精品解析：江苏常州市钟楼区昕弘实验学校2025-2026学年第二学期期中教学质量调研 八年级数学试卷

2025-2026学年第二学期期中教学质量调研 八年级数学试卷 注意事项：本试卷共6页，考试时间90分钟，满分100分，答案全部填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，共16分） 1. 下列谚语所描述的事件中属于不可能事件的是（ ） A. 夜里星光明，明朝依旧晴 B. 种瓜得瓜种豆得豆 C. 乌云脚底白，定有大雨来 D. 葫芦藤上结南瓜 2. 为了了解钟楼区八年级学生的视力情况，从中抽取500名学生的视力进行调查，下列说法不正确的是（ ） A. 钟楼区八年级学生视力的全体是总体 B. 每个八年级学生是个体 C. 样本容量是500 D. 从中抽取的500名学生的视力是总体的一个样本 3. 根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（ ） A. 南京市明天将有的地区降水 B. 南京市明天将有的时间降水 C. 南京市明天降水的可能性不大 D. 南京市明天肯定不会降水 4. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 全班学生一周内收看“新闻联播”的次数 B. 太湖中现有鱼的种类 C. 一批灯使用寿命的调查 D. 北京冬奥会开幕式收视率的调查 5. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，，，则菱形的面积为（ ） A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 7. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 8. 某超市去年8月月，每月总销售额的条形统计图和每月牛奶类销售额占总销售额百分比的折线统计图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 8月份总销售额比11月份多 B. 月销售总额与牛奶类销售额变化不一致 C. 10月份牛奶类销售额比11月份少 D. 四个月中8月份牛奶类销售额最高 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 任意画一个三角形，它的内角和是这是________事件．（选填“必然”、“随机”和“不可能”） 10. 从一副标准扑克牌中任意抽取1张（包括大小王，且大王为红色，小王为黑色）．（1）抽到的牌是“A”；（2）抽到的牌是“红心”；（3）抽到的牌是“大王”；（4）抽到的牌是“红色的”．将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 11. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 估计该麦种的发芽概率为______．（精确到0.01） 试验种子数粒 50 100 500 1000 2000 3000 发芽频数 45 92 476 952 1902 2853 发芽频率 0.9 0.92 0.952 0.952 0.951 0.951 12. 小明平均每天用于学习、睡眠、参加班级的各类活动、用餐及其他的时间如下： 项目 学习 睡眠 活动 用餐 其他 合计 时间/h 8 9 4 1 2 24 小明根据上述数据制作扇形统计图，表示学习项目的扇形的圆心角度数为________． 13. 如图，A、B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接，，分别取，的中点M，N，若测得，则A，B两点间的距离是________． 14. 如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________． 15. 如图，在ABCD中，的平分线交点AD于点E，则AB=4，BC=6. 则DE的长为_______． 16. 如图，在正方形中，E为上一点．若，则________． 17. 如图，矩形的对角线相交于点O，，，则长为______ 18. 定义：在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线上，则称矩形ABCD为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点，且直线平分该矩形的面积，则点坐标为______． 三、解答题（本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第19题4分、第20题10分、第21、23、24、25题每题8分、第22题6分、第26题12分） 19. 为了调查钟楼区居民区的白天噪声污染情况，环保部门抽样调查了40个噪声测量点的噪声声强级，结果如下（每组包含起点值，不包含终点值）： （1）在噪声最低的测量点，其噪声声强级在哪个范围？ （2）噪声声强级高于的测量点有多少个？ 20. 某校组织八年级480名学生参加了一次前沿科技知识竞赛，并采用简单随机抽样的方法从中抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，并绘制成下表（72分及以上为“及格”，96分及以上为“优秀”） 八年级前沿科技知识竞赛成绩抽样统计表1 样本容量 平均分 及格率 优秀率 最高分 最低分 极差 50 88 ①________ 120 45 ②________ 分数段统计表2 分数x 频数 2 4 4 9 频率 ③________ 分数x 频数 ④________ 10 6 1 频率 （1）填写表中的空格； （2）从两个不同的角度对本次竞赛的总体情况做出评价． 21. 一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球． （1）能事先确定摸到的这个球的颜色吗？________ （2）你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？________ （3）怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这三种颜色的概率相等？ （4）如果要使从中摸出白球的概率最大，至少需要往袋子中增加几个白球？ 22. 为感受中国科技的发展力量，某校筹备“科技赋能，拥抱未来”主题日活动，随机抽取部分学生调查他们在平常使用最多的产品，结果如下： 【调查选项】 A．极梦 B．豆包 C．作业帮 D． E．小猿搜题 【统计图表】 【问题解答】 （1）本次调查抽取的学生共________人； （2）请补全条形统计图； （3）该校共有3000名学生，估计该校在平常使用小猿搜题最多的学生有多少人？ 23. 如图，AD是△ABC的中线． （1）画图：延长AD到E，使ED=AD，连接BE、CE； （2）四边形ABEC是平行四边形吗？证明你的结论． 24. 如图，在中，，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证：四边形是菱形． 25. 如图，在中，是对角线，，，垂足分别为E，F，连接，． （1）线段与线段的关系为________． （2）判断四边形的形状，并说明理由． 26. 在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，点落在点处，如图（1），连接．设与相交于点，证明； （2）图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； （3）将矩形纸片折叠，如图（2），使点与点重合，折痕为，则：________，________； （4）将图（2）中的矩形放在平面直角坐标系中，如图（3）所示，点与原点重合，落在轴上，落在轴上，点在直线上，在直线上存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点的坐标： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中教学质量调研 八年级数学试卷 注意事项：本试卷共6页，考试时间90分钟，满分100分，答案全部填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，共16分） 1. 下列谚语所描述的事件中属于不可能事件的是（ ） A. 夜里星光明，明朝依旧晴 B. 种瓜得瓜种豆得豆 C. 乌云脚底白，定有大雨来 D. 葫芦藤上结南瓜 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不可能事件的定义，在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，结合定义判断各选项即可得到答案. 【详解】∵不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的事件， A选项描述的事件是可能发生也可能不发生的随机事件， B选项描述的事件是一定发生的必然事件， C选项描述的事件是可能发生也可能不发生的随机事件， D选项葫芦藤只能结葫芦，不可能结南瓜，是一定不会发生的事件， ∴D是不可能事件， 故选D. 2. 为了了解钟楼区八年级学生的视力情况，从中抽取500名学生的视力进行调查，下列说法不正确的是（ ） A. 钟楼区八年级学生视力的全体是总体 B. 每个八年级学生是个体 C. 样本容量是500 D. 从中抽取的500名学生的视力是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查中总体、个体、样本、样本容量的基本概念，明确各概念的定义即可判断出错误说法。 【详解】解：∵本题的研究对象是钟楼区八年级学生的视力情况， ∴钟楼区八年级学生视力的全体是总体，A说法正确； 个体是每个八年级学生的视力，不是每个八年级学生，B说法错误； 样本容量是样本中包含的个体数量，本题样本容量为500，C说法正确； 从中抽取的500名学生的视力是总体的一个样本，D说法正确． 3. 根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（ ） A. 南京市明天将有的地区降水 B. 南京市明天将有的时间降水 C. 南京市明天降水的可能性不大 D. 南京市明天肯定不会降水 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率意义的理解，降水概率表示降水的可能性较低，正确选项需符合概率的实际意义． 【详解】解：降水概率是指在相同的气象条件下，有的可能性出现降水，属于可能性较小的事件． 故选：C 4. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 全班学生一周内收看“新闻联播”的次数 B. 太湖中现有鱼的种类 C. 一批灯使用寿命的调查 D. 北京冬奥会开幕式收视率的调查 【答案】A 【解析】 【分析】普查适合调查范围小，调查无破坏性，容易实施的情况，抽样调查适合调查范围大，调查有破坏性或难以全面实施的情况，据此判断选项即可. 【详解】解：A中全班学生人数少，调查容易实施，适宜采用普查； B中太湖范围大，调查现有鱼的种类难以全面完成，适宜抽样调查； C中调查灯使用寿命具有破坏性，无法对所有产品检测，适宜抽样调查； D中调查北京冬奥会开幕式收视率范围极大，难以完成全面调查，适宜抽样调查． 5. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质计算即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ． 6. 如图，菱形中，，，则菱形的面积为（ ） A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于菱形对角线长度乘积的一半，即可求解． 【详解】解：根据题意得：菱形的面积为． 7. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形和菱形的性质即可解决问题． 【详解】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握正方形和菱形的性质． 8. 某超市去年8月月，每月总销售额的条形统计图和每月牛奶类销售额占总销售额百分比的折线统计图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 8月份总销售额比11月份多 B. 月销售总额与牛奶类销售额变化不一致 C. 10月份牛奶类销售额比11月份少 D. 四个月中8月份牛奶类销售额最高 【答案】C 【解析】 【分析】根据条形图和折线图逐项分析即可判断求解． 【详解】解：∵8月份总销售额为90万元，11月份总销售额为70万元， 又∵， ∴8月份总销售额比11月份多，故选项正确，不符合题意； 由题意知：月份牛奶类销售额为（万元）， 月份牛奶类销售额为（万元）， 月份牛奶类销售额为（万元）， 11月份牛奶类销售额为（万元）， 牛奶类销售额从月份到月份在减少，月份到月份在增加，月份到月份在减少，而销售总额从月份到月份在减少，月份到月份在减少，月份到月份在增加， ∴月销售总额与牛奶类销售额变化不一致，故选项正确，不符合题意； ∵， ∴10月份牛奶类销售额比11月份多，故选项错误，符合题意； ∵， ∴四个月中月份牛奶类销售额最高，故选项正确，不符合题意． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 任意画一个三角形，它的内角和是这是________事件．（选填“必然”、“随机”和“不可能”） 【答案】必然 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得到任意三角形内角和为，再根据不同事件的定义判断即可． 【详解】解：根据三角形内角和定理可知，任意三角形的内角和都是，该事件一定发生， ∴它是必然事件． 10. 从一副标准扑克牌中任意抽取1张（包括大小王，且大王为红色，小王为黑色）．（1）抽到的牌是“A”；（2）抽到的牌是“红心”；（3）抽到的牌是“大王”；（4）抽到的牌是“红色的”．将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率等于所求情况数与总情况数之比，分别计算每个事件发生的概率，再比较概率大小即可完成排序． 【详解】解：一副扑克牌共有张， （1）牌中“A”共有张，因此抽到“A”的概率为； （2）牌中“红心”共有张，因此抽到“红心”的概率为； （3）牌中“大王”共有张，因此抽到“大王”的概率为； （4）牌中“红色的”牌共有张，因此抽到“红色的”牌的概率为； 比较概率大小可得， 即． 11. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 估计该麦种的发芽概率为______．（精确到0.01） 试验种子数粒 50 100 500 1000 2000 3000 发芽频数 45 92 476 952 1902 2853 发芽频率 0.9 0.92 0.952 0.952 0.951 0.951 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率；据此即可求解． 【详解】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定在或附近，根据题干要求精确到，可估计该麦种的发芽概率约为． 故答案为：． 12. 小明平均每天用于学习、睡眠、参加班级的各类活动、用餐及其他的时间如下： 项目 学习 睡眠 活动 用餐 其他 合计 时间/h 8 9 4 1 2 24 小明根据上述数据制作扇形统计图，表示学习项目的扇形的圆心角度数为________． 【答案】120 【解析】 【分析】先计算学习时间占一天总时间的比例，再根据扇形统计图圆心角的计算规则，用乘以该比例，即可得到所求圆心角度数． 【详解】解：由题意得，一天总时间为，学习时间为， ∴表示学习项目的扇形圆心角度数为：． 13. 如图，A、B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接，，分别取，的中点M，N，若测得，则A，B两点间的距离是________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，由此可得，代入数据计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， 是的中位线， ． 14. 如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在直角梯形中，，，，， ∴梯形的面积为： ． 15. 如图，在ABCD中，的平分线交点AD于点E，则AB=4，BC=6. 则DE的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】 【详解】解: ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=6， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AB=AE=4， ∴ED=AD-AE=BC-AE=6-4=2． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键． 16. 如图，在正方形中，E为上一点．若，则________． 【答案】70 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，平分， ， ， ． 17. 如图，矩形的对角线相交于点O，，，则长为______ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，先证是等边三角形，推出，再结合矩形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：8． 18. 定义：在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线上，则称矩形ABCD为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点，且直线平分该矩形的面积，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质及一次函数图像上点的坐标特征，得出点在直线和上是解题关键，根据矩形的性质得出，根据轴得出点点、的纵坐标都为，根据直线平分该矩形的面积可得点在直线上，根据矩形为“率矩形”可得点直线的解析式为，列方程可求出的值，即可得答案． 【详解】解：∵为矩形， ∴， ∵轴，， ∴点、的纵坐标都为， ∵直线平分该矩形的面积， ∴点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∵矩形为“率矩形”， ∴直线的解析式为，点在直线上， ∴， 解得：， ∴，， ∵，轴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第19题4分、第20题10分、第21、23、24、25题每题8分、第22题6分、第26题12分） 19. 为了调查钟楼区居民区的白天噪声污染情况，环保部门抽样调查了40个噪声测量点的噪声声强级，结果如下（每组包含起点值，不包含终点值）： （1）在噪声最低的测量点，其噪声声强级在哪个范围？ （2）噪声声强级高于的测量点有多少个？ 【答案】（1）（或） （2）26个 【解析】 【分析】(1) 观察频数分布直方图，找出频数不为零的最低组即可确定噪声最低的测量点所在的范围． (2) 找出噪声声强级高于的各组，将其频数相加即可． 【小问1详解】 (1) 解：∵频数分布直方图中最低组为， ∴噪声最低的测量点，其噪声声强级在范围内． 【小问2详解】 解：∵噪声声强级高于的组有、、， ∴测量点个数为个． 20. 某校组织八年级480名学生参加了一次前沿科技知识竞赛，并采用简单随机抽样的方法从中抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，并绘制成下表（72分及以上为“及格”，96分及以上为“优秀”） 八年级前沿科技知识竞赛成绩抽样统计表1 样本容量 平均分 及格率 优秀率 最高分 最低分 极差 50 88 ①________ 120 45 ②________ 分数段统计表2 分数x 频数 2 4 4 9 频率 ③________ 分数x 频数 ④________ 10 6 1 频率 （1）填写表中的空格； （2）从两个不同的角度对本次竞赛的总体情况做出评价． 【答案】（1）①；②；③；④ （2）角度1：从及格率来看，本次竞赛及格率为，说明八年级大部分学生掌握了一定的前沿科技知识，整体竞赛开展效果较好； 角度2：从优秀率来看，本次竞赛优秀率达到，说明有超过三分之一的学生对前沿科技知识掌握达到优秀水平，本次科普竞赛达到了预期效果．(评价合理即可) 【解析】 【分析】（1）根据题意填表即可； （2）根据表格中的数据进行评价即可． 【小问1详解】 解：表格2中： ③的频率为， ④的频数为； 表格1中： ①96分及以上的人数为：（人）， 优秀率为：， ②极差：． 【小问2详解】 解：角度1：从及格率来看，本次竞赛及格率为，说明八年级大部分学生掌握了一定的前沿科技知识，整体竞赛开展效果较好； 角度2：从优秀率来看，本次竞赛优秀率达到，说明有超过三分之一的学生对前沿科技知识掌握达到优秀水平，本次科普竞赛达到了预期效果．(评价合理即可) 21. 一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球． （1）能事先确定摸到的这个球的颜色吗？________ （2）你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？________ （3）怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这三种颜色的概率相等？ （4）如果要使从中摸出白球的概率最大，至少需要往袋子中增加几个白球？ 【答案】（1）不能 （2）红球 （3）使袋子中白球、黄球、红球的个数相等即可（方法不唯一） （4）3个 【解析】 【分析】（1）根据题干判断即可； （2）根据各颜色的球的数量判断即可； （3）让三种颜色球的数量相等即可； （4）设至少增加个白球，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵袋子中有三种不同颜色的球， ∴不能事先确定摸到的球的颜色． 【小问2详解】 解：∵，红球的数量最多， ∴摸到红球的概率最大． 【小问3详解】 解：根据概率的意义，只要使袋子中三种颜色球的个数相等，摸到三种颜色球的概率就相等（方法不唯一）． 【小问4详解】 解：现在袋子中红球数量最多，共4个，要使摸到白球的概率最大，需要白球的数量大于红球的数量． 设至少增加个白球， 可得， 解得． ∵为正整数， ∴的最小值为3， 即至少需要往袋子中增加3个白球． 22. 为感受中国科技的发展力量，某校筹备“科技赋能，拥抱未来”主题日活动，随机抽取部分学生调查他们在平常使用最多的产品，结果如下： 【调查选项】 A．极梦 B．豆包 C．作业帮 D． E．小猿搜题 【统计图表】 【问题解答】 （1）本次调查抽取的学生共________人； （2）请补全条形统计图； （3）该校共有3000名学生，估计该校在平常使用小猿搜题最多的学生有多少人？ 【答案】（1）40 （2） 补全条形统计图． （3）估计该校在平常使用小猿搜题最多的学生约600人 【解析】 【分析】（1）用选择A的学生人数除以所占的比例，得到总调查人数． （2）求得选择的人数，可补全条形统计图． （3）先算出使用小猿搜题的学生在样本中的占比，再用该校总人数乘以该占比，得到估计的人数． 【小问1详解】 解：由图可知，选A的人数为4人，占总人数的， ∴总人数为 （人）． 【小问2详解】 解：选的人数：（人）． 【小问3详解】 解：样本中使用小猿搜题（E）的人数占比为  ， ∴  （人）． 答：估计该校使用小猿搜题最多的学生约人． 23. 如图，AD是△ABC的中线． （1）画图：延长AD到E，使ED=AD，连接BE、CE； （2）四边形ABEC是平行四边形吗？证明你的结论． 【答案】 （1）如图所示； （2）DA=DE,DB=DC 四边形ABCE是平行四边形 【解析】 【详解】（1）略 （2）四边形ABEC是平行四边形．理由：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，．∵ED=AD，∴四边形ABEC是平行四边形． 24. 如图，在中，，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴点E，F分别是，的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形和平行四边形的判定，三角形的中位线的性质和判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 首先得到，是的中位线，得到，，推出四边形是平行四边形，然后结合，得到，即可证明出四边形是菱形． 【详解】略 25. 如图，在中，是对角线，，，垂足分别为E，F，连接，． （1）线段与线段的关系为________． （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）平行且相等 （2） 解：∵且， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】(1) 利用平行四边形的性质得到且，从而得到内错角相等，结合垂直条件利用AAS证明三角形全等，得出，再由垂直于同一直线的两条直线平行得出． (2) 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形为平行四边形． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴且． 【小问2详解】 略 26. 在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，点落在点处，如图（1），连接．设与相交于点，证明； （2）图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； （3）将矩形纸片折叠，如图（2），使点与点重合，折痕为，则：________，________； （4）将图（2）中的矩形放在平面直角坐标系中，如图（3）所示，点与原点重合，落在轴上，落在轴上，点在直线上，在直线上存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点的坐标： ． 【答案】（1） 解：∵且， ∴四边形是平行四边形． （2）等腰梯形， 理由：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，即， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵，且与不平行， ∴四边形是等腰梯形； （3）； （4）或或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，则，由折叠的性质可得，因此，命题得证； （2）结合矩形的性质和折叠的性质可得，，．由（1）可知，，则，由结合等腰三角形的性质可得，则，由图可知，与不平行，因此四边形是等腰梯形； （3）连接交于点，设，由折叠的性质可得，，，，则．在中，利用勾股定理构造方程，解得，因此．使用勾股定理可计算出，，容易证明，则，因此； （4）先根据题意列出各点的坐标，再利用待定系数法求出直线与的解析式．设点， ，分三类讨论，当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质和中点公式可得，求解即可；同理，当或为平行四边形的对角线时，调整一下方程并求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接交于点，设， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图，设与的交点为， 根据题意，点的坐标为，点的坐标为， 由（2）可知，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为， ①当为平行四边形的对角线时， ∴与互相平分，即中点重合， 根据中点公式，可列方程：， 解得， ∴点的坐标为； ②当为平行四边形的对角线时， 同理， 解得， ∴点的坐标为； ③当为平行四边形的对角线时， 同理， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $