专题训练38 导数中函数构造的问题-2026届高三数学三轮冲刺

专题38　导数中函数构造的问题 题型01 导数型构造函数 1．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，即 令，； 则，在上单调递减； ，； ，，，得，即； 在上单调递减，且，，解得； 不等式的解集为. 2．已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据已知条件，可判断，所以在上单调递增.据此可判断，进而得出，，选出正确答案. 【详解】因为，所以. 由，得， 所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，即 即. 所以. 因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确. 故选：D. 3．已知定义在上的可导函数的导函数为，若， 则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据已知不等式利用导数法得在上单调递增，不等式化为，根据函数单调性求出不等式的解集. 【详解】令，则， 因为在上，恒成立，则， 可知在上单调递增，不等式即， 又，则， 所以，由在上单调递增， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 4．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由题设条件可得其单调性，从而可求函数不等式的解. 【详解】构造函数，则， ∴函数在上单调递减， ∵，∴， 由得，即， ∵函数在上单调递减，∴， 故选：D. 5．已知定义在上的函数满足，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造辅助函数，用导数构造函数判断单调性，比较大小. 【详解】观察已知条件，构造，定义域为， ， 由题知，即，因此在上单调递增， 由单调性得，则， 化简得. 6．已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将题设条件转化为，从而得到，进而得到，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案. 【详解】由变形得， 从而有，， 所以， 因为，所以，则， 则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，， 又，而， 所以， 综上，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用，由到得，是解决本题的关键. 7．（多选）已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】BC 【分析】构造，则根据有单调递增，再利用单调递增得到相应的不等式以判断各个选项即可. 【详解】设，则定义在上，且，所以单调递增. 由单调递增知，从而，A错误； 由单调递增知，从而，B正确； 由单调递增知，从而，C正确； 由单调递增知当时，则， 有，从而，即，D错误. 故选：BC. 8．已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定不成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数研究单调性，利用单调性逐个选项比较大小即可. 【详解】令，则， 由，即， 所以当时，，即在上单调递增， 对于A，由，则，所以，即，故A正确； 对于B，由，则，所以，即，故B正确； 对于C，由，则，所以，即，故C正确； 对于D，由，则，所以，即，故D错误. 故选：D. 题型02 构造函数比较大小 9．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 10．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察式子的共同特征，构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小，然后结合对数运算，利用作差法比较可得. 11．比较两数的大小：____（在下列符号中，选择最恰当的填入：、、、、. 【答案】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合对数函数与的单调性可得出与的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 所以函数在上为减函数，所以， 即，即，即， 所以. 故答案为：. 12．设则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数利用导数研究其单调性判定大小即可. 【详解】令， 则， 易知，显然和时，，即在和上单调递减，时，，即在上单调递增， 易知，且， 所以， 又，，所以. 故选：D 13．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断出单调性，再利用单调性可得答案. 【详解】令，则，令，得； 令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 得，即，所以， 所以，即. 故选：D. 14．下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，B选项，对与两边同时取自然对数化简即可判断；对于C、D选项，构造，将问题转化为比较的大小，利用导数研究的单调性即可求解. 【详解】选项 A、B：比较与 对两边同时取自然对数： 两者的对数相等，因此，A、B 均错误， 选项 C、D：比较与 令，则， ， 当时，，所以在上单调递减，且， 所以，即， 所以，故D正确. 15．已知.则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，分别构造和， 利用其单调性，比较的大小关系，进而得到的大小关系. 【详解】因为， 所以， ， 令， ，令， 则，所以在单调递减， 所以，所以在恒成立， 所以在单调递减，所以， 所以，即，所以. ， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以在恒成立，所以在单调递减 所以，所以，即， 所以，即. 综上，. 故选：B. 16．（多选）已知，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意，构造函数，，利用函数的单调性判断大小. 【详解】令， 则在上单调递减，所以， 则在上单调递增，所以， 即，即，即． 令， ， 所以在上单调递减，所以， 得在上单调递减， 则，即． 故选：BCD． 题型03 指对同构问题 17．已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等式可化为，考虑构造函数，研究其单调性，结合函数单调性化简方程，可得结论. 【详解】因为是方程的实根，所以， 所以，，所以， 又可化为，设，，则原方程可化为， 又函数，在都为增函数，且其函数值都大于0，,所以函数在上单调递增， 所以，所以， 故选：B. 【点睛】问题解决的关键在于根据方程的结构构造函数，利用函数的性质化简方程研究其解. 18．已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由可得出，可得出，构造新函数，，得到在上为单调递增函数，结合，可判定C正确，D不正确；再令，，结合零点的存在定理，得到A、B不正确. 【详解】设，其中， 对任意的恒成立， 则函数在上为单调递增函数， 因为是方程的实根， 由可得， 由可得，故，从而得出， 构造新函数，，可得， 所以在上为单调递增函数， 可得，， 因为实数是方程的实根，则，即， 其中，所以，即，所以C正确，D不正确. 令，，可得，在上为单调递增函数， 因为，，即， 所以， 又由，且，所以，所以A、B都不正确. 故选：C. 19．关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围. 【详解】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为. 故选：D. 20．已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简方程，利用换元法、构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，则， 令，显然在上单调递减， 故有两个不同的正根， 令，则，故当时，， 当时，， 故， 又时，时，， 故，解得. 故选：C 【点睛】方法点睛：换元法与构造函数法：通过换元将原方程转换为新的变量形式，再构造适当的函数进行分析，结合导数来判断函数的单调性和取值范围.换元法和构造函数法是处理复杂方程和不等式问题的有效方法. 21．（多选）已知函数，若对恒成立，则实数a的取值可能为（   ） A．e B．e-1 C． D． 【答案】ABD 【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算，再结合选项的大小判断即可. 【详解】易知，故由 可得， 即，两边同时加，则有. 设，则，所以在上单调递增. 因为，， ， 故. 又因为在上单调递增，故恒成立，即恒成立，即. 设，则. 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 故，则有，解得， 因为均在区间内，不在区间内，故ABD正确，C错误. 故选：ABD. 22．（多选）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】ACD 【分析】由题知不等式恒成立，过点作曲线的切线，求出两条切线斜率即可得解. 【详解】 由题知，不等式恒成立，设，， 即直线恒在函数图象的上方，直线恒过点，，当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当时，，，当时，， 在同一坐标系中作出函数与直线的图象， 设直线与函数的图象相切时切点为，，解得或； ∴当直线与函数的图象相切时切线斜率为2或，由图知，， 故选：ACD． 23．（多选）若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 【答案】AB 【分析】根据对数运算性质将不等式变形为，根据的单调性，进一步将问题转化为在恒成立，即可求解. 【详解】由可得， 进而得， 记，,由于函数为上的单调递增函数， 由可得， 因此，即在恒成立。 因此，故AB均符合，CD不符合， 故选：AB 强化训练 1．已知，，，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，，，构造函数，利用导数判断函数的单调性，借助函数单调性比较的大小，由此确定的大小，再推出的大小. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 同理，. 令，则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，函数在上单调递增， 所以， 又， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，， 所以. 2．设偶函数的导函数为，；当时，，则使得成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设不等式的形式特征构造函数，利用导数的性质，结合函数的奇偶性和单调性进行求解即可. 【详解】令，则， 当时，，故，所以在上为减函数， 因是偶函数，则，故， 则函数为定义域上的奇函数，故在上为减函数. 又∵，∴， ∴不等式， 则得，或，， ∴或， 所以成立的x的取值范围是. 3．已知函数为定义在上的函数，满足，则下列正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再逐项分析判断. 【详解】令函数，求导得，因此函数在上单调递增， 则，即，因此，AC错误，D正确； ，而与的大小不确定，B错误. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出、、，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，其中，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因为， ，， 因为，所以，即，所以， 故选：B. 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察的形式构造函数，判断函数的单调性来比较大小. 【详解】，，. 构造函数，则,当时，,函数递增;当时，,函数递减; 因为 ,所以 故选：B 6．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】构造函数，求导后可得在单调递增，则可得，构造函数，求导后可得在单调递减，则可得，从而可得结论. 【详解】令，则， 当时，，所以在单调递增， 所以，则， 所以，所以， 令，则， 所以在单调递减， 所以，则，即，所以， 所以 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：此题考查对数式，指数式比较大小，考查导数的应用，解题的关键是合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，然后利用函数的单调性比较大小，属于较难题. 7．（多选）已知，则（   ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用导数研究函数的单调性，根据单调性比较大小即可． 【详解】，故，故A错误； 比较b，c的大小关系，令，可知， 故当时，，当时，，故， 则，当且仅当时等号成立， ，故B正确； 比较a，c的大小关系， 设，则， 故当单调递增，当单调递减， 因此， 因此，当且仅当时取等号， 故，即，故C正确； 因为已证，，，所以，故，故D正确． 故选：BCD． 8．（多选）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由构造函数，判断的单调性，结合选项和函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，故是增函数. 由得，， 即，故A正确； 由得，， 即，故B正确； 由得，， 即，故C错误； 由得，， 即，即，故D正确. 故选：ABD． 9．（多选）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出函数关于轴对称的函数为，转化为方程在时有解，构造函数，利用函数的单调性和零点存在性定理，确定的取值范围. 【详解】由题意等价于当时，与的图象有交点， 又，则，即， 即方程在时有解， 令，显然在上单调递增， 当时，趋于时，，则只需，即； 当时，趋于时，趋于时，，即在上有解， 综上，实数的取值范围为.根据选项可得答案为A､B､C. 故选：ABC. 10．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 【答案】或 【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或 11．设，分别是定义域为的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】构造函数，由已知条件判断导数的符号从而判断的单调性，结合函数奇偶性及零点即可得解. 【详解】设，， 因为是定义域为的奇函数， 所以， 即当时，，单调递增， 由已知得为奇函数，且在，上均为增函数， 因为，所以的解集为. 故答案为： 12．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是________． 【答案】 【分析】构造函数，判断出函数的奇偶性，由导数得出的单调性，根据，求出的取值规律，可得答案. 【详解】、分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以、， 令，则， 因此函数在上是奇函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递增，且， ， 因为，， 所以时，，时，， 时，，时，， 不等式的解集是. 故答案为：. 13．已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形为有两个实根，变形得到，设，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导,即可求解最值得出的取值范围． 【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：由指对数运算等价变换为，即可由的单调性得. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $专题38导数中函数构造的问题 题型01导数型构造函数 1.已知定义在(0+∞)上的函数f(x),f'(x是f(x)的导函数，满足xf'(x)-f(x)<0.且∫(2)=2，则不等式 f(2)-2”>0的解集是() A.-0,3 B.-0,2 C.(-o0,1) D.（-0,0 2.已知函数了是函数f到的导函数，对任意x∈（0引，f)+)m>0,则下列结论正确的是〈) A财 B. c. D.rkf到 3.已知定义在(0，+0)上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),若2f(x)-xf'(x<0,则不等式 x2f(x+1)-fx2+x<0的解集为() A.(0,1 B.（-1,1 C.-0,1 D.(1,+0 4.已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的xeR,都有f(x)>'(x)+1且f(0)=2,则不等式 f(x-e<1的解集为() A.-0,0 B.(-co,e) C.(e,+oo) D.(0,+0】 5.已知定义在(0，+o)上的函数f(x)满足xf'(x)+f(x)>0,则必有() A.f(10)>2f(20)B.f10)<2f(20) C.2f(10)>f(20)D.2f(10)<f(20) 6.已知定义在(0，+∞)上且无零点的函数f(x满足xf'(x=(1-xf(x,且f1)>0,则() A. ff<2 B.f2f0<f C. 份2<f D.2< 7.(多选)已知函数f(x的定义域是R,∫'(x)是f(x)的导函数，若对任意的xeR,都有xf'(x+f(x>xf(x, 则下列结论正确的是() A.f1<0 B.ef1<2f(2 C.f(In2)<f (2In2) D.当x<0时，efx)-2f(2x)>0 8。已知f八倒是函数f(的导函数，且vxe0}八列c0sr>f(sm-小.则下列不等式一定不成立的是(). 1/4 A.9}(m号 B.f>5[eos c. D.5 题型02构造函数比较大小 9已知-h,6-日c-,则.e的大小顺片为（) 6 A.a<c<bB.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 10.已知a=nV2,b=ln3e1 6,c= ,则a,bc的大小为() 2e A.bx cxa B.axbxc C.bxaxc D.c>b>a 11.比较两数的大小：2025620262025（在下列符号中，选择最恰当的填入：>、=、<、≥、≤ 2.设a=2eb4n则 21n2 A.c<d<a<b B.d<b<a<c C.d<b<c<a D.d<c<b<a 13.设a= 202 202 ,b=em,c=2026 则() 2025 A.a>c>b B.b>a>c C.c>axb D.a>b>c 14.下列判断正确的是() A.2n3>3n2 B.2n3<3n2 C.1og2s2026>2026 2025 D.10g0s2026<2026 2025 15.己知a=20232023,b=20222024,c=2024222.则a,b,c的大小关系为（) A.b>c>a B.b>axc C.axbxc D.axcxb 6(多选)已知m+>0,设a=19b=4,c=2.1”d=2,则) A.a>b B.c>b C.c>a D.dxc 题型03指对同构问题 17.已知x是方程e=n上的实根，则关于实数，的判断正确的是() xx A.xo>In2 B.xo+Inxo =0 C.Xo< D.e+lnx。=0 e 18.已知x,是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则关于实数x,的判断正确的是() 2/4 A.xo>In2 B. C.2xo+In xo=0 D.2e+In xo=0 e a 19.关于x的方程xe+lnx=1-a有两个不同的解，则实数a的取值范围为() 1 A.0≤a< B.asl e C.0<a e D.0<a<- e 20.已知a>1,若关于x的方程(a-1lna+xnx=0有两个不同的正根，则a的取值范围为() A.(1,e) B.(e,+o) e,+o∞ 21.（多选)已知函数f(x)=e1-alnx,若f(x)≥a(na-I)对x>0恒成立，则实数a的取值可能为() A.e B.e-1 C.e2+1 D.e2 22.（多选)已知不等式k(2x-1e-2x+2≥0恒成立，则实数k的可能取值为() 1 A.2 B.0 C.1 D. 3 2e2 23.(多选)若不等式xe+x+lnx>lnax+ax恒成立，则实数a的取值可能是() A. B.I C.2 D.e e 强化训练 1.已知(2sinl)°=a2, 3) sn3b,2sin2c2,且a>e,b>e,c>e,则 A.b<c<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<b<a 2.设偶函数f(x)x≠0)的导函数为'(x),f=0;当x<0时，xf'(x)-∫(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的 取值范围是() A.（-0,-1U(0,1 B.-1,0)U1,+o0） c.(-1,0u(0,1 D.(-o,-1)U(1,+o) 3.已知函数f(x)为定义在R上的函数，满足x·'(x)+∫(x>0,则下列正确的为() A.f(-3)<-3f(1 B.f(-3)>3f1 3/4 C.f-3)< -3 D.f-3)> -3 4已a=n2l.b-he,c=后则() A.axb>c B.axc>b C.cxbxa D.b>a>c 1, 5,已知an2,bn 1 ,则a,b,c的大小关系为() A.axb>c B.a>c>b C.cxaxb D.b>c>a 6(多滤)已知a=e-h号c高则《) A.a>b B.a>c C.cxb D.bxc 7.(多选)己知a=ln 3) 2b8d则CD (参考数据：e≈1,445) A.a<d B.bxc C.c>a D.b>d 8.（多选)定义在(0，+0)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0,则下列结论正确的是() A.f(2)-In2>f(1) B.f(4)-f(2)>ln2 C.f(2)+ln2>f(e)+1 D.f(e2)-fe)>1 9.(多选)已知函数f到-血+4e-1x<0)与g=n(x+m-血产的图象上行在关于y辅对称的点，则实数 m的取值可能为() A.e2 B.-e2 C.-e4 D.e 10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f'(x),且当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0,则不等式 (x-2024)2f(x-2024)-f(-1)<0的解集为 11.设f(x,gx)分别是定义域为R的奇函数和偶函数，当x>0时f'(x)g(x)-f(-x)g'(x)>0,且g-3)=0, 则不等式∫x)gx)>0的解集为 12.设y=fx)、y=g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且 g(3)=0,则不等f(x)g(x)<0的解集是 l3.己知函数f(x=lnx+1-x+1,函数gx)=ae-x+lna,若函数F(x=f(x)-g(x)有两个零点，则实数a的 取值范围为() A.(0,e B.(0,2 C.(0,1 D. 0 e 4/4