上海市复旦大学附属中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期中考试试卷（B卷）

复旦大学附属中学2025学年第二学期 高二年级数学期中考试试卷（B卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 已知空间向量的坐标为，则________. 2. 若随机变量的分布为，则的期望________. 3. 已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________. 4. 已知随机变量服从二项分布，则的期望________． 5. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 6. 棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 7. 如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________. 8. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由6个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 9. 质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则_______. 10. 如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 11. 甲、乙两位同学进行科学知识抢答竞赛，规定先取得4轮胜利的同学最终获胜，获胜者可以获得年级组长张老师提供的1000元奖金.每轮甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每轮竞赛相互独立.在甲赢了2轮，乙赢了1轮后，竞赛因故中止，张老师决定按照竞赛再继续进行下去各自获胜的概率之比分配奖金.当时，乙同学获得的奖金的最大值为________元. 12. 在三棱锥中，已知，，，，，则的最小值为______. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 14. 下列说法正确的是（ ）. A. 如果随机事件与可以同时发生，则事件与不独立 B. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 C. 若随机变量满足，则 D. 对于随机事件与，若，，则事件与相互独立 15. 一组数据满足，若去掉且从中随机选两个数加入，组成一组新数据.则新数据与原数据相比，下列统计量中：①极差；②平均数；③方差；④第90百分位数，一定变小的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 对于一个半径为1的球，为球心，点在球面上，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（ ）. A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”. （1）现用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，设随波动的回归方程为，已知监测月份的均值，违章人次的均值 ， ，求的值，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从监测的5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下面的列联表. 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过2年 ① 16 驾龄2年以上 26 ② 已知不“礼让行人”违规驾驶共计50人，请补充填写上面的2×2列联表（在答题纸上的相应位置填空），并判断能否认为“礼让行人”行为与驾龄有关？附：，. 18. 如图，在直三棱柱中，，. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 19. 在空间直角坐标系中，已知，，点集，，，集合. （1）当时，从集合中随机任取两个不同的点，用随机变量表示这两点之间距离的平方，求的分布，期望与方差； （2）当时，从集合中依次任取四个不同的点，，，，设事件：，与事件：，求. 20. 如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. （1）求向量的斜坐标； （2）设，，求及； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 21. 已知，，集合，．对中的两个不同元素和，若存在定义域为，值域为的子集的函数，，同时满足条件：①，；②，；③，，则称与是中的一对“友好元素”． （1）分别求当和时，集合的元素个数； （2）当时，若，写出对应的所有“友好元素”； （3）若和是中的一对“友好元素”，且满足的最大值为．当时，是否存在随机变量同时满足以下三个条件：①的取值集合为；②；③的期望？若存在，求的分布，及其对应的中的一对“友好元素”与（只需写出一对即可）；若不存在，说明理由． 复旦大学附属中学2025学年第二学期 高二年级数学期中考试试卷（B卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】3 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】## 【8题答案】 【答案】5 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】2 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） ，人次 （2） 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上 26 24 不能认为“礼让行人”行为与驾龄有关 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1）分布列为 1 2 4 5 8 ，. （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）； （3）存在； 【21题答案】 【答案】（1）时，；时， （2）和 （3） 1 2 5 6 ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $