三角函数与解三角形综合问题 考前大题训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形综合应用，通过分层题型训练逻辑推理与运算能力，强化知识间转化与实际问题解决，体现数学思维与语言表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数性质综合|2题|含恒等变换求单调区间、周期、值域及给值求值|由三角公式化简函数→依托图像性质分析→应用于具体求值| |解三角形与几何综合|4题|涉及边角关系、面积计算、最值及动态几何问题|以正余弦定理为核心→结合几何条件（如线段比例）→构建方程或函数求解决策|

2026高考考前必刷大题1　三角函数与解三角形综合问题 1.已知函数f（x）＝cos2x＋sin（π－x）cos（π＋x）－. （1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间； （2）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积. 解：（1）f（x）＝cos2x－sin xcos x－＝－sin 2x－＝－sin， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 又∵x∈[0，π]，∴函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为和. （2）由（1）知f（x）＝－sin， ∴f（A）＝－sin＝－1， ∵△ABC为锐角三角形，∴0＜A＜， ∴－＜2A－＜，∴2A－＝，即A＝. 又∵bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4， ∴S△ABC＝bcsin A＝. 2.已知函数f（x）＝cos（2x－）－2sin2x＋1. （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）当x∈（0，）时，求f（x）的值域； （3）若x∈（0，）且f（x）＝，求f（x－）的值. 解：（1）f（x）＝cos（2x－）－2sin2x＋1 ＝sin 2x－（2sin2x－1）＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin（2x＋）， ∴最小正周期T＝＝π. （2）当x∈（0，）时，2x＋∈（，）， ∴2sin ＜2sin（2x＋）≤2sin ， 即－1＜2sin（2x＋）≤2， ∴f（x）的值域为（－1，2]. （3）∵f（x）＝2sin（2x＋）＝， ∴sin（2x＋）＝. ∵x∈（0，），∴＜2x＋＜， ∴cos（2x＋）＝＝. ∴f（x－）＝2sin 2x＝2sin［（2x＋）－］＝2［sin（2x＋）cos －cos（2x＋）sin ］ ＝2×（×－×）＝. 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足（c－2a）cos B＋bcos C＝0. （1）求角B的值； （2）已知D在边AC上，且AD＝3DC，BD＝3，求△ABC面积的最大值. 解：（1）根据（c－2a）cos B＋bcos C＝0，由正弦定理可得（sin C－2sin A）cos B＋sin Bcos C＝0， sin Ccos B＋sin Bcos C－2sin Acos B＝0， 又sin（B＋C）＝sin A， 即sin A－2sin Acos B＝0， 又0＜A＜π，所以sin A＞0，所以cos B＝， 又0＜B＜π，所以B＝. （2）由AD＝3DC可得，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋， 所以＝（＋）2＝＋·＋， 由B＝可得：9＝c2＋ac＋a2≥2＋ac＝ac ， 所以ac≤16，当且仅当c＝3a时取等号， 所以S△ABC＝acsin B≤×16×＝4， 所以△ABC面积的最大值为4. 4.如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记． (1)当时，求OP的长； (2)当面积最大时，求． 解：（1）由题意，在中，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴在以为直径的圆上，取的中点，连接， ∴，，在中，，， 由正弦定理，，解得： （2）由题意及（1）知，，，在中，，， 由余弦定理，，即， 即， ∴，当且仅当时，等号成立，又， ∴当且仅当时，的面积最大，此时， ∴． 5在中，点是边上一点，且， (1)若，，且，求的值； (2)若，且，求面积的最小值； (3)若，，且的面积为12，求的值. 【分析】（1）借助三角函数基本关系可得，再利用余弦定理可得，最后借助正弦定理计算即可得解； （2）设，，借助等面积法计算可得，再利用基本不等式即可得，最后利用面积公式计算即可得解； （3）设，，则可用表示出其余量，借助正弦定理计算可得，结合题目所给条件可得，即可解出、，最后利用面积公式与余弦定理计算即可得解. 【解】（1）由题意知，所以， 又， 故，由正弦定理，得， 所以， 所以； （2）设，，因为， 所以， 即， 所以，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为； （3）设，， 则，，， 在中，由正弦定理，得， 所以， 在中，，即， 所以，所以， 所以，所以， 又，，解得，， 所以，， 所以， 又，，所以， 所以，解得，所以， 在中，由余弦定理， 得， 解得或，又，所以. 6.已知函数 (1)若求的值； (2)试求的取值范围，猜想当时的取值范围不需写出证明过程； (3)存在使得关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围. 【解】（1）由，得， 又，得， . （2）， ， ， 所以当时，. （3）存在，使得关于的不等式对任意的恒成立， ， 恒成立， 令，则， 则在上恒成立， 即，其中， ，得.所以的取值范围为. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考考前必刷大题1　三角函数与解三角形综合问题 1.已知函数f（x）＝cos2x＋sin（π－x）cos（π＋x）－. （1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间； （2）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积. 2.已知函数f（x）＝cos（2x－）－2sin2x＋1. （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）当x∈（0，）时，求f（x）的值域； （3）若x∈（0，）且f（x）＝，求f（x－）的值. 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足（c－2a）cos B＋bcos C＝0. （1）求角B的值； （2）已知D在边AC上，且AD＝3DC，BD＝3，求△ABC面积的最大值. 4.如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记． (1)当时，求OP的长； (2)当面积最大时，求． 5在中，点是边上一点，且， (1)若，，且，求的值； (2)若，且，求面积的最小值； (3)若，，且的面积为12，求的值. 6.已知函数 (1)若求的值； (2)试求的取值范围，猜想当时的取值范围不需写出证明过程； (3)存在使得关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $