专项练习06：立体几何的表面积与体积8大核心题型 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专项练习06：立体几何的表面积与体积】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：棱锥的表面积与体积】 1．(25-26高一下·天津第三中学·期中)已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正四面体各个面都是正三角形，直接计算面积即可. 【详解】. 2．(25-26高一·安徽合肥第八中学·期中)如图，直三棱柱中，点分别为和的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 连接，对于三棱锥与三棱锥，二者高相等， 因为是的中点，所以底面积， 所以． 对于三棱锥与四棱锥，由于二者高相等， 底面积，所以． 所以，所以． 3．(25-26高一下·安徽桐城中学·期中)如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（   ） A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:8 【答案】B 【详解】已知是AB的中点，是的中点， ， 又， ， ， 即三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为. 4．(25-26高一·安徽合肥八中教育集团蜀山分校·期中)在棱长为2的正方体中，三棱锥的体积是（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到三棱锥的高，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，在正方体中，可得平面， 即点到平面的距离为，即三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为. 5．(25-26高一·天津蓟州区第一中学·)如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据截面为正方形，可得，利用三棱柱的表面积公式即可求解； (2)利用结合三棱锥的体积即可求解； (3)根据即可求解. 【详解】（1）因为截面为正方形， 所以， 在中，， 即，解得， 所以三棱柱的表面积 （2）由题可得： （3）因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . 【题型2：圆锥的表面积与体积】 6．(25-26高一下·广东实验中学·期中)若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的高为，圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 因圆锥的体积，解得， 则， 故圆锥的侧面展开图的面积为. 7．(25-26高一·山东济宁·)若圆锥的母线与轴的夹角为，则其侧面积与过轴的截面面积之比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为， 则圆锥的侧面积为， 由题意可得，得， 所以过轴的截面面积为， 所以侧面积与过轴的截面面积之比为. 8．(25-26高一·浙江杭州学军中学·期中)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，圆锥的高分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆锥侧面积公式求解圆心角的关系，由圆锥侧面展开圆心角公式推导出底面半径的关系，进而根据圆锥高公式分别表示和，再作比化简求解. 【详解】设两个圆锥的母线长均为，侧面展开图圆心角分别为、，底面半径分别为、， 高分别为、，根据题意：，. 由圆锥侧面积公式为，母线长相等， 可得侧面积比等于圆心角比：， 由，可得：，. 因为圆锥侧面展开的弧长等于底面周长，即，整理得， 代入得：. 因为圆锥的高，所以， ，所以. 9．(25-26高一下·河南许昌·期中)已知圆锥SO的侧面积为，其轴截面的直观图为，且轴，，则的长度为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据圆锥的结构特征及其侧面积列方程求母线长，再由轴截面的性质求圆锥的高，最后利用斜二测画法确定的长度. 【详解】已知圆锥侧面积公式为（其中r为底面半径，l为母线长）， 由圆锥SO的侧面积为， 根据斜二测画法规则，由可知底面半径， 代入得，解得， 在圆锥轴截面中，圆锥的高h、底面半径r和母线l构成直角三角形， 由勾股定理得，将，代入可得， 因为轴截面的直观图为，且轴， 在斜二测画法中，平行于轴的线段长度变为原来的一半， 所以. 10．(25-26高一下·浙江温岭第二中学等校·期中)若某圆锥侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥体积为______． 【答案】 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 则圆锥侧面积为，所以， 又圆锥侧面积也可表示为，所以， 所以该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 【题型3：棱柱的表面积与体积】 11．(25-26高一·北京大兴区第一中学·期中)已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知正三棱柱中，， 正三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2， 正三棱柱的底面面积，侧面， 正三棱柱的表面积为：． 12．(25-26高一·湖南长沙明德中学等校·期中)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】C 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可. 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则，从而有， 所以，即当底面水平放置时，水面高为7.5. 13．(25-26高一下·浙江强基联盟·)如图，一个底面边长为的正三棱柱容器中盛有容器容积一半的水，若侧面水平放置时，水面分别过、、、的、、、点． (1)几何体是否为棱台？请说明理由； (2)求图中水面的高． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据棱柱的定义判断即可得出结论； （2）设正三棱柱的侧棱为，分析可知，可求出的高，进而可得出水面的高. 【详解】（1）不是，由图可知梯形梯形，且、、、平行且相等， 故几何体是四棱柱. （2）设正三棱柱的侧棱为， 因为，即， 则得,易得与相似， 由，则，所以， 则的高为， 故图中水面的高为． 14．(25-26高二上·上海南洋中学·期中)如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用柱体的体积公式以及边长求解即可； （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）正三棱柱的各棱长均为2， 所以； （2）设点到平面的距离为，由， 又， 所以，即得， 即， 解得. 15．(24-25高一下·云南昆明·期中)已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分别表示出棱柱的表面积和体积，由已知等量关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：棱柱的体积，表面积， ，，解得. 故答案为：C. 【题型4：圆柱的表面积与体积】 16．(25-26高一·浙江A9协作体·期中)已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥、圆柱的表面积公式即可求解. 【详解】由底面半径，高， 圆锥母线长， 圆锥表面积： 圆柱表面积： ， 所以 . 17．(25-26高一·安徽合肥第六中学·期中)如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱 (1)求剩下几何体的表面积； (2)求剩下几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积和体积公式求解. 【详解】（1）由三角形中位线定理，得圆柱的底面半径，圆柱母线长为2， 圆锥的母线长为， 所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 即. 故剩下几何体的表面积为. （2）圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 即． 故剩下几何体的体积为. 18．(25-26高二上·北京中央民大附中（朝阳）·期中)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的表面积为________． 【答案】 【分析】画出对应图形，利用棱锥结构特点可得圆柱的底面半径，利用勾股定理求出棱锥的高，再利用表面积公式求解即可得. 【详解】如图，四棱锥底面是边长为的正方形， 则四条侧棱的中点构成边长为的正方形， 圆柱的上底面是该正方形的外接圆，则圆柱底面的半径为， 又四棱锥的侧棱长为，则高为， 则圆柱的高为，故该圆柱的表面积为.    故答案为：. 19．(24-25高一下·河北石家庄二中教育集团·期中)已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，求解即可. 【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高， 则圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 则，故B正确. 故选：B. 20．(24-25高一下·山西部分学校·期中)若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆柱表面积及体积公式即可求解. 【详解】设圆柱母线长为，,则表面积， 体积，所以． 故选：A 【题型5：棱台的表面积与体积】 21．(25-26高一下·陕西西安华山中学·期中)已知正四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为________． 【答案】 【详解】因为正四棱台的侧面是等腰梯形， 又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为1， 所以侧面梯形的斜高为， 则四个梯形的面积为， 上下底的底面面积分别为，， 所以该四棱台的表面积为． 22．(25-26高一下·湖南衡阳祁东县第一中学·期中)在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），求： (1)四棱台的表面积； (2)四棱台的体积； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出正四棱台上下底面的面积，再求侧高，由此得出侧面积，最后即可得出表面积； （2）先求出正四棱台的高，再根据体积公式即可得体积； （3）将侧面展开在同一平面，判断出点共线时，最小，结合余弦定理即可求出． 【详解】（1）由题可知，四边形为正方形，所以， 分别取的中点，则为侧面的高， 因为侧面为等腰梯形，则侧面的高， 所以一个侧面的面积为， 故正四棱台的表面积为. （2）连接，取中点，连接，过点作， 则正四棱台的高为，且，则， 在梯形中，， 所以四棱台的体积. （3）把四边形展开至同一个平面，当点共线时，最短， 由侧面展开图知： 由余弦定理得，，解得， 所以的最小值为. 23．(25-26高一·福建宁德第五中学等校·)如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积； （2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比； 【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接， 过点作，交于点. 则， 所以， 所以四棱台的表面积. （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高，则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； 24．(25-26高一·广东东莞第十三高级中学等校·期中)如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的体积和侧面积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 【答案】(1)体积为，侧面积为 (2) 【分析】（1）根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求侧面积； （2）将四棱台补成四棱锥，结合比例关系分析可知，即可得结果. 【详解】（1）由题意，四棱台的体积为： ； 分别取中点，连接，作,交于点, 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则， 可得， 所以四棱台的侧面积. （2）延长交于点， 可知，则， 可得， 所以该同学还需要准备至少的水泥. 25．(25-26高一下·浙江强基联盟·)（多选）正四棱台中，已知，则下列说法正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台外接球的半径为 D．若点在棱上，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据棱台体积公式、勾股定理、余弦定理等知识逐项判断即可. 【详解】如图，，则棱台的高为，故A错误； 四棱台的体积，故B正确； 四棱台的外接球的球心在直线上，球心在的延长线上，记为， 设外接球的半径，设， 则有，解得，则，故C正确； 将侧面和展开平铺成一个平面．当A，P，C三点共线时，最小， 且的最小值为线段AC长，易知， 且，在展开图中由余弦定理可知，故D正确． 【题型6：圆台的表面积与体积】 26．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期中)如图所示是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆台的上下底面圆的半径分别为. 因为扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且， 所以，，解得，， 所以该圆台的表面积为. 27．(25-26高一下·陕西咸阳实验中学·期中)已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】如下图所示： 由题意可知制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为. 28．(25-26高一·福建厦门第一中学·期中)如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为正三角形，，所以， 又因为，所以， 即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的高为，可得圆台的母线长为， 所以圆台的表面积为. 29．(25-26高一·安徽芜湖安徽师范大学附属中学·期中)如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中，，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，，，， ， 如图，原四边形中，，，，，， 直角梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，故其表面积为： ．    30．(25-26高一下·安徽蚌埠·期中)（多选）如图，为四边形的斜二测直观图，其中 .将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体.则下列说法正确的有（    ） A． B．几何体是圆台 C．几何体的体积为 D．几何体的侧面积为 【答案】BC 【分析】先还原直观图得原图，再结合圆台的体积公式，侧面积公式求解即可. 【详解】在四边形中，由题知是底角为的等腰梯形， 所以. 把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中， 则，故A错误； 因为，则几何体是上底半径为1，下底半径为3，高为的圆台，故B正确； 几何体的体积为，故C正确； 几何体的侧面积为，故D错误. 【题型7：组合体的表面积与体积】 31．(25-26高一·福建厦门第一中学·期中)现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），，分别是上、下底面的中心，且满足. (1)若，求该几何体的体积. (2)若正四棱锥的侧面是正三角形 ①求正四棱锥的侧面积. ②若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 【答案】(1)312 (2)①；② 【分析】（1）利用锥体、柱体体积公式计算得解. （2）①利用正棱锥的侧面积公式计算即可；②将矩形，正和展开置于同一平面内，利用两点间距离最短求解. 【详解】（1）依题意，正四棱柱的高，则正四棱柱的体积为， 正四棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为. （2）①设，则，而，且为正三角形， 则，由，得， 正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的侧面积为. ②将长方形，和展开在一个平面， ，， ，， 由几何意义知，， 当且仅当重合于点时，最短， 所以的最小值为. 32．(25-26高一下·安徽蚌埠·期中)如图，现有一几何体由上､下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，. (1)若，求该几何体的体积与表面积； (2)若，正四棱锥的侧棱长为6，且分别是线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1)体积为312，表面积为 (2) 【分析】（1）应用棱锥、棱柱的体积公式求几何体的体积，过点作，垂足为，再求出各侧面的面积后可求出表面积； （2）将侧面和侧面展开，从而确定最小值为展开图中三点共线时最小值，再根据已知、解三角形及三角恒等变换求出相关线段的长及最小值，即可得. 【详解】（1）由题意得，正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以该几何体的体积为. 过点作，垂足为，则， 则正四棱锥的侧面积， 正四棱柱的侧面积， 正四棱柱的下底面的面积， 所以该几何体的表面积为. （2）如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段的距离. 由题可知. 连接，则， 所以. 过点作于，则. 记， 则， ， 所以 ， 所以为锐角， 因为，故，故为锐角，所以为锐角， 故在上的投影在之间， 又， 所以. 即的最小值为. 33．(25-26高一下·重庆西南大学附属中学校·期中)中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米． 【答案】70 【详解】图中正四棱台如下图，的中点为,的中点为，连接，过作于， 则,， 故图中正四棱台的体积为：立方米， 图中正三棱柱的体积为： 立方米， 所以该结构的体积为：立方米 34．(25-26高一下·广西柳州民族高级中学·期中)如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】C 【详解】因为圆锥的底面半径为1，高为1，所以圆锥的母线长为，A正确； 圆锥的体积，圆柱的体积， 所以圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 该几何体的体积为，D正确； 圆锥的侧面积，圆柱的侧面积， 圆柱的下底面面积， 所以该几何体的表面积为，C错误. 35．(25-26高一下·浙江金兰教育合作组织·期中)《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为． (1)求该组合体的体积； (2)若点为线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设刍童的高为，利用几何体的体积公式，转化求解即可； （2）根据两点之间线段最短，当三点共线时取得最小值，即的长. 【详解】（1）设棱台的高为， 由，得， 记上底面的面积为，下底面的面积为， 则， 所以， 又， 所以该组合体的体积为； （2）将绕着直线旋转至平面， 当三点共线时，取得最小值． 因为， 所以在中， 所以的最小值为． 【题型8：几何体中的最值问题】 36．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期中)（多选）已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C．若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为 D．若，E为线段AC上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接代公式即可求解；对于B，截面为等腰三角形且腰长确定，由基本不等式即可求解；对于C，利用向量法表示出中线长，结合余弦定理，即可求解；对于D，将三角形展开，即可求解. 【详解】对于A，由勾股定理得，由侧面积公式得，故A正确； 对于B，如图截面为，， 设，的高为，则， 可得，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，如图，设， 而， 即，即， 又，所以可化为， 而 ，当且仅当时取得等号. 故的周长为， 即的周长的最大值为，故C正确， 对于D，将翻折到平面上，如图，的最小值即为， 如图，另作出平面图形如下， 易得，， 且， 由两角和的余弦公式得， 在中， . 可得的最小值即为，故D正确. 37．(25-26高一·山东烟台·期中)如图，圆锥的母线长为，侧面展开图为半圆，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱. (1)若，求剩下几何体的表面积； (2)当挖去的圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得圆锥的底面圆半径，结合比例可得圆柱的底面半径和高，进而求表面积； （2）分析可知，，利用基本不等式求侧面积最大，即可求圆柱的体积. 【详解】（1）设圆锥的底面圆半径为，圆锥的高为，圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为， 因为圆锥的侧面展开图为半圆，则，解得， 则圆锥的高， 若，则，， 所以剩下几何体的表面积为. （2）因为，即，则，， 可得圆柱的侧面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当挖去的圆柱侧面积最大时，圆柱的体积为. 38．(25-26高一·福建福州第一中学·)如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm. (1)求四棱台的体积； (2)现将铁料打磨成一个圆柱（底面与铁料下底面重合），求圆柱表面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入棱台体积公式计算即可； （2）根据当圆柱侧面积最大时，由相似三角形，得出高与底面半径的数量关系， 进而将圆柱表面积表示成关于半径的二次函数的式子，最后求出表面积的最大值. 【详解】（1）解：由棱台的体积，其中表示上底面面积，表示下底面面积， 因此； （2）设圆柱的底面半径和高分别为，， 由正棱台的轴截面为等腰梯形，圆柱的轴截面为矩形，如图所示： 由图易知：，，，，,, 又，所以，即，则， 所以，圆柱表面积， 由二次函数的性质，当且仅当，. 39．(25-26高一下·湖南师范大学附属中学·)为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由台体的体积公式求解该正四棱台的体积即可；先求出正四棱台的侧面的高，再由梯形的面积公式求解即可. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，.分别用，表示，，即可表示出，令，则，结合函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四棱台体积为， 记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N， 连接，，，， 在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且，，，所以， 所以， 故该正四棱台的侧面积. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，. 由条件可知，，. 此时在等腰梯形中， ，， 所以， 令， 则， 当且仅当时取等号. 40．(25-26高二上·西藏拉萨·期末)（多选）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 【答案】BCD 【分析】利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出其高，结合锥体的体积公式可判断A选项；根据扇形的弧长公式可判断B选项；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式可判断C选项；将圆锥沿着展开，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，设圆锥的母线长、底面半径、高分别为、、， 由题知，圆锥的侧面积，所以，圆锥高， 故该圆锥的体积为，A错； 对于B选项，侧面展开图弧长，圆心角，B对； 对于C选项，由圆的几何性质可知，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，故， 当且仅当，即当时，等号成立， 此时，故，C对； 对于D选项，由B选项知，侧面展开图扇形圆心角， 点在上且，则， 展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为， 最短路径为线段，且，D对. 故选：BCD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专项练习06：立体几何的表面积与体积】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：棱锥的表面积与体积】 1．(25-26高一下·天津第三中学·期中)已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一·安徽合肥第八中学·期中)如图，直三棱柱中，点分别为和的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一下·安徽桐城中学·期中)如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（   ） A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:8 4．(25-26高一·安徽合肥八中教育集团蜀山分校·期中)在棱长为2的正方体中，三棱锥的体积是（   ） A．8 B．4 C． D． 5．(25-26高一·天津蓟州区第一中学·)如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 【题型2：圆锥的表面积与体积】 6．(25-26高一下·广东实验中学·期中)若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一·山东济宁·)若圆锥的母线与轴的夹角为，则其侧面积与过轴的截面面积之比为（   ） A．2 B． C． D． 8．(25-26高一·浙江杭州学军中学·期中)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，圆锥的高分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高一下·河南许昌·期中)已知圆锥SO的侧面积为，其轴截面的直观图为，且轴，，则的长度为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 10．(25-26高一下·浙江温岭第二中学等校·期中)若某圆锥侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥体积为______． 【题型3：棱柱的表面积与体积】 11．(25-26高一·北京大兴区第一中学·期中)已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 12．(25-26高一·湖南长沙明德中学等校·期中)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 13．(25-26高一下·浙江强基联盟·)如图，一个底面边长为的正三棱柱容器中盛有容器容积一半的水，若侧面水平放置时，水面分别过、、、的、、、点． (1)几何体是否为棱台？请说明理由； (2)求图中水面的高． 14．(25-26高二上·上海南洋中学·期中)如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 15．(24-25高一下·云南昆明·期中)已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型4：圆柱的表面积与体积】 16．(25-26高一·浙江A9协作体·期中)已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 17．(25-26高一·安徽合肥第六中学·期中)如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱 (1)求剩下几何体的表面积； (2)求剩下几何体的体积． 18．(25-26高二上·北京中央民大附中（朝阳）·期中)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的表面积为________． 19．(24-25高一下·河北石家庄二中教育集团·期中)已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 20．(24-25高一下·山西部分学校·期中)若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（    ） A． B． C． D． 【题型5：棱台的表面积与体积】 21．(25-26高一下·陕西西安华山中学·期中)已知正四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为________． 22．(25-26高一下·湖南衡阳祁东县第一中学·期中)在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），求： (1)四棱台的表面积； (2)四棱台的体积； (3)求的最小值. 23．(25-26高一·福建宁德第五中学等校·)如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 24．(25-26高一·广东东莞第十三高级中学等校·期中)如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的体积和侧面积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 25．(25-26高一下·浙江强基联盟·)（多选）正四棱台中，已知，则下列说法正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台外接球的半径为 D．若点在棱上，则的最小值为 【题型6：圆台的表面积与体积】 26．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期中)如图所示是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 27．(25-26高一下·陕西咸阳实验中学·期中)已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（   ） A． B． C． D． 28．(25-26高一·福建厦门第一中学·期中)如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ） A． B． C． D． 29．(25-26高一·安徽芜湖安徽师范大学附属中学·期中)如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中，，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体表面积为（   ）    A． B． C． D． 30．(25-26高一下·安徽蚌埠·期中)（多选）如图，为四边形的斜二测直观图，其中 .将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体.则下列说法正确的有（    ） A． B．几何体是圆台 C．几何体的体积为 D．几何体的侧面积为 【题型7：组合体的表面积与体积】 31．(25-26高一·福建厦门第一中学·期中)现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），，分别是上、下底面的中心，且满足. (1)若，求该几何体的体积. (2)若正四棱锥的侧面是正三角形 ①求正四棱锥的侧面积. ②若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 32．(25-26高一下·安徽蚌埠·期中)如图，现有一几何体由上､下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，. (1)若，求该几何体的体积与表面积； (2)若，正四棱锥的侧棱长为6，且分别是线段上的动点，求的最小值. 33．(25-26高一下·重庆西南大学附属中学校·期中)中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米． 34．(25-26高一下·广西柳州民族高级中学·期中)如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 35．(25-26高一下·浙江金兰教育合作组织·期中)《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为． (1)求该组合体的体积； (2)若点为线段上的动点，求的最小值． 【题型8：几何体中的最值问题】 36．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期中)（多选）已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C．若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为 D．若，E为线段AC上的动点，则的最小值为 37．(25-26高一·山东烟台·期中)如图，圆锥的母线长为，侧面展开图为半圆，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱. (1)若，求剩下几何体的表面积； (2)当挖去的圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积. 38．(25-26高一·福建福州第一中学·)如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm. (1)求四棱台的体积； (2)现将铁料打磨成一个圆柱（底面与铁料下底面重合），求圆柱表面积的最大值. 39．(25-26高一下·湖南师范大学附属中学·)为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 40．(25-26高二上·西藏拉萨·期末)（多选）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 1 学科网（北京）股份有限公司 $