23.2 正比例函数的图象和性质2025-2026学年八年级数学人教版数学下册

第1课时 正比例函数的图象和性质 第二十三章 一次函数 R·八年级数学下册 祁永成 学习目标 1. 会用描点法画出正比例函数的图象 2. 根据正比例函数的解析式 y ＝ kx ( k 是常数，k ≠ 0 ) 和图象探索并理解正比例函数的性质． 3. 体会数形结合的思想，发展几何直观和推理能力 知识回顾 问题1：什么是正比例函数?你能写出两个具体的正比例函数吗？ 问题2：正比例函数有怎样的性质？我们可以通过什么方法研究函数的性质？ 探究点 正比例函数的图象及性质 画出下列正比例函数y=2x的图象： 例 1 解：函数y=2x中的自变量x可为任意实数. 列表如下： x … －2 －1 0 1 2 … y … … －4 －2 0 2 4 问题3：我们从具体的正比例函数y=2x开始研究，用描点法画出函数y=2x的图象。 描点：在平面直角坐标系中描出 以表中的值为坐标的点. x … －2 －1 0 1 2 … y … … －4 －2 0 2 4 －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 y = 2x 连线：连接直角坐标系中的点. 问题4:请概括函数y=2x的图象有哪些特征。 从形状、位置（所在象限）、过原点、从左向右变化趋势等角度观察、表述图象的特征。 －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 y = 2x 形状:一条直线 位置:过第一、三象限，过原点 从左向右变化趋势：从左向右上升 y = 2x －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 观察发现：这两个图象都是经过原点的______，而且都经过第________象限. 直线 一、三 问题5：在同一平面直角坐标系里，用描点法画出函数 的图象，概括函数 的图象的特征，并通过对比，归纳两个函数图象的共同特征。 问题6：这两个函数图象都有“从左向右上升”的特点，当动点在函数的图象上从左向右移动时，点的横坐标和纵坐标分别是怎么变化的？由此说出函数值y是如何随自变量x的变化而变化的。 由“图象从左向右上升”，得到“函数y随x的增大而增大”的结论。 分别画出下列正比例函数的图象： 例 2 （2）y = －1.5x，y = －4x. 解：函数y=－1.5x中的自变量x可为任意实数.列表如下： x … －2 －1 0 1 2 … y … 3 1.5 0 －1.5 －3 … －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 y = －1.5x 描点、 连线 问题7：请延用前面的方法和思路，画出y=-4x和y=-1.5x的图象，并研究两个函数的性质。 －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 用同样的方法，可以得到函数 y=－4x 的图象. y = －4x y = －1.5x 观察发现：这两个图象都是经过原点的______，而且都经过第________象限. 直线 二、四 由“图象从左向右下降”，得到“函数y随x的增大而减小”的结论。 －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 y = －1.5x y = －4x －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 y = 2x 以上4个函数的图象都是经过原点的直线. 问题8：综合以上结论，正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线，对于函数y=kx，函数y随x的增大（或减小）是由图象从左向右上升（或下降）的特征得到的，说说对于图象从左向右上升（或下降）的特征又和什么相关呢？ 当K>0时，y随x的增大而增大； 当k<0时，y随x的增大而减小。 归纳小结▶ 一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k ≠ 0）的 图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx. 类别 k>0 k<0 图象 图象形状 过原点，从左向右上升的直线( ) 过原点，从左向右下降的直线( ) 图象经过的象限 第三、第一象限 第二、第四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象.只要过原点和图象上另一点即可画直线，另一点可以是（1，k）或（-1，-k）等等，具体可视情况而定。 两点作图法 问题9：通过上面的学习我们知道，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，同时我们知道两点确定一条直线。由此，你能想到画正比例函数的图象的简便方法吗？ 正比例函数 y=－3x 的大致图象是（ ） C 【对应训练】 练 习 1. 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： （2）y =－6x . 【选自教材第119页 练习 第1题】 2. 若点（2，m）和点（－3，n）都在函数 y = kx（k < 0） 的图象上，试比较 m，n 的大小. 方法一：直接代入计算判断； 将点（2，m）和点（－3，n）分别代入函数 y = kx（k < 0）中， m = 2k < 0 n = －3k > 0 m < n 【选自教材第119页 练习 第2题】 2. 若点（2，m）和点（－3，n）都在函数 y = kx（k < 0） 的图象上，试比较 m，n 的大小. 方法二：画图象，根据相应点的位置判断； －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 y = kx（k < 0） （2，m） （－3，n） m < n 【选自教材第119页 练习 第2题】 2. 若点（2，m）和点（－3，n）都在函数 y = kx（k < 0） 的图象上，试比较 m，n 的大小. 方法三：利用函数增减性判断. 对于函数 y = kx（k < 0），y 随 x 的增大而减小. 因为点（2，m）和点（－3，n）都在函数 y = kx 的图象上，且 2 > －3，所以 m < n. 【选自教材第119页 练习 第2题】 课堂小结 （1）正比例函数的图象是什么？怎么用简便方法画正比例函数的图象？ （2）正比例函数有哪些性质？我们是怎样研究正比例函数的性质的？ （3）在研究正比例函数的性质的过程中，你有什么收获？ 布置作业 教材P124习题23.2第1，2题. $