 、 、 三点在一条直线上时，求的长． （3）【拓展延伸】如图4，在中， ， ， ，分别取 ，的中点 ， ．作，将绕点 逆时针旋转，连接 ，．当边 平分线段 时，直接写出点 到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁怀市2026年中考第一次适应性考试 数学试卷 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试卷上无效． 3.考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案选项涂黑、涂满．） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用有理数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：∵有理数大小比较规则为负数小于0，0小于正数， ∴， ∴ 四个数中最小的数是． 2. 汉字是世界上最古老的文字之一，已有六千多年的历史，是上古时期各大文字体系中唯一的传承者．下列汉字中，可以近似看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、可以近似看成轴对称图形，符合题意； B、不可以近似看成轴对称图形，不符合题意； C、不可以近似看成轴对称图形，不符合题意； D、不可以近似看成轴对称图形，不符合题意； 3. 4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点约439000米，将439000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中， 为整数，解题关键是正确确定 和 的值，当原数绝对值大于时， 为正数， 的绝对值等于原数变为 时小数点移动的位数． 【详解】解：将439000用科学记数法表示为． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项法则与幂的基本运算性质，只需根据对应法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意可知，， ， ，， ，， ． 6. 在2026年央视春晚的机器人表演方阵中，舞台被划分为正方形网格．若以舞台中心某点为原点建立平面直角坐标系，已知代表“科技”字样的机器人 位于，代表“未来”字样的机器人 位于．若代表“强国有我”的机器人 位于如图所示位置，则它的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据、建立平面直角坐标系， 则机器人 的坐标是 7. 某篮球队5名队员的身高（单位：）分别是：185，185，188，189，193．现增加两名身高是186、190的预备队员，与增加前相比，下列统计量受影响的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算增加队员前后四个统计量的值，对比得出发生变化的统计量即可． 【详解】解：由题意可知，原平均数， 原众数为， 原中位数为第 个数，即， 原方差 增加两名队员后，将 个数据排序，得：， 则新平均数，平均数不变， 新众数仍为，众数不变， 新中位数为第个数，即，中位数不变， 新方差方差改变， 即统计量受影响的是方差． 8. 记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有 只羊，乙有 只羊，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲有 只羊，乙有 只羊，根据乙给甲一只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数乙的羊数；如果甲给乙一只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组． 【详解】解：设甲有 只羊，乙有 只羊，根据题意得， ． 9. 若是关于 的方程的一个根，则该方程的另一个根是（ ） A. －5 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵ 是关于 的方程的一个根，设另一个根为， ∴， 解得， ∴该方程的另一个根是5． 10. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数的图象和性质：①当 ，y随x的增大而增大，若 ，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当 时，y随x的增大而减小，若 ，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．反比例函数中k的符号与图象：若 ，反比例函数图象在第一、三象限，若 ，反比例函数图象在第二、四象限，． 【详解】解：若 ，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 若 ，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 只有C选项符合． 11. 如图，在中， ，按以下步骤作图： ①以 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ，于 ， 两点； ②分别以 ， 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点 ； ③作射线 ，交边 于 点． 若，则线段 的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点 作 于点 ，由勾股定理可得 ，由作法可知，平分 ，则，进而证明，得到，再设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ， ，， ， 由作法可知，平分 ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 12. 已知抛物线的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，甲乙丙丁四位同学分别写出了下列结论： 甲：； 乙：； 丙：抛物线的顶点坐标为； 丁：当时， 随 增大而增大． 其中结论正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴和与 轴的一个交点坐标，得到另一个交点坐标，再结合图象可知，当时， ，当 时， ，可判断甲、乙结论；根据抛物线的和经过点，可判断丙结论；根据抛物线的增减性，可判断丁结论． 【详解】解： 抛物线的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标， 与 轴的另一个交点坐标为， 当时， ，当 时， ， ，，甲、乙结论错误； 对称轴为直线 ， ， ， 抛物线经过点， ， 当 时，， 抛物线的顶点坐标为，丙结论正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时， 随 增大而增大，丁结论错误． 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）． 13. 若在实数范围内有意义，写出一个符合条件的 的值__________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】当二次根式的被开方数大于等于时，二次根式有意义，据此列出不等式得到 的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 任意大于等于 的 都符合条件， 可以取 （答案不唯一）． 14. 2026年是丙午马年，“马到功成”将马年与祝福相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“马”、“到”、“功”、“成”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“功”的概率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：盒中共有张质地均匀大小相同的卡片，从中随机抽取一张，所有等可能的结果共种， 其中抽取到印有汉字“功”的结果共 种， 因此抽取到的卡片上印有汉字“功”的概率为. 15. 2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型， 、是圆的切线， 为切点， 为圆心，连接 并延长 交射线 于点 ，若，则 的长度为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接 、 ，根据圆的切线的性质，易证，得到，由勾股定理得出，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接 、 ， 、是圆的切线， 为切点， 为圆心， ， ， ， ， ， ， 在中，， 设，则， 在中，, ， 解得：， ． 16. 如图，的对角线 ，交于点 ，，若，，的面积为__________．     【答案】 【解析】 【分析】延长至点 ，使得，过点 作，过点 作，根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，推出，再结合三线合一的性质，得到， 证明，从而推出，设，利用勾股定理列方程求出 的值，从而得出，，再求出，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点 ，使得，过点 作，过点 作， 的对角线 ，交于点 ，，， , ， ， ， ， ， ， , ， ， ， ， ，，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 设， ， 解得：， ，， ， ． 三、解答题：（本题共9小题，满分98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）在下面四个式子中任选三个求和 ① ② ③ ④ （2）解一元二次方程： 【答案】（1） 选择①②③，5； 选择①②④，5； 选择①③④，5； 选择②③④，3； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：选择①②③，； 选择①②④， 选择①③④， 选择②③④，； 【小问2详解】 解：， ， 则 或， 解得：，． 18. 下面是小强的化简分式的过程： 解：原式…………第一步 ………………………第二步 ……………………………………第三步 （1）小强的化简过程从第__________步开始出现错误； （2）请你写出正确的化简过程，并从2、3、4、5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）二 （2） 解： ， ，， ，且， 当 时，原式． 【解析】 【分析】（1）由去括号法则判断可得解； （2）先对括号内通分相减，再将除法化为乘法约分化简，再根据分式有意义的条件，确定 的取值，代入计算求值即可． 【小问1详解】 解：小强的化简过程从第二步开始出现错误； 【小问2详解】 略 19. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）九年级接受调查的同学__________并补全条形统计图； （2）九年级共有500名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名； （3）若喜欢“交流谈心”的4名同学中有两名男生和两名女生，心理老师想从4名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求选出的两名同学同为男生或同为女生的概率． 【答案】（1）九年级接受调查的同学共有名， 补全图形如下： ； （2）估计该校九年级听音乐减压的学生约有120名； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可求得总人数，求出听音乐的人数即可补全条形统计图； （2）用总人数乘以样本中听音乐减压的人数所占比例即可求解； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出同为男生或同为女生的情况，再利用概率公式即可求得答案 ． 【小问1详解】 解：九年级接受调查的同学总数为（名）， 则“听音乐”的人数为（名）， 【小问2详解】 解：估计该校九年级听音乐减压的学生约有（名）， 答：估计该校九年级听音乐减压的学生有120名； 【小问3详解】 解：画树状图如图， ∵共有 种等可能的结果，同时选出的两名同学同为男生或同为女生的有4种情况， ∴选取的两名同学同为男生或同为女生的概率为 ． 20. 在 中， 是边上的一点， 是 边的中点，过点 作交 的延长线于点 ，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E是 边的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质得，根据中点的性质可得，从而可证，进而得，即可根据“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形； （2）根据已知条件先证平行四边形是矩形，再在中，运用勾股定理即可得，进而可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即 ， ∴平行四边形是矩形， 在中， ∴， ∴， 故的长为． 21. 2025年12月为纪念仁怀撤县设市30周年，仁怀举办了大型无人机表演，科技走入了我们的生活．某校准备开设无人机驾驶实验课程，打算购买 两种型号的无人机．已知 型号无人机的单价比 型号无人机单价多2000元，若购买3台 型号无人机和2台 型号无人机需要21000元． （1）求 型号、 型号无人机的单价分别是多少元； （2）若学校预计用不高于145000元的资金购买 ， 两种型号的无人机共40台，则最多可以购买 型号无人机多少台？ 【答案】（1）A型号无人机单价为5000元，B型号无人机单价为3000元； （2）最多可以购买A型号无人机12台． 【解析】 【分析】（1）设 型号无人机的单价为 元，根据“购买3台 型号无人机和2台 型号无人机需要21000元”，列一元一次方程求解即可； （2）设购买 型号无人机 台，根据费用不高于145000元列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设 型号无人机的单价为 元，则 型号无人机的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：A型号无人机单价为5000元，B型号无人机单价为3000元； 【小问2详解】 解：设购买 型号无人机 台，则购买 型号无人机台， 由题意得：， 解得：， 是整数， 的最大取值为12， 答：最多可以购买A型号无人机12台． 22. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿 直立于地面 ，小腿部分 刚好与地面 平行，上身 垂直于大腿 ，即于点 ，，于点是机器人小腿 上踢后与大腿 在同一直线的瞬间．（这里的小腿都包括脚面部分，上身 包括头部部分）已知，参考数据：，． （1）求的度数： （2）点 距离地面的高度．（结果精确到） 【答案】（1） （2）点 距离地面的高度为． 【解析】 【分析】（1）过点 作，由平行线的性质可得，，，即可得解； （2）过点 作于点，延长交于点，先得出，证明四边形是矩形，则，，再利用角的正弦值，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点 作， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点 作于点，延长交于点， 由（1）可知，， ， ， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， , 答：点 距离地面的高度为． 23. 如图， 与相切于点 ， 为的直径，点 在上，连接，，且． （1）连接 ，求证：； （2）连接，若，，求弦的长度； （3）在（2）的条件下计算图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ 与相切， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴； （2） ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定 为等边三角形，求出圆的半径，即可求得 ； （3）根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 为等边三角形， ∴，， 由（1）可知：， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 24. 跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为 轴，过小明拿绳子的手作 轴的垂线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． （1）求绳子所对应的抛物线的解析式． （2）身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． （3）身高为的小红和身高为的小美，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是多少． 【答案】（1）； （2） 解：身高为的君君站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶． 理由如下：， ∵， ∴当 时，， ∴绳子不能过他的头顶； （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，把代入解析式，求绳子所对应的抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线的解析式，求得抛物线的最大值，与比较，大于则过，否则不过． （3）当时，当时，求得对应的自变量的值，此时绳子刚刚过顶，求得最大距离即可． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线经过点， ， 解得， ∴绳子所对应的抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 解得或； 当时，， 解得或， 所以两人之间最远相距或． 25. 【问题背景】借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系．如图1，在“ 中，， ，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ．如图2所示，将 绕点 逆时针旋转，连接 ． （1）【操作发现】如图2，旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）【问题探究】如图3，当 、 、 三点在一条直线上时，求的长． （3）【拓展延伸】如图4，在中， ， ， ，分别取 ，的中点 ， ．作，将绕点 逆时针旋转，连接 ，．当边 平分线段 时，直接写出点 到的距离． 【答案】（1） 解：猜想，证明如下： ∵点D和点E分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得： ， ∴， ∴； （2） （3）点 到的距离为． 【解析】 【分析】（1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当 所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作 于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图1可知点D和点E为分别为中点， ∴ ，， ∴， ∴， ∴当 所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：令相交于点Q，过点E作 于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边 平分线段 ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴． 即点 到的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $