精品解析：　江苏省 常州市 钟楼区常州市教科院附属初级中学2023-2024学年八年级下学期期中调研数学试卷

八年级期中调研数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. 如图所示图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、不是中心对称图形，故该选项是错误的； C、是中心对称图形，故该选项是正确的； D、不是中心对称图形，故该选项是错误的； 故选：C 2. 下列各式：、、、中，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：、，分母中含有字母，是分式；、，分母中不含字母，是整式；所以分式的共有2个． 故选：B． 3. 下列调查所采用的调查方式，不合适的是（ ） A. 了解黄河的水质，采用抽样调查 B. 了解全省中学生的睡眠时间，采用抽样调查 C. 检测天问一号火星探测器的零部件质量，采用抽样调查 D. 了解某班学生视力，采用全面调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A、了解黄河的水质，适合采用抽样调查，此选项不符合题意； B、了解全省中学生的睡眠时间，适合采用抽样调查，此选项不符合题意； C、检测天问一号火星探测器的零部件质量，适合采用全面调查，此选项符合题意； D、了解某班学生视力，适合采用全面调查，此选项不符合题意； 故选：C． 4. 用反证法证明，“在中，对边是a、b．若，则．”第一步应假设（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，直接选择即可． 【详解】解：根据反证法的步骤，得 第一步应假设不成立，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了反证法，熟知反证法的步骤是关键． 5. 若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．用和代替式子中的x和y即可得出结论． 【详解】解：把x和y都扩大为原来的2倍，即用和代替式子中的x和y， 可得：， 分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 6. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，是最简分式，故本选项符合题意； C、，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．根据四边形是矩形，得到，利用三角形外角性质，得到，，由此可求． 【详解】解： 四边形是矩形， ， ，，， ， ，， ， ． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴上一动点，连接并延长至点D，使，取y轴上一点B，以为边作，连接，则长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，判断出点C始终在平行于y轴的直线上运动是解题的关键．过点作轴平行线交轴于点，过点作轴平行线交于点，证明，，得到为定值，即点在平行于轴，且与轴距离为6的定直线上运动，由此得到． 【详解】解：如图，过点作轴平行线交轴于点，过点作轴平行线交于点， ， ， ， ， 又，， ， ， 轴，， ，， ，即， ， 又 ，在中，， ， ， 为定值，即点在平行于轴，且与轴距离为6的定直线上运动， ． 故选：C ． 二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分母不等于0，即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0． 10. 要想了解七年级2000名学生的心理健康评估报告，从中抽取了250名学生的心理健康评估评估报告进行统计分析，则其样本容量是___________ 【答案】250 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【详解】解：从中抽取了250名学生的心理健康评估评估报告进行统计分析，则其样本容量是250． 故答案为：250． 11. 已知，则分式的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式求值，掌握分式的运算是解题的关键．根据，得，将其代入进行化简约分即可求解． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 12. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则任意摸一个球是绿球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率；理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键，根据题意利用频率估计概率的知识即可求解． 【详解】解：由题意，经过大题重复实验后，摸到绿球的频率稳定在， 所以估计任意摸一个球是绿球的概率为， 故答案为． 13. 如图，在菱形中，，则菱形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据题意得出，进而根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴ ∴菱形的面积为 故答案为：． 14. 若a-=，则a2+值为_______________________. 【答案】8 【解析】 【详解】分析：根据完全平方公式进行变形即可求出答案． 详解：∵a-=， ∴（a-）2=6， ∴a2-2+=6， ∴a2+=8. 故答案为8. 点睛：本题考查完全平方公式的变形运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式． 15. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．利用旋转的性质得到，，，结合，求出，结合等边对等角，得到，再根据三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解： 将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为，根据旋转的性质， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，动点P从点A出发，以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当点P运动______秒时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理熟练掌握相关性质和判定和解题的关键．过点B作于H，证明四边形是矩形，结合勾股定理求得，只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于H， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得，， Q在上运动时间为， ， Q运动时间最长为， 当点Q在上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形， 当时，Q在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： 即， 只需， 由题意得，，，， ， 解得， ②四边形是平行四边形，如图所示： ， 只需，四边形是平行四边形， ， ， 解得． 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，第17题12分，第18题5分，第19、20、21、22题6分，第23题8分，第24题9分，第25题10分，共68分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）按照分式乘法即可求解； （2）先进行通分，再化简即可； （3）先分解因式，再约分，最后通分化简即可； （4）先对括号里的进行通分，再把除法运算化为乘法运算，因式分解后约分即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 18. 先化简然后从中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，平方差公式，完全平方公式应用．根据题意先计算括号内的分式，再将括号外分式因式分解进行整理，最终相加即可得到本题化简结果，再将使分式有意义的值代入即可求得本题答案． 【详解】解： ； 根据分式有意义的条件，只能取， 将代入中，得：． 19. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，画出线段； （2）以D为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段，画出线段； （3）以为顶点，画一个四个顶点均为格点的四边形，使得该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1） 解：如图，线段即为所求． （2） 解：如图，线段即为所求． （3） 解：如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图、旋转作图、轴对称图形和中心对称图形的定义，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）由图可知，，取格点M，使，则四边形为菱形，结合轴对称图形和中心对称图形的性质可知，四边形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 在读书月活动中学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类）．下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了_______名同学； （2）条形统计图中______，______； （3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度． （4）学校计划购买课外读物10000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理? 【答案】（1）200； （2）40；60； （3）72 （4）1500 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用喜欢文学的人数÷喜欢文学的人数所占的百分比即可； （2）用样本容量×喜欢科普的百分比可求出n，用样本容量减去文学、科普、其它的人数可求出m； （3）用×艺术类读物所占的百分比即可求出艺术类读物所在扇形的圆心角； （4）用10000×其它类在样本中所占的百分比即可． 【小问1详解】 根据条形统计图和扇形统计图可得，喜欢文学类的人数为70人，占比为， 本次调查人数为（人） 【小问2详解】 根据扇形图，喜欢科普类的占比， 科普类的人数为（人）， 艺术类的人数为（人） 【小问3详解】 艺术类占比为， 艺术类读物所在扇形的圆心角为． 【小问4详解】 喜欢其他类的占比为， 若学校计划购买课外读物10000册，估计购买其他类读物（册）． 答：若学校计划购买课外读物10000册，估计购买其他类读物1500册比较合理． 21. 如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形， ， E，F分别是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ， 在中，， 是的中点， ． 22. （1）按要求作图．四边形是平行四边形，E为上一点，且，作的平分线．（仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹）． （2）请说明第（1）题中作图方法的正确性． 【答案】（1）如图， （2）证明： 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 又， ， ， 又 ， ， ， ， ， ． 是的平分线． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交于点，连接并延长交于点，连接，则是的平分线． （2）由四边形是平行四边形，得到，，，证明，得到，结合已知得到为等腰三角形，再根据，得到，即可证明是的平分线． 【详解】解：（1）连接交于点，连接并延长交于点，连接，则是的平分线． （2）略 23. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段的中点． （1）求直线的函数解析式． （2）如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标． （3）在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或 （3）存在，，，或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、以及平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，采用分类讨论的方法解决问题． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求得点A，B的坐标，由点M是线段的中点可得出点M的坐标，根据A、M的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设点P的坐标为，求出，根据，得到，求出，由此得到点P的坐标； （3）设点N的坐标为，分别以的三边为对角线，利用平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式即可得到关于m，n的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 解：当，， ， 当，即，解得， 点M为线段的中点， ． 设直线的函数解析式为，将，代入得， ， 解得 直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， ， ， ， 点P的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图所示，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形存在以下三种情况，设N的坐标为 ① 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， ， 解得， ② 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， 解得， ③ 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， 解得， 综上所述，在坐标平面内是存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N坐标为，，或． 24. [阅读材料]如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则． ∵对任意x上述等式均成立，∴且，∴． ∴， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． [方法运用] 求： （1）如果分式的值为整数，求x的整数值． （2）当时，求出的最小值． 【答案】（1）x的整数值为2，0，4，-2． （2）10 【解析】 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，整式的混合运算，利用新定义的变形方式是解答本题的关键． （1）将分式变形为，根据的值为整数，且x为整数，得到为3的约数，进而得到的值为1或-1或3或-3，由此可求出x的整数值； （2）利用题中的方法将进行变形后，得到，由于，故当时，取得最小值． 【小问1详解】 解：， 的值为整数，且x为整数， 为3的约数， 的值为1或-1或3或-3， x的整数值为2，0，4，-2． 【小问2详解】 解：由分母为，可设， 则， 对任意x上述等式均成立， ，， 解得：， ， ， 当，取得最小值10， 当时，的最小值是10． 25. 定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形； D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________ 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结． （1）试说明．四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． （2）若，则_________； （3）若的最小值是2，则的长度为_________； 【答案】概念理解：D； 性质探究：①，②； 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， 四边形各边中点分别为M、N、R、L， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ， 又 ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又 ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用：（2）2；（3）； 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线互相平分，相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且E、F、G、H分别是、、、的中点， ，，，，，， ，． 问题解决：（1）略； 拓展应用： （2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， 四边形是正方形， ， ， N，F分别是的中点， , , 若，则． （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 在和中 又 M，N分别是直角三角形斜边的中点， ， ， ， 由拓展应用（2）知：， 若的最小值是2，则， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期中调研数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. 如图所示图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式：、、、中，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列调查所采用的调查方式，不合适的是（ ） A. 了解黄河的水质，采用抽样调查 B. 了解全省中学生的睡眠时间，采用抽样调查 C. 检测天问一号火星探测器的零部件质量，采用抽样调查 D. 了解某班学生视力，采用全面调查 4. 用反证法证明，“在中，对边是a、b．若，则．”第一步应假设（　　） A. B. C. D. 5. 若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 6. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴上一动点，连接并延长至点D，使，取y轴上一点B，以为边作，连接，则长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 10. 要想了解七年级2000名学生的心理健康评估报告，从中抽取了250名学生的心理健康评估评估报告进行统计分析，则其样本容量是___________ 11. 已知，则分式的值等于__________． 12. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则任意摸一个球是绿球的概率为____________． 13. 如图，在菱形中，，则菱形的面积为___________． 14. 若a-=，则a2+值为_______________________. 15. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为___________． 16. 如图，在四边形中，，动点P从点A出发，以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当点P运动______秒时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 三、解答题（本大题共9小题，第17题12分，第18题5分，第19、20、21、22题6分，第23题8分，第24题9分，第25题10分，共68分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 先化简然后从中选一个合适的数代入求值． 19. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，画出线段； （2）以D为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段，画出线段； （3）以为顶点，画一个四个顶点均为格点的四边形，使得该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 20. 在读书月活动中学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类）．下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了_______名同学； （2）条形统计图中______，______； （3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度． （4）学校计划购买课外读物10000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理? 21. 如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 22. （1）按要求作图．四边形是平行四边形，E为上一点，且，作的平分线．（仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹）． （2）请说明第（1）题中作图方法的正确性． 23. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段的中点． （1）求直线的函数解析式． （2）如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标． （3）在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由． 24. [阅读材料]如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则． ∵对任意x上述等式均成立，∴且，∴． ∴， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． [方法运用] 求： （1）如果分式的值为整数，求x的整数值． （2）当时，求出的最小值． 25. 定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形； D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________ 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结． （1）试说明．四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． （2）若，则_________； （3）若的最小值是2，则的长度为_________； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $