7.1.2 全概率公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了全概率公式、贝叶斯公式及条件概率的关系，通过情境导入（抽签公平性）引出问题，结合摸球模型推导公式，再以知识框架串联公式定义、推导过程和应用场景，构建完整的概率知识网络。 其亮点在于采用“情境问题-公式推导-分层训练”模式，如从摸球问题抽象出全概率公式培养数学抽象，通过两事件（例1）到多事件（例2）的例题设计提升数学运算能力，课时作业分基础巩固与综合运用满足分层需求，帮助学生深化理解，助力教师精准复习教学。

7.1.2　全概率公式 1 1. 结合古典概型，理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率（数学 抽象、数学运算）. 2. 了解贝叶斯公式，并会简单应用（数学抽象、数学运算）. 　 课标要求 学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参 赛选手通过抽签决定出场顺序.不过，张明对抽签的公平性提出了质疑， 他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号 了，所以每个人抽到1号的概率不一样.张明的想法正确吗？特别地，第一 个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为 什么？抽签的公平性如果仅仅从直观上来理解的话，可能并不容易说清 楚，但这可利用本节我们要学习的全概率公式来解释. 情境导入 知识点一 全概率公式 01 知识点二 多个事件的全概率问题 02 提能点 *贝叶斯公式 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 全概率公式 01 PART 目 录 问题　从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球 不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 .那么第2次摸到红球的概率 是多大？如何计算这个概率呢？ 提示：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 ， 但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导. 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表 示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1，2.如 图所示. 数学·选择性必修第三册 目 录 事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的 并，即R2＝R1R2∪B1R2，利用概率的加法公式和乘法公式， 得P（R2）＝P（R1R2∪B1R2）＝P（R1R2）＋P（B1R2）＝P（R1）P （R2｜R1）＋P（B1）P（R2｜B1） ＝ × ＋ × ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件， A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事 件B⊆Ω，有P（B）＝ .称为全概率公式. 　　提醒：全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P （A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P （A2）P（B｜A2）＋…＋P（An）·P（B｜An）. P（Ai）P（B｜Ai）　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　（链接教材P50例4）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同 学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为 5∶3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 .求该社区居民遇到一位进行 民意调查的同学恰好是女生的概率. 数学·选择性必修第三册 目 录 解：如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事 件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P（A1）＝ ，P（A2）＝ ， 且P（B｜A1）＝ ，P（B｜A2）＝ . 由全概率公式可知P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜ A2）＝ × ＋ × ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 两个事件的全概率问题求解策略 （1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2（或A与 ）； （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； （3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2） P（B｜A2）. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲 厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： （1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率； 解：记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω ＝A∪B，且A，B互斥， （1）由题意，得P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ， P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05， 由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）·P（C｜ B）＝ × ＋ × ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 解： P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ， P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05， 由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）·P（C｜ B）＝ × ＋ × ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 多个事件的全概率问题 02 PART 目 录 【例2】　（链接教材P50例5）在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个 地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为 3∶5∶2，现从这三个地区中任意选取一个人. （1）求这个人患流感的概率； 解： 设此人来自A，B，C三个地区分别为事件A，B，C，事件D 为这个人患流感， 所以P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，P（C）＝0.2， P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05，P（D｜C）＝0.04， 因此P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C） P（D｜C） ＝0.3×0.06＋0.5×0.05＋0.2×0.04＝0.051. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）如果此人患流感，求此人来自A地区的概率. 解： P（A｜D）＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 变式　如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率. 解：因为此人绝对不是来自地区C，所以此人来自地区A，B，所以P （A）＝ ，P（B）＝ ， P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05， P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＝ ×0.06＋ ×0.05＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 “化整为零”求多个事件的全概率问题 （1）如图，P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）； （2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1，2，…，n），事件 B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条 件下事件B发生的可能性的乘积之和. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙 三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7.若该红茶批发地甲、乙、丙 三种品牌的红茶市场占有量的比例为4∶4∶2，小张到该批发地任意购买 一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率. 数学·选择性必修第三册 目 录 解：设事件A，B，C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、 丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品， 则依据已知可得P（A）＝P（B）＝ ＝0.4，P（C）＝0.2，P （D｜A）＝0.9，P（D｜B）＝0.8，P（D｜C）＝0.7， 由全概率公式得P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）·P（D｜B） ＋P（C）P（D｜C）＝0.4×0.9＋0.4×0.8＋0.2×0.7＝0.82， 所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82. 数学·选择性必修第三册 目 录 提能点 *贝叶斯公式 03 PART 目 录 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P （Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P（B）＞0，有P （Ai｜B）＝ ＝ ，i＝1， 2，…，n. 数学·选择性必修第三册 目 录 　　提醒：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 数学·选择性必修第三册 目 录 【例3】　 （链接教材P51例6）甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白 球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球.采取掷一骰子决定选盒，出现1，2 或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个 球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率. 数学·选择性必修第三册 目 录 解：设A1＝{摸出的球来自甲盒}，A2＝{摸出的球来自乙盒}，A3＝{摸出 的球来自丙盒}，B＝{摸得白球}， 则P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（A3）＝ ， P（B｜A1）＝ ，P（B｜A2）＝ ，P（B｜A3）＝ . 于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为P（A2｜B）＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 应用贝叶斯公式求概率的步骤 （1）根据题目问题，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1， A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分； （2）利用全概率公式求出P（　B　）； （3）代入贝叶斯公式求得概率. B 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　8支枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射 击时，中靶的概率为0.8，用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3，现从 8支枪中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为 （　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校准 过”，事件B2表示“使用的枪未校准”，则P（B1）＝ ，P（B2）＝ ，P（A｜B1）＝0.8，P（A｜B2）＝0.3.根据全概率公式得P（A） ＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝ ×0.8＋ ×0.3＝ ，所以由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝ ＝ ＝ . 故选B. 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 已知P（BA）＝0.4，P（B ）＝0.2，则P（B）＝（　　） A. 0.08 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.5 解析： 　P（B）＝P（BA）＋P（B ）＝0.4＋0.2＝0.6. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为 0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的 2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（　　） A. 0.21 B. 0.06 C. 0.94 D. 0.95 解析： 　令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i ＝1，2.由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P （B｜A2）＝ ×0.96＋ ×0.93＝0.95.故选D. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 ⁠. 解析：设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的2球恰 有i个白球”，i＝0，1，2.由全概率公式得P（A）＝P（B0）P（A｜ B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）·P（A｜B2）＝ · ＋ · ＋ · ＝ . ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）全概率公式； （2）多个事件的全概率问题； （3）贝叶斯公式. 2. 应体会 利用全概率公式解决实际问题时，要注意化整为零、转化与化归思想 的应用. 3. 避易错 事件拆分不合理或不全面. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的 概率为（　　） A. B. C. D. 解析： 　设甲中奖为事件A，乙中奖为事件B，则P（B）＝P（B｜ A）P（A）＋P（B｜ ）P（ ）＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 已知事件A，B满足P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（ ｜ ）＝ ，则P（B）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意可得：P（ ）＝1－P（A）＝ ，P（B｜ ）＝1－P （ ｜ ）＝ ，所以P（B）＝P（B｜A）·P（A）＋P（B｜ ）P （ ）＝ × ＋ × ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名 表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两 份，则先取到的一份为女生报名表的概率为（　　） A. B. C. D. 解析： 　设A＝“先取到的是女生报名表”，Bi＝“取到第i个地区的报 名表”，i＝1，2，3，∴P（A）＝ P（Bi）·P（A｜Bi）＝ × ＋ × ＋ × ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他 周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果 周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑 步的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　用事件A，B分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则 ， 分别表示“周六游泳”，“周日游泳”，于是P（A）＝0.6，P（ ｜ A）＝0.7，P（B｜ ）＝0.9，P（ ）＝0.4，P（ ｜ ）＝0.1，因 此P（ ）＝P（ ｜A）·P（A）＋P（ ｜ ）P（ ）＝0.7×0.6＋ 0.1×0.4＝0.46，所以P（A｜ ）＝ ＝ ＝ ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数 学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪1箱.现从剩下9 箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱也是英语书的概率为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”，用Bk表示“丢失的1 箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式 得P（A）＝ P（Bk）P（A｜Bk）＝ × ＋ × ＋ × ＝ .P （B1｜A）＝ ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 〔多选〕若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列等式中成立的有 （　　） A. P（A｜B）＝ B. P（AB）＝P（A）P（B｜A） C. P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ） D. P（A｜B）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全 概率公式知C正确；P（B）·P（A｜B）＝P（AB），P（B）＝P （A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ），故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红 球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这 些球除颜色外完全相同.某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出 一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件Ci表 示“球取自i号盒子”，则（　　） A. P（A）＝ B. P（B）＝ C. P（C1｜A）＝ D. P（C2｜B）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由题意可得：P（C1）＝P（C2）＝P（C3）＝ ，P （A｜C1）＝ ，P（A｜C2）＝ ，P（A｜C3）＝1，对于A：由全概率 公式可得P（A）＝P（C1）P（A｜C1）＋P（C2）P（A｜C2）＋P （C3）P（A｜C3）＝ × ＋ × ＋ ×1＝ ，故A错误；对于B：P （B）＝1－P（A）＝ ，故B正确；对于C、D：P（C1｜A）＝ ＝ ＝ ＝ ，故C正确；P（C2｜B）＝ ＝ ＝ ＝ ，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其 中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路， 有思路的题做对的概率为 ，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答 案.小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为 ⁠. ​ 解析：设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A，“选到能完整做 对的5道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没 有思路的1道题”为事件D，则P（B）＝ ，P（C）＝ ＝ ，P（D） ＝ ，由全概率公式可得P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（C）P （A｜C）＋P（D）P（A｜D）＝ ×1＋ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车 种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男 性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根 据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是 ⁠. 解析：设男性中有x%购买了新能源车，则x%×60%＋40%×80%＝74%， 解得x＝70，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是70%. 70% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解：用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则P（B｜A）是乘出 租车迟到的概率，P（B｜ ）是骑自行车迟到的概率. 根据题意P（A）＝0.01，P（B｜ ）＝0.05，P（B｜A）＝0.50. 因为A， 互斥，所以AB， B互斥. 所以P（B）＝P（AB∪ B）＝P（AB）＋P（ 　B　）. 因为P（A）＞0，P（ ）＞0，由概率的乘法公式可知，李老师迟到的 概率是P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）＝ 0.01×0.50＋（1－0.01）×0.05＝0.054 5. 10. 李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会.根据以往的经验，他骑自 行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50.他出发时首选自行 车，发现自行车有故障时再选择出租车.设自行车有故障的概率是0.01， 试计算李老师迟到的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰， 发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0 和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95 和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信 号是1的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　设A＝“发送的信号为0”， B＝“接收到的信号为0”，则 ＝ “发送的信号为1”， ＝ “接收到的信号为1”.由题意得P（A）＝P （ ）＝0.5，P（B｜A）＝0.9，P（ ｜A）＝0.1，P（B｜ ）＝ 0.05，P（ ｜ ）＝0.95，P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P （ ）·P（B｜ ）＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475，P（ ｜B）＝ ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 12. “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来 了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又 信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊 狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则 他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的 概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小 孩是诚实的概率是0.9.已知某个小孩说谎了，那么他是诚实的小孩的概率 是（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　设事件A表示“小孩诚实”，事件B表示“小孩说谎”，则P （B｜A）＝0.1，P（B｜ ）＝0.5，P（A）＝0.9，P（ ）＝0.1， 则P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝0.9×0.1＝0.09，P（ B）＝P （ ）P（B｜ ）＝0.1×0.5＝0.05，故P（B）＝P（AB）＋P（ B）＝0.14，故P（A｜B）＝ ＝ ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 13. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响 股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调 的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调 的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其 价格上涨的概率为40%，则该支股票价格将上涨的概率为 ⁠. 解析：设A＝“利率下调”， ＝“利率不变”，B＝“股票价格上涨”. 依题意知P（A）＝60%，P（ ）＝40%，P（B｜A）＝80%，P （B｜ ）＝40%，则P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P （B｜ ）＝60%×80%＋40%×40%＝64%. 64% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 14. 甲、乙、丙三人同时对飞碟进行射击，三人击中的概率分别为0.4， 0.5，0.7.飞碟被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率 为0.6，若三人都击中，飞碟必定被击落，求飞碟被击落的概率. 解：设B＝“飞碟被击落”，Ai＝“飞碟被i人击中”，i＝1，2，3，则B ＝A1B＋A2B＋A3B， 依题意，得P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝0.6，P（B｜A3）＝1. 由全概率公式P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）·P（B｜A2） ＋P（A3）P（B｜A3）， 设Hi＝“飞碟被第i人击中”，i＝1，2，3， 则P（A1）＝P（H1 ＋ H2 ＋ H3）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 P（A2）＝P（H1H2 ＋H1 H3＋ H2H3），P（A3）＝P （H1H2H3）， 又P（H1）＝0.4，P（H2）＝0.5，P（H3）＝0.7， 所以P（A1）＝0.36，P（A2）＝0.41，P（A3）＝0.14， 则P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P （B｜A3） ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 故飞蝶被击落的概率为0.458. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 15. 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响，且它们的 优质品率分别为0.8，0.7与0.9.已知若三个部件都是优质品，则组装后的 仪器一定合格；若有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为 0.2；若有两个部件不是优质品，则组装后的仪器的不合格率为0.6；若三 个部件都不是优质品，则组装后的仪器的不合格率为0.9. （1）求仪器的不合格率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解：记事件B＝“仪器不合格”，Ai＝“仪器上有i个部件不是优质 品”，i＝0，1，2，3，显然A0，A1，A2，A3构成一个完备事件组， P（B｜A0）＝0，P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝0.6，P（B｜ A3）＝0.9， P（A0）＝0.8×0.7×0.9＝0.504， P（A1）＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398， P（A3）＝0.2×0.3×0.1＝0.006， P（A2）＝1－P（A0）－P（A1）－P（A3）＝0.092. （1）应用全概率公式，有：P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）＝ 0.504×0＋0.398×0.2＋0.092×0.6＋0.006×0.9＝0.140 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）若已发现一台仪器不合格，则它有几个部件不是优质品的概率最大. 解：应用贝叶斯公式，有：P（A0｜B）＝0， P（A1｜B）＝ ＝ ， P（A2｜B）＝ ＝ ， P（A3｜B）＝ ＝ . 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率 最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 $