精品解析：湖北鄂州市未来高级中学、华容高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 记 的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，即可求解. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】所给等式两边平方后，利用二倍角的正弦公式得解. 【详解】因为， 所以， 化简得，所以. 5. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】因为，可得，解得， 又因为都是单位向量，可得， 所以向量在上的投影向量为. 6. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】是定义域为的奇函数，可得， ，令，得， 令，得， 又函数为上的奇函数，故. 7. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，因为，可得， 所以， 所以. 8. 台风中心位于地（视为质点）正西方向处，正向北偏东方向移动，速度的大小为，距离台风中心范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么地遭受台风影响的持续时间为（ ）（取） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用余弦定理求解. 【详解】如图，假设台风中心到达点时，. 设，易得. 由余弦定理，得，得或， 所以地遭受台风影响的持续时间为. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BC 【解析】 【详解】由， 则的虚部为，A选项错误； 而，B选项正确； 而，C选项正确； 而，在复平面内对应的点，位于第二象限，D选项错误. 10. 如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 函数有2个零点 C. 函数有2个零点 D. 若，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由的图象与直线，函数的图象和函数的图象的交点个数可判断ABC；结合的图象解不等式可判断D. 【详解】对于A，的图象与直线有2个公共点，所以函数有2个零点，A正确. 对于B，的图象与函数的图象有2个公共点， 所以函数有2个零点，B正确. 对于C，如下图，的图象与函数的图象有1个公共点， 所以函数仅有1个零点，C错误. 对于D，函数，且的图象经过定点， 当时，，不合题意； 当时，是增函数， 所以，得，所以的取值范围为，D正确. 11. 已知的内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径为 C. 的最大值为4 D. 若的外心为，则的最大值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由和差角公式及二倍角公式求出，即可判断A；利用正弦定理判断B；利用余弦定理及基本不等式判断C；由外心的性质及数量积的定义得到，再由基本不等式判断D. 【详解】对于A：因为，由正弦定理得， 又 ， 所以. 因为，所以， 所以，又， 即. 又，所以，所以，所以， 由，得，所以，故A错误； 对于B：设外接圆的半径为， 由，解得，故B正确. 对于C：由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为的外心为， 所以. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以， 所以的最大值为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知三点共线，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由点，可得， 因为三点共线，所以，可得，解得. 13. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】因为， 则. 14. 已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则__________.若点分别在曲线上，关于轴上的点对称，且，则点的横坐标为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】 由，得，结合的图象写出坐标. 由，得.因为，所以. 如图，设关于的对称点为，则.因为关于轴上的点对称， 所以，所以关于直线对称，得，即. 又，解得，所以点的横坐标为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知指数函数的图象､对数函数的图象分别经过点. （1）求的解析式； （2）若函数，求不等式的解集. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】(1)根据指数和对数函数的解析式，分别代入点计算可得结果； (2)根据指数和对数函数单调性可得在定义域上单调递增，不等式等价于，结合单调性即可求解. 【小问1详解】 设，且，且.由，得. 由，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 可得在定义域上单调递增. 因为， 所以由，得，得. 故不等式的解集为. 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的单调递增区间； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）由，得到，结合在的值域为，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，可得，解得， 所以，令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，可得. 又因为在上的值域为，且， 所以，解得，即的取值范围为. 17. （1）若是关于的方程的一个根，求； （2）若对任意，关于的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程的另一个根为，结合韦达定理，即可求解； （2）设该方程的纯虚数根为，且，代入方程，列出方程组，即可求解. 【详解】解：（1）由题意知，是关于的方程的一个根，可得方程的另一个根为， 由韦达定理得，解得. （2）设该方程的纯虚数根为，且， 可得，整理得， 所以，因为该方程对任意都成立，所以，解得， 经验证：适合方程，所以该方程的纯虚数根为. 18. 如图，在梯形中， ，分别是边上不与端点重合的点，且. （1）用表示； （2）若与交于点，求； （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合向量的运算法则，即可求解； （2）设，求得，结合三点共线，得出方程，求得的值，即可求解； （3）设，求得，结合向量运算法则，即可求解. 【小问1详解】 在梯形中，因为且， 可得， 根据向量的运算法则，可得. 【小问2详解】 由，可得， 设，则， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 【小问3详解】 设，则， 可得，由可得； 则 ， 当时，取得最小值，且最小值为. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正切公式可得； （2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可. （ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为，计算即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得 则.由，得， 所以，则. 因为，所以. 【小问2详解】 （i）在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得， 因为，所以. 故. （ii）由余弦定理，得 结合，得. 如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为. ， 则. 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 记 的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 台风中心位于地（视为质点）正西方向处，正向北偏东方向移动，速度的大小为，距离台风中心范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么地遭受台风影响的持续时间为（ ）（取） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 函数有2个零点 C. 函数有2个零点 D. 若，且，则的取值范围为 11. 已知的内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径为 C. 的最大值为4 D. 若的外心为，则的最大值为4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知三点共线，则__________. 13. 若，则__________. 14. 已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则__________.若点分别在曲线上，关于轴上的点对称，且，则点的横坐标为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知指数函数的图象､对数函数的图象分别经过点. （1）求的解析式； （2）若函数，求不等式的解集. 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的单调递增区间； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围. 17. （1）若是关于的方程的一个根，求； （2）若对任意，关于的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根. 18. 如图，在梯形中， ，分别是边上不与端点重合的点，且. （1）用表示； （2）若与交于点，求； （3）若，求的最小值. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $