命题与证明专项练习2026年中考数学考前冲刺

命题与证明专项练习-2026年中考数学考前冲刺 1．用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 2．已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 3．用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 4．说出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假． (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (2)有一条边和这条边上的中线对应相等的两个三角形全等． 5．我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这个定理的逆命题也是真命题．下面我们来证明这个逆命题： (1)写出逆命题： ； (2)画出图形，如图，请补全下面的已知和求证： 已知： 如图， 是的中线， ． 求证：为 三角形． (3)请写出你的证明过程． 6．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明． 已知： 求证： 证明： 7．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 8．如图，在中，点为边上一点，现有以下信息： ①；②；③． 从以上三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题． (1)请用形如“①②③”的形式写出所有的真命题； (2)选择（1）中的一个真命题进行证明． 9．如图，已知直线、，连接，，点、分别在、上，连接．现有以下选项：①；②；③． (1)请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题； (2)判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例． 10．某岛上共有10个人，其中有些是说真话的老实人，另一些是说假话的骗子．他们每个人都想好了一个实数，然后第一个人说“我的数大于1”，第二个人说“我的数大于2”，……，第十个人说“我的数大于10”，此后，这10个人按某种顺序重新排列，依次说“我的数小于1”，“我的数小于2”，……，“我的数小于10”，那么这些人中最多有多少个老实人？ 11．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 12．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 13．如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 14．（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 15．证明：全等三角形对应角的平分线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：____________； 结论是：____________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． 如图①所示，线段是的角平分线，请用尺规作图，作出图②中的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，______≌______，线段，分别是和的角平分线． 求证：____________． 证明：（要求：证明时写清每一步推理的依据．） 16．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 17．如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 18．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．” (1)写出这个命题的题设和结论； (2)画出符合这个命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)判断这个命题的真假，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数． 综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数． 2．（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②） （2）证明：选条件：①②，结论：③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 选条件：①③，结论：② ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 选条件：②③，结论：① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 3．（1）解：当时，，说明“如果，则”是假命题； （2）解：如图，，但与不是对顶角； 说明“相等的两个角一定是对顶角”是假命题； （3）解：如图，与是同旁内角，但与不互补． 说明“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”是假命题． 4．(1)原命题为真命题；逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；逆命题是真命题． (2)原命题是假命题；逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的一条边和这条边上的中线对应相等：逆命题是真命题． 【分析】本题考查了命题与定理的知识，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是能够正确的写出该命题的逆命题． （1）交换命题的题设和结论即可写出命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）交换命题的题设和结论即可写出命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】（1）解：原命题为真命题； 如图，在中，，点O是斜边的中点， 延长至点D，使，连接， ∵点O是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；逆命题是真命题． 在中，点O是边的中点，且， ∵点O是边的中点，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即为直角三角形； （2）有一条边和这条边上的中线对应相等的两个三角形全等． 解：原命题是假命题； 反例：如图，点O分别为的中点，且，此时不一定全等于． 逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的一条边和这条边上的中线对应相等：逆命题是真命题． 如图，，点O，P分别为的中点， ∵， ∴， ∵点O，P分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．(1)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 (2)；直角 (3)见解析 【分析】主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，写出一个命题的逆命题，根据命题得出逆命题是解本题的关键． （1）直接得出它的逆命题即可； （2）根据写出的逆命题写出已知、求证即可； （3）先判断出，，最后用三角形的内角和定理，即可求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”， ∴它的逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． （2）解：已知： 如图， 是的中线，； 求证：为直角三角形； （3）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 6．见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：若选择①③作为条件，②作为结论，则有： 已知：如图，在和中，，． 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴． 若选择①②作为条件，③作为结论，是一个假命题，无法证明； 若选择②③作为条件，①作为结论，则有： 已知：如图，在和中，，． 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴． 7．(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 8．(1)所有真命题为：①②⇒③；①③⇒② ；②③⇒①； (2)见详解． 【分析】本题考查等腰三角形边角关系、直角三角形性质，用 “选条件推结论” 的命题构造思想，技巧是识别条件与结论的逻辑关联，关键是判断条件组合能否推出结论，易错点是混淆条件与结论的对应关系． （1）明确边角关系，逐一组合推到结论即可； （2）①②⇒③；利用等边对等角和三角形内角和即可证明； ①③⇒② ；利用等边对等角和互余角即可证明； ②③⇒①；利用等边对等角和互余角即可证明． 【详解】（1）所有真命题为：①②⇒③；①③⇒② ；②③⇒①； （2）①②⇒③； 已知：，， 求证： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 又∵， 代入得：， ∴； ①③⇒②； 已知：，， 求证：； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②③⇒①； 已知：，， 求证：， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．(1)如果，，那么 (2)真命题，见解析 【分析】（1）根据命题书写格式，按照“如果…那么…”的形式写出即可； （2）利用平行线的判定定理证明即可． 本题考查了命题的书写格式，平行线的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，①；②为条件，③是结论， 故命题写作：如果，，那么． （2）证明：该命题为真命题，理由如下： ， ， ， ， ， ． 10．9个 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理与论证，假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾，则老实人最多有9人，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，那么只要满足第k个人报的数只要大于k且小于，就可推出第k个人没有说谎，据此可得答案． 【详解】解：假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾， ∴老实人最多有9人， 理由如下：在第一轮报数中，前面9个人都是老实人，最后一人为骗子，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，故第k个人报的数只要大于k且小于，那么他们就没有说谎，而最后一人说谎； 综上所述，这些人中最多有9个老实人 11．三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 12．甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672 【分析】根据所给的真假话条件以及楼层奇偶性条件，通过假设甲说真话来逐步推导每个人下电梯的顺序和对应的楼层，进而得出甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数． 本题考查了逻辑推理问题的应用，充分利用题干条件：4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯是解题的关键． 【详解】解：假设甲说真话并推导相关信息： 若甲说的是真话，那么甲是第二个下电梯的，且因为“4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯”，所以甲在奇数楼层，同时甲说“乙说的是假话”，即乙说的是假话； 因为乙说的是假话，而丙说“乙说的确实是假话”，所以丙说的是真话，那么丙是最后一个下电梯的，且丙在奇数楼层； 由于甲丙说的是真话，所以乙和丁说的是假话．因为乙说“我将是最先下电梯的”是假的，所以乙不是最先下电梯的，那么丁是最先下电梯的． 又因为乙和丁说假话，所以乙和丁都在偶数楼层下电梯，所以丁在2层或4层． 确定每个人可能所在的楼层范围： 因为甲是第二个下电梯且在奇数层，所以甲在3层或5层； 因为乙是第三个下电梯且在偶数层，所以乙在4层或6层； 因为丙是最后一个下电梯且在奇数层，所以丙在5层或7层． 根据假话内容进一步分析： 因为乙和丁始终说假话，所以乙说“没有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即有人和乙在相邻楼层下电梯； 丁说“有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即没有人和丁在相邻楼层下电梯． 分情况讨论丁所在楼层： 若丁在2层，为了满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯，此时甲可以在5层，乙在6层，丙在7层，这种情况是合理的； 若丁在4层，若甲在5层，此时乙无论在6层还是其他偶数层，都无法满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯的条件，所以这种情况无法成立． 综上，甲在5层，乙在6层，丙在7层，丁在2层． 即甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 13．(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（1）对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，真命题． （1）先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． （2）任意找出一对互逆的真命题即可． 【详解】解：（1）因为（已知）， 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）两个互逆的真命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 15．（1）三角形全等；对应角的平分线相等；（2）图见解析；（3），，证明见解析 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．根据证明全等三角形是解决问题的关键． （1）根据命题判断条件与结论即可； （2）利用基本作图作的平分线即可； （3）根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）这个命题的 条件是：三角形全等， 结论是：对应角的平分线相等； 故答案为：三角形全等；对应角的平分线相等； （2）如图所示： （3）已知：如图，，线段，分别是和的角平分线． 求证：， 故答案为：，； 证明：（已知）， （全等三角形的性质） 线段，分别是和的角平分线（已知）， （角平分线的定义） （等量代换）， ， （全等三角形的性质）． 16．(1)假命题；反例：0 (2)真命题 (3)假命题；反例： (4)真命题 【分析】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）绝对值等于本身的数不仅有正数，0的绝对值是0． （2）若两个角相等（设为），则它们的补角分别为和，显然相等． （3）当时， （4）奇数可表示为（为整数），两个奇数相加为，是2的倍数，故为偶数． 【详解】（1）解：假命题 反例：0的绝对值等于它本身，但0不是正数． （2）解：真命题 （3）假命题 反例：取，则． （4）解：真命题． 17．见解析 【分析】此题考查真命题，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】解：命题1、命题2、命题3都是真命题，具体证明如下： 命题1： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 命题2：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 命题3：连接， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 18．(1)题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：一对内错角的平分线互相平行 (2)见解析 (3)见解析 (4)这个命题是真命题，理由见解析 【分析】本题主要考查了命题、几何语言、平行线的判定与性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）直接确定题设和结论即可； （2）直接根据题意画图即可； （3）将该命题写出几何语言即可； （4）由两直线平行、内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，即，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：一对内错角的平分线互相平行． （2）解：如图即为所求． （3）解：已知分别平分和，则． （4）解：这个命题是真命题．理由如下： ， ， 又分别平分和， ， ， ， ∴这个命题是真命题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $