导数的综合应用考前大题训练-2026届高三数学三轮冲刺

2026高考必刷大题6　导数的综合应用 　　 1.已知函数f（x）＝x3＋x2－x＋. （1）当m＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）在（，1）上存在单调递减区间，求实数m的取值范围； （3）若f（x）在区间（m，＋∞）上存在极小值，求实数m的取值范围. 解：（1）f（x）＝x3＋x2－x＋，f'（x）＝x2＋mx－1， 因为m＝1，所以f（x）＝x3＋x2－x＋，f'（x）＝x2＋x－1， 所以f（1）＝＋－1＋＝0，f'（1）＝1＋1－1＝1， 所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x－1. （2）函数f（x）在（，1）上存在单调递减区间，则有f'（x）＜0在区间（，1）上有解， 即m＜－x在区间（，1）上有解， 此时令g（x）＝－x， 显然g（x）在区间（，1）上单调递减，所以g（x）＜g（）＝，故有m＜， 所以实数m的取值范围是（－∞，）. （3）函数在区间（m，＋∞）上存在极小值，则函数f（x）的极小值点应落在（m，＋∞）内， 令f'（x）＝x2＋mx－1＝0，得x1＝，x2＝， 所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减； 所以x＝x2是函数f（x）的极小值点， 即得＞m⇔＞3m， 当m≤0时，不等式恒成立； 当m＞0时，m2＋4＞9m2，解得0＜m＜， 所以实数m的取值范围是（－∞，）. 2.已知函数f（x）＝－ln x－k，k∈R. （1）讨论函数f（x）在区间（1，e）内的单调性； （2）若函数f（x）在区间（1，e）内无零点，求k的取值范围. 解：（1）∵f（x）＝－ln x－k，k∈R，x∈（1，e）， ∴f'（x）＝－－＝－， ①当－k≤1，即k≥－1时，x＋k≥x－1＞0， ∴f'（x）＜0，∴f（x）在（1，e）上单调递减； ②当－k≥e，即k≤－e时，x＋k≤x－e＜0， ∴f'（x）＞0，∴f（x）在（1，e）上单调递增； ③当1＜－k＜e，即－e＜k＜－1时，当1＜x＜－k时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当－k＜x＜e时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 综上所述，①当k≥－1时，f（x）在（1，e）上单调递减； ②当k≤－e时，f（x）在（1，e）上单调递增； ③当－e＜k＜－1时，f（x）在（1，－k）上单调递增，在（－k，e）上单调递减. （2）由（1）知：当k≥－1时，f（x）＜f（1）＝0， 即f（x）＜0，∴f（x）在（1，e）内无零点， 当k≤－e时，f（x）＞f（1）＝0， 即f（x）＞0，∴f（x）在（1，e）内无零点， 当－e＜k＜－1时，f（x）在（1，－k）上单调递增，在（－k，e）上单调递减， ∴f（x）＞f（1）＝0，x∈（1，－k），f（x）＞f（e）＝－1－k，x∈（－k，e）， ∴只需f（e）＝－1－k≥0即可， 即（1－）k≤－1，∴k≤＝， ∴－e＜k≤， 综上所述，k∈（－∞，］∪[－1，＋∞）. 3.已知函数f（x）＝ex－m＋ln . （1）设x＝1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性； （2）当m≤2时，证明：f（x）＞ln 3. 解：（1）∵f（x）＝ex－m＋ln ，∴x＞0，f'（x）＝ex－m－，∵x＝1是函数f（x）的极值点， ∴f'（1）＝e1－m－1＝0，解得m＝1，∴f'（x）＝ex－1－， 设g（x）＝ex－1－，则g'（x）＝ex－1＋＞0，∴x＝1是f'（x）＝0的唯一零点， ∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增. （2）证明：当m≤2，x∈（0，＋∞）时，ex－m≥ex－2， 设φ（x）＝ex－x－1，则φ'（x）＝ex－1， ∴当x∈（0，＋∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增， ∴φ（x）＝ex－x－1＞φ（0）＝0，即ex＞x＋1， ∴ex－m≥ex－2＞x－1， 取函数h（x）＝x－1＋ln （x＞0），则h'（x）＝1－， 当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增， ∴函数h（x）在x＝1处取得唯一的极小值，即最小值为h（1）＝ln 3， ∴f（x）＝ex－m＋ln ≥ex－2＋ln ＞x－1＋ln ≥ln 3，故f（x）＞ln 3. 4. 已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：. 解：（1）函数，，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递增，， 当，时，，则在上单调递增，，符合题意； 当，时，，时， 则，使，当时，，在上单调递减， 当时，，不符合题意，所以的取值范围. （3）由，得，，且， 则，解得， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 只需证明，令且，则， 函数在上单调递增，，即， 所以. 5. 已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若， （ⅰ）求； （ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由. 解：（1）当时，， ， 则为增函数，又， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）（ⅰ）即， 当时，若，则，，且，不等式不成立 ， 当时，令，， 令，则，在上是增函数，， ，，， ，又且， 则在上有且仅有一个零点 当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， 则函数在处取得最小值，， 又， 则此时必有，所以，解得； （ⅱ）由（ⅰ）知，，假设存在关于原点对称的点， 设点为函数图象上的点，则关于原点对称的点为， ， 设函数 ，为偶函数 当时，， ， ，则，所以函数为增函数，， ， 即方程在上有唯一解， 综上可知函数图象上存在唯一一对关于原点对称的点. 6. 已知， （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求的最小值； （3）已知当时，存在，使得函数有三个零点，且成等差数列，求的值. 分析：（1）求导，分、讨论函数单调性即可； （2）根据题意得在上恒成立，令，利用导数求出函数最大值的范围，结合即可求解； （3）根据题意，分析的情况，结合，进而可得，且，再代入求解即可． 解：（1），，， 当时，，在上单调递增； 当时，，解得， 则时，，单调递减， 时，，单调递增； 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2），， 又恒成立，所以在上恒成立， 令，， 令，， 则的解为， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 又，所以，且， 存在唯一，使得，即， ， 当时，，，单调递增， 时，，，单调递减， 又， ，且 又在上单调递增，时，， ，又， 的最小值为； （3），，且， 当时，，则， 令，， 令 ，， 当时， ，单调递增， 时， ，单调递增，时， ，单调递减， 又 ， ， ， 时， ，，单调递增； 当时， 有唯一解，设为， 则当时， ，，单调递增； 当时， ，，单调递减， 又时，，时，， 则的简要图形如下： 则时，最多有两个不同的交点，且恒大于零， 函数有三个零点，且成等差数列， ，且， ， 整理得，解得或（舍去）， ， ． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考必刷大题6　导数的综合应用 　　 1.已知函数f（x）＝x3＋x2－x＋. （1）当m＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）在（，1）上存在单调递减区间，求实数m的取值范围； （3）若f（x）在区间（m，＋∞）上存在极小值，求实数m的取值范围. 2.已知函数f（x）＝－ln x－k，k∈R. （1）讨论函数f（x）在区间（1，e）内的单调性； （2）若函数f（x）在区间（1，e）内无零点，求k的取值范围. 3.已知函数f（x）＝ex－m＋ln . （1）设x＝1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性； （2）当m≤2时，证明：f（x）＞ln 3. 4. 已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：. 5. 已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若， （ⅰ）求； （ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由. 6. 已知， （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求的最小值； （3）已知当时，存在，使得函数有三个零点，且成等差数列，求的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $