精品解析：上海市黄浦区上海理工大学附属储能中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

上海市黄浦区上海理工大学附属储能中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷 2026.4 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料．解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，者生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第题每题3分，第题每题4分）考生应在答题卷卷的相应位置直接填写结果. 1. ______弧度. 【答案】## 【解析】 【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案. 【详解】由题意得. 故答案为：. 2. 若，则点在第__________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】由的范围确定正负，即可判断点所在象限. 【详解】, , 点在第二象限. 故答案为：二. 【点睛】本题考查根据角的范围判断三角函数正负，属于基础题. 3. 函数的最小正周期为______. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用函数的周期,计算即可得出答案. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为:. 【点睛】本题考查函数的周期，属于基础题.牢记正切型函数的周期公式，是解本类题型的关键. 4. 若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，然后利用扇形面积公式求解. 【详解】扇形的圆心角为，弧长为， 则， . 5. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】. 6. 化简：__________. 【答案】 【解析】 【详解】. 7. 在中，已知三边之比为，则该三角形最大角的余弦值为__________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】三边比为，设三边长分别为，最大角为最长边所对的角. 则. 8. 在中，已知且，则的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和两角差的正弦公式，化简得到，得到，结合三角形的内角和定理，即可求解. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得， 即， 因为为三角形的内角，可得，即， 又因为，所以，则 9. 函数的部分图象如图，则该函数的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由图象得到，由周期公式求得值，结合五点作图的第二点求． 【详解】由图可知，．． 由五点作图的第二点知，，即．． 10. 函数，的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故答案为： 11. 已知，且，则的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，结合两角差的正切公式和基本不等式计算即可求解. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 12. 已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得函数，的解析式，然后将方程的根转化为函数的交点，结合图象，代入计算，即可得到结果. 【详解】 依题意，函数的图象对称中心为且过点， 所以，解得，所以. 由于函数的两相邻对称中心之间的距离为1， 且为函数的一个极大值点， 所以，则， 由于， ，所以， 所以，，关于对称， 对于区间，有， 由于和的图象都关于对称， 所以和的交点也关于对称， 由于方程在上的所有根之和等于2028， 所以方程在上一共有个根， 也即和的图象有个交点， 则当时，和的图象有个交点， 通过观察图象可知，与的图象在区间上分别有个交点， 所以或， 解得或，所以整数的值构成的集合为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第题每题3分，第题每题4分）每题有且只有一个正确选项． 13. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当“”时，则“”成立. 当时，则，不一定等于. 所以，当，“”是“”的充分非必要条件. 14. 函数是（ ） A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】化简可得，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据周期公式，即可求得答案. 【详解】由题意得， 所以，故为奇函数， 周期， 故选：A 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用三角函数的基本关系式和正弦定理化简得到，得到或，即可求解. 【详解】由，可得， 结合正弦定理可得，即， 即，所以. 所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：C. 16. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求解即可 【详解】若,则恒成立，故，而,故. 若， 因为对任意实数x均有， 所以对任意实数x均有， 又因为， 所以只能是对任意实数x均有成立， 由三角函数的图象与性质可知，必有， 若，此时方程可化为， 根据三角函数的周期性，此时， 解得， 又， 所以； 若，此时方程可化为， 根据三角函数的周期性，此时， 解得， 又， 所以； 综上满足条件的有序实数对为，，共有3个， 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解即可. （2）根据二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求解即可. 【小问1详解】 ​，由和， 解得，. ，由，得. 则. 【小问2详解】 ，则. . 18. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求与的值； （2）若角满足，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义直接求得的值，再利用二倍角公式求出； （2）将表示为展开求解即可. 【小问1详解】 由题：， . 【小问2详解】 因为且，所以， 又， 所以 ， 即. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求A； （2）若的面积，求c． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据求出，再根据正弦定理求出可得结果； （2）根据三角形面积公式和余弦定理可求出结果. 【小问1详解】 因为，则， 由正弦定理，得，即，即， 因为，所以，因此； 【小问2详解】 由，得， ． 当时，由余弦定理，得； 当时，由余弦定理，得． 所以，或． 20. 已知函数. （1）求的振幅A与频率f； （2）将函数的图像上的所有点纵坐标保持不变，横坐标变化至原来的，得到的图象，求的单调减区间. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及辅助角公式化简函数，进而求出振幅及频率. （2）利用正弦函数性质求出单调递减区间. 【小问1详解】 函数， 函数的振幅，周期，频率. 【小问2详解】 依题意，， 由，得， 所以函数的单调减区间是. 21. 若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. （1）判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； （2）已知与是一对“共零函数”，求的值； （3）已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 【答案】（1）不是； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数、余弦函数的性质，应用方程法求零点，结合新定义判断即可； （2）由正余弦型函数的性质求零点，再根据已知得，，即可得参数值； （3）根据“共零函数”的定义分别求得、，结合的单调性即可得. 【小问1详解】 由指数函数的单调性知，在R上单调递增，且存在唯一零点， 由余弦函数的性质知，的零点为， 所以与不是 “共零函数”. 【小问2详解】 由，则，即， 由，则，即， 又与是一对“共零函数”，则，， 所以，即，； 【小问3详解】 由，则， 又与是一对“共零函数”，则， 所以， 由，则， 由与也是一对 “共零函数”，则， 所以，即， 由在上单调递增，故，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市黄浦区上海理工大学附属储能中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷 2026.4 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料．解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，者生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第题每题3分，第题每题4分）考生应在答题卷卷的相应位置直接填写结果. 1. ______弧度. 2. 若，则点在第__________象限． 3. 函数的最小正周期为______. 4. 若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 5. 已知，则__________. 6. 化简：__________. 7. 在中，已知三边之比为，则该三角形最大角的余弦值为__________. 8. 在中，已知且，则的大小为__________. 9. 函数的部分图象如图，则该函数的解析式为__________. 10. 函数，的值域为________． 11. 已知，且，则的最大值是________． 12. 已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第题每题3分，第题每题4分）每题有且只有一个正确选项． 13. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 函数是（ ） A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 16. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知， （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求与的值； （2）若角满足，且，求的值． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求A； （2）若的面积，求c． 20. 已知函数. （1）求的振幅A与频率f； （2）将函数的图像上的所有点纵坐标保持不变，横坐标变化至原来的，得到的图象，求的单调减区间. 21. 若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. （1）判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； （2）已知与是一对“共零函数”，求的值； （3）已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $