7.1.2 全概率公式和贝叶斯公式课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式和贝叶斯公式 温州科技高级中学 张明 综合应用 全概率公式 用于计算比较复杂事件的概率 加法公式 乘法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互不相容 P(AB)=P(A)P(B|A) P(A)>0 思考：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 3 3 2 分析：因为抽签具有公平性，所以第二次摸到红球的概率也应当是但是这个结果不显然。因为第二次摸球的结果受第一次摸球结果的影响。 题外话：其实第一次摸球对第二次摸球没有影响。因为我们不知道第一次摸到什么球，可能是红球，可能是篮球。当我们不知道一件事时这事对你无影响。有句话是不知者无罪。 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到篮球”那么我们可以用图形来表示事件之间的关系： P(B2|R1) P(R2|B1) P(B2|B1) P(R2|R1) 第一次 第二次 4 解：事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2. 利用概率的加法公式和乘法公式，得 反思：我们把一个复杂事件分解成几个简单的互斥事件的和，再运用条件概率的定义即乘法公式。所以不用死记硬背。 5 环节三：总结规律，抽象公式 问题2：从a个红球，b个篮球和c个黄球的袋子里面，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回，那么第二次摸到红球的概率是多大？ 6 7 解:用Y1表示事件“第1次摸到黄球”，事件R2可按第一次可能的摸球结果（红球或蓝球或黄球）表示为三个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2∪Y1R2 P（R2）＝P（R1R2∪B1R2∪Y1R2）＝P（R1R2）+P（B1R2）+P（Y1R2） ＝P（R1）P（R2|R1）+P（B1）P（R2|B1）+P（Y1）P（R2|Y1） × × × 将此列中所用的方法推广为一般得情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。 反思：我们把一个复杂事件分解成几个简单的互斥事件的和，再运用条件概率的定义即乘法公式。所以不用死记硬背。 8 设随机试验的样本空间为Ω。 1. 全概率公式 B＝BA1+BA2+……+BAn A1,A2,…,An为一组两两互斥的事件,且P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 另有一事件B, 则 　　反思：我们把一个复杂事件A分解成几个简单的互斥事件的和，再运用条件概率的定义即乘法公式。所以不用死记硬背。 P(B)=P()P(B|)++P()P(B|) P(B)= 全概率公式的由来，不难由上式看出： “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和。 它的理论和实用意义在于： 直接计算P(B)不容易时，考虑将事件B进行分割，借助样本空间Ω的一个划分A1, A2, … , An将事件B 分成BA1, BA2, … , BAn ， 用所有的P(BAi)之和计算 P(B)，往 往可以简化计算。 P(B)=P()P(B|)++P()P(B|) 10 事件的概率计算可能很复杂，有时可以采用借助一组事件组的方法 全概率公式的意义在于，对于事件A，无法直接求出他的概率，那么我们就想把它分成几个小事件，通过求小事件的概率，然后把它们相加从而得到事件A的概率。而将事件A进行分割的时候不是直接对A进行分割的，而是先找到样本空间S的一个划分，B1，B2，….，Bn，这样事件A就被事件AB1，AB2，…ABn，分成了n部分，即A=AB1+AB2+…+ABn。那么由加法公式，便有 这样，即使记不住全概率公式，根据这一思路一推也能推出来。 三、巩固新知 例4.某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐。如果第1天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率是0.8.计算王同学第2天去A餐厅的概率。 解：设第1天去A餐厅用餐”，设第1天去B餐厅用餐”第2天去A餐厅用餐”， ,且。 根据题意得 P()=P()=0.5 P()=0.8 由全概率公式，得 P()=P())+P()(|) =0.5 因此，王同学第2天去A餐厅用餐得概率是0.7. 三、巩固新知 此题有巧解：设王同学总共去了10次，则第1天A餐厅5次，B餐厅5次。于是第二天去A餐厅5.6+5.8=7次，所以王同学们第2天去A餐厅的概率是0.7 例4.某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐。如果第1天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率是0.8.计算王同学第2天去A餐厅的概率。 例5.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起。已知第1，2，3台车床加工的零件数分别是总数的25%，30%，45%。 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率。 解：设B=“任取一个零件为次品”，零件为第车床加工”(,且两两互斥，根据题意得 =0.25,P()=0.3,P()=0.45, P(B|)=0.06，P(B|)=P(B|)=0.05 由全概率公式，得 P(B)=P()+P(B)+P(B) =P()P(B|)+P()P(B|)+P()P(B|) =0.25 =0.0525 解: 例5.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起。已知第1，2，3台车床加工的零件数分别是总数的25%，30%，45%。 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率。 (2)由题意知，就是计数在B发生的条件下，事件发生的概率。 ()=0.25,P()=0.3,P()=0.45 P(B|)=0.06,P(B|)=P(B|)=0.05,P(B)=0.0525 P(|B)= == P(= P(= 　　同学们，全概率公式对所有的概率概型都适用。但概率概型除了古典概型还有许多其它概型。比如几何概型、二项分布、超几何分布、正态分布等。所以每个概型都有自己的一种解法。此题是古典概型，所以有非常简单的解法。 　　解：零件数算100个。第一台车床加工的25个，第二台车床加工的30个，第三台车床加工的45个。属于第一台车床加工的次品有25%=1.5个，属于第二台车床加工的次品有305%=1.5个，属于第三台车床加工的次品有45％＝2.25 Ｐ（Ｂ）＝=0.0525 Ｐ（= 同理P(，Ｐ()= 例5.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起。已知第1，2，3台车床加工的零件数分别是总数的25%，30%，45%。 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率。 思考: “P()”这个整体表示导致B发生的每个原因的概率，2、3。 可以理解为： 例5.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起。已知第1，2，3台车床加工的零件数分别是总数的25%，30%，45%。 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率。 设B=“任取一个零件为次品”， 为第车床加工” P()，P()的实际意义是什么？ P()称为先验概率，题中已知。 P()称为后验概率， 解：“如果取到零件是次品，计算它是第i(i=1、2、3)台车床加工的概率”就是在计算在B发生的条件下发生的概率, 类似地，可得 ， 设随机试验是样本空间为Ω。 1. 贝叶斯公式 注：贝叶斯公式需要死记硬背吗？ 答：左边=中间是条件概率定义。中间=右边是中间式子的分子再一次用条件概率定义。然后，中间式子分母用全概率公式代入。死记硬背也记不住。 P( A1,A2,…,An为一组两两互斥的事件,且P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 另有一事件B, 则 18 事件A的发生受谁的影响最大？ 说明： 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们 确定某结果(事件B)发生的最可能的原因。 该公式由贝叶斯(Bayes)给出。 他是在观察到事件B已发生的条件 下，寻找导致B发生的每个原因的 概率。贝叶斯公式的思想就是“执果溯因”。全概率 公式的思想是“由因推果”。 19 这一公式最早发表于1763年，当时贝叶斯已经去世，其结果没有受到应有的重视. 后来，人们才逐渐认识到了这个著名概率公式的重要性. 现在，贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝叶斯统计已成为机器学习、人工智能、知识发现等领域的重要工具. 贝叶斯公式给出了‘结果’事件B已发生的条件下，‘原因’事件的条件概率. 从这个意义上讲，它是一个“执果索因”的条件概率计算公式.相对于事件B而言 ，概率论中把称为先验概率（PriorProbability），而把称为后验概率 （Posterior Probability），这是在已有附加信息（即事件B已发生）之后对事件发生的可能性做出的重新认识，体现了已有信息带来的知识更新. 值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”。可见贝叶斯公式的影响 。 例6.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收 为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;已知发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收为0和1的概率; 解: 设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0” 设的信号为1”，=“接收到的信号为1”。 由题意得， P(A)=P(B)=0.5,P(B|A)=0.9 P()=0.1,P(B|)=0.05,P()=0.95 (1)P(B)=P(AB)+P(B) =P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.5 P()=1-P(B)=1-0.475=0.525. 例6.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收 为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;已知发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收为0和1的概率; 同学们，全概率公式对所有的概率概型都适用。但概率概型除了古典概型还有许多其它概型。比如几何概型、二项分布、超几何分布、正态分布等。所以每个概型都有自己的一种解法。此题是古典概型，所以有非常简单的解法。 例6.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收 为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;已知发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收为0和1的概率; 解: 因为发送信号0和1是等可能的。所以假设有100个0和100个1发送。 100个0发送，接收为0的有90个，接收为1的有10个。 100个1发送，接收为0的有5个，接收为1的有95个。 所以总共接收的0有90+5=95，总共接收的1有10+95=105 所以P(B)=,P()=。 设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0” 设的信号为1”，=“接收到的信号为1”。 解: *(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率. 例6.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;已知发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. 设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0” 设的信号为1”，=“接收到的信号为1”。 由题意得， P(A)=P(B)=0.5,P(B|A)=0.9 P()=0.1,P(B|)=0.05,P()=0.95，P(B)=0.475 (2)P(|B)= *(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率. 例6.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;已知发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. 　　同学们，贝叶斯公式对所有的概率概型都适用。但概率概型除了古典概型还有许多其它概型。比如几何概型、二项分布、超几何分布、正态分布等。所以每个概型都有自己的一种解法。此题是古典概型，所以有非常简单的解法。 解: *(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率. 5.例6.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;已知发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. 因为发送信号0和1是等可能的。所以假设有100个0和100个1发送。 100个0发送，接收为0的有90个，接收为1的有10个。 100个1发送，接收为0的有5个，接收为1的有95个。 所以总共接收的0有90+5=95，总共接收的1有10+95=105 Ｐ(|B)=。 设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0” 设的信号为1”，=“接收到的信号为1”。 例 3 (疾病普查问题)某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验结果是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 解: 设 A ＝{试验结果是阳性}， AB1 有疾病，阳性 无疾病，阳性 AB2 B1＝{抽查的人患有癌症} B2＝{抽查的人不患有癌症} 所求为 P(B1|A) 依题意有 P(B1)=0.005 P(B2)=0.995 P(A|B1)=0.95 P(A|B2)=0.04 现在来分析一下结果的意义： 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ P( = 如果不做试验，抽查一人，他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率 为 P(C｜A)= 0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍。 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ 提示 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认. 贝叶斯公式 P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。 当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 先验概率 后验概率 P( 30 贝叶斯公式为利用搜集到的信息对原有判断进行修正提供了有效手段。在采样之前，经济主体对各种假设有一个判断（先验概率），关于先验概率的分布，通常可根据经济主体的经验判断确定(当无任何信息时，一般假设各先验概率相同)，较复杂精确的可利用包括最大熵技术或边际分布密度以及相互信息原理等方法来确定先验概率分布。 　　贝叶斯公式在处理垃圾邮件中的应用 　　贝叶斯定理（又被称为贝叶斯法则）是概率论中的一个结果，它跟随机变量的条件概率以及边缘概率分布有关。在有些关于概率的解说中，贝叶斯定理(贝叶斯更新）能够告知我们如何利用新证据修改已有的看法。 例 3 (疾病普查问题)某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验结果是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 此题有秒解：取1000个人，则正常人955个，患者5个。于是患者对实验反应是阳性有5.95，正常人对实验反应是阳性有995.04，现抽查1人，实验结果是阳性，则此人是癌症患者的概率是=0.1066 这一讲我们介绍了 全概率公式 贝叶斯公式 它们是加法公式和乘法公式的综合运用，同学们可通过进一步的练习去掌握它们。 (三) 小结 　　　　　　　　　　　　　　补充 　　对教材第53页《7.1.2全概率公式》阅读与思考《贝叶斯公式与人工智能》的解答 　　答：改选2号中奖概率大。因为你坚持1号，你只选1次，选中概率。改选2号你选了2次,多了一次选择机会，选中概率。所以中奖概率增大。 $