概率与统计考前大题训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦概率统计核心题型，覆盖独立事件、正态分布、回归分析等知识点，以现实情境为载体，构建从基础计算到综合应用的逻辑链条，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率计算|1-2题|独立事件概率、至多至少问题|从单一事件到多轮独立事件，强化分步乘法与分类加法原理| |统计分析|3-4题|频率分布直方图、分层抽样、线性回归|从数据收集到图表分析，再到回归预测，形成统计推断逻辑链| |综合应用|5-6题|独立性检验、分布列与期望、跨知识结合|融合概率与统计，关联数列等知识，培养复杂情境下的模型构建能力|

2026高考必刷大题4　概率与统计 1.错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. (1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； (2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 解：（1）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，， 已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为. 情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为. 情况三：甲做对1题，乙做对1题 甲做对1题的概率为 乙做对1题的概率为 所以甲做对0题，乙做对2题的概率为. 因为这三种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对2题. （2）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，. 已知，，，，且各事件相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对1题 甲做对2题的概率为 乙做对1题的概率为 所以甲做对2题，乙做对1题的概率为. 情况二：甲做对1题，乙做对2题 甲做对1题的概率为 乙做对2题的概率为 所以甲做对1题，乙做对2题的概率为. 由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为. 2.目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节. (1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率; (2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据:若,则,,,,. 解：（1）记“至少有一人进入面试”为事件,由已知得:, 所以,则, 即这人中至少有一人进入面试的概率为. （2）的可能取值为, , , , , 则随机变量的分布列为： ,. 3.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的平均数； （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望； （3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s2＝42.25.所有参加知识竞赛的2 000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？ 参考数据：P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 4. 解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数＝（45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01）×10＝70.5. （2）参加座谈的11人中，得分在[90，100]的有11×＝2人， 所以ξ的可能取值为0，1，2， 所以P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝. （3）由（1）知，X～N（70.5，6.52）， 所以P（X＞77）＝P（X＞μ＋σ）≈＝0.158 65. 所以得分高于77分的人数最有可能是2 000×0.158 65≈317. 4. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 解：（1）依题意，，， ，， 所以y关于x的线性回归方程为. （2）由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个， 所以X的可能取值为0，1，2，3， ，，，， X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以X的期望是. 5. 兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. (1)先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关； 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 (2)求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率； (3)为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“小明去田径运动场锻炼”，.已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大.证明：. 参考公式与数据：，其中，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 解：（1）根据题意完善列联表如下： 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 根据列联表中的数据，计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关. （2）由（1）中的列联表知，短跑成绩不合格的学生有40人，其中每周自主锻炼时间超过5小时的有10人，每周自主锻炼时间不超过5小时的有30人. 记事件“甲在培训后短跑成绩合格”，事件“甲每周自主锻炼时间超过5小时”，则事件 “甲每周自主锻炼时间不超过5小时”， 用频率估计概率知 ，， 由题意知，， 由全概率公式知. 由贝叶斯公式知，即学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率为. （3）由题意知， 所以， 因为，所以， 所以， 整理得， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即. 6.某地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆.每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分.假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n＋1分的概率为Pn，求P1＋P2＋…＋Pn； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 解：（1）由题意知，每位游客计划不参观马王堆的概率为，参观马王堆的概率为，则X的可能取值为3，4，5，6， P（X＝3）＝＝， P（X＝4）＝··＝， P（X＝5）＝··＝， P（X＝6）＝＝， 所以X的分布列如下表所示： X 3 4 5 6 P 所以E（X）＝3×＋4×＋5×＋6×＝5. （2）因为这n人的合计得分为n＋1分，则其中只有1人计划参观马王堆， 所以Pn＝··＝， 设Sn＝P1＋P2＋…＋Pn＝＋＋＋…＋， 则Sn＝＋＋＋…＋＋， 由两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－＝2×－＝1－， 所以P1＋P2＋…＋Pn＝Sn＝. （3）在随机抽取的若干人的合计得分为（n－1）分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或（n＋1）分，记“合计得n分”为事件A，“合计得（n＋1）分”为事件B，A与B是对立事件. 因为P（A）＝an，P（B）＝an－1，所以an＋an－1＝1（n≥2）， 即an－＝－（n≥2）. 因为a1＝，则数列是首项为－，公比为－的等比数列， 所以an－＝－·，n≥1， 所以an＝－·＝＋·. 因为0＜＜1，则当n→＋∞时，→0， 所以an→，所以随着抽取人数的无限增加，an趋近于常数. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考必刷大题4　概率与统计 1.错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. (1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； (2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 2.目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节. (1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率; (2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据:若,则,,,,. 3.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的平均数； （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望； （3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s2＝42.25.所有参加知识竞赛的2 000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？ 参考数据：P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 4. 4. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 5. 兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. (1)先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关； 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 (2)求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率； (3)为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“小明去田径运动场锻炼”，.已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大.证明：. 参考公式与数据：，其中，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 6.某地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆.每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分.假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n＋1分的概率为Pn，求P1＋P2＋…＋Pn； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $