培优专题06 多面体的表面积与体积10大题型（期中专项训练）高一数学下学期人教A版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06多面体的表面积与体积 题型归纳·内容导航 题型1 棱柱的表面积（常考点） 题型6棱台的体积 题型2棱锥的表面积 题型7不规则几何体的表面积（重点） 题型3棱台的表面积（常考点） 题型8等体积变换与割补法求体积（重点） 题型4棱柱的体积 题型8面积最值（难点） 题型5棱锥的体积（常考点） 题型10体积最值（难点） 题型通关·靶向提分 题型一棱柱的表面积（共3小题） 1.（24-25高一下辽宁大连期末)如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时 针转动了45°之后，其表面积增加了(). A.8 B.72-48√2 C.96-60V2 D.108-72√2 2.(24-25高一重庆课后作业)如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1 的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是() A.258 B.234 C.222 D.210 3.(21-22高一.全国.课后作业)如图1所示，己知正方体面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块，拼 成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为() 1/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.(1+22)a2B.(2+2)a2 c.(3+22)a2 D.(4+V2)a2 题型二、棱锥的表面积（共3小题） 4.(24-25高一下.全国课后作业)如图，在正方体ABCD-A,B,CD的八个顶点中，有四个顶点A,B,C ，D恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为() D B D B A.5:1 B.1:√2 c.√6：2 D.1:3 5.(23-24高一下.北京延庆期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC=PD=3, ∠PCA=45°，则此四棱锥的侧面积为() A.8V2+2V5+2V3 B.10W2+2√5+2V13 C.4√2+25+213 D.6V2+2V5+2V13 6.(22-23高一下江苏南京·月考)如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表 面积为() A.8V3 B.45 C.25 D.5 2/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三、棱台的表面积（共3小题） 7.(25-25高一全国课后作业)如图，在棱台ABCD-A'B'CD'中，底面ABCD和A'B'CD'为正方形， AB=3,AB′=1，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为() D B A.18 B.10+8√2 C.10+83 D.34 8.(25-26高一河北沧州课后作业)如图，在正六棱台ABCDEF-AB,C,D,E,E中，AE=√5，A,D,=4,四 边形ADD,A的面积为6√3，则该正六棱台的表面积为() B D F A. 551+7V5 B.9V57 c.15V5 D.951+155 2 2 9.（24-25高一下.安徽·月考)乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的 形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为2cm,盘口正六边形边长为6cm,侧棱长为5cm· 如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要0.05g涂料，则共需要涂料约为() (不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：√3≈1.73，√21≈4.58) A.241g B.602g C.702g D.718g 题型四、棱柱的体积（共3小题） 10.（25-26高一下.全国·课后作业)如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-A,B,C,D,容器内灌进一些水， 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E在AA,上时，AE+BF是定值. 其中，正确的说法是() A D 6 A.①② B.① C.①②③ D.①③ 11.(25-26高二上·贵州遵义·月考)如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面ABC水平放置时，水面高为 3,那么当侧面AAB,B水平放置时，水面恰好经过AC,BC,AC,B,C的中点，则AA,=(） B B B B A.3 B.4 C.5 D.6 12.(2025高一.全国.专题练习)如图，在平行六面体AC,中，E是AB的中点，过B,D,E三点的截面 D,B,EF把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为()· 0 A A.3:4 B.5:7 C.4:7 D.7:17 题型五、棱锥的体积（共3小题） 13.(25-26高一下.全国课堂例题)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F,G分别是CD,AD,CC的 中点，过E,F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为() 4/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.313 B. 59 c出 D. 49 1616 72 14.(25-26高一山西运城期末)如图，AB是圆0的直径，PA垂直于圆0所在的平面，PA=AB=2,点 C是弧AB的中点，则三棱锥P-ABC的体积为() A.1 B.2 c D.1 15.(2026陕西西安模拟预测)如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2 时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为() A.27 B.2√万 c.37 D.3 2 题型六、棱台的体积（共2小题） 16.（25-26高一下.全国课后作业)如图，三棱台ABC-A,B,C,中，AB:A,B,=1:2,则三棱锥A,-ABC, B-A,B,C,C-A,B,C,的体积之比为() B A.1:1:l B.1:1:2 C.1:2:4 D.1:4:4 17.（25-26高三下·四川成都·开学考试)古代祭祀用的礼器中，“笾”是盛放干果的器具，底座常为正四棱台， 上承盘体，下接底座.如图，在一个盛满干果的“笾”中，AB=30cm,A,B,=10cm,若从中取出3800g干果 后，干果的高度约下降一半，则剩余的干果的质量约为() 5/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C D A B A.1000g B.1200g C.1400g D.1900g 18.(23-24高一福建厦门课后作业)在正四棱台ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,A,B,=1,AA=√2，则该棱 台的体积为( ) A.5V6 B.21V6 c.76 D.76 6 6 6 3 题型土、不规则几何体的表面积（共3小题） 19.(25-26高三上福建宁德期中)如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，则两个三棱锥D-A,BC, B,-AD,C的公共部分的表面积为() D C B A.32 B.3V3 C.4W2 D.45 20.(23-24高三下·北京海淀·月考)“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体， 其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱 交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2， 高为3√2的正四棱柱构成，则下列说法正确的是() A.一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.该”十字贯穿体”的表面积是32√2 C.该”十字贯穿体"的体积是56V巨 D.一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为4√2 21.(25-26高三上北京顺义期末)由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图）， EF=EA=3,AB=1,M,N分别在EF,FG上，满足EM=NG=I,则几何体FMBNB的体积为 AC= D C A H G E M D 题型八、等体积变换与割补法求体积（共3小题） 22.(2026陕西西安.一模)如图，点A,BB,的中点M及B,C的中点N所确定的平面把直三棱柱 V ABC-ABC切割成体积不同的两部分，记小部分的体积为，大部分的体积为片，则 M 23.(2026高一·上海·课后作业)如图所示，己知多面体ABC-DEFG,AB,AC,AD两两互相垂直，平面 ABC11平面DEFG,平面BEFI1平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为 B G E 24.(2025高三.全国.专题练习)已知四面体PABC,点A在△PBC内，满足△ABP,△ACP,aABC的面积之比 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为3：21，G在线段M上，直线PG交平面4BC于点M,且识G,则四面体PABC与4MB的休积 之比为 题型九面积最值（共3小题） 25.(25-26高一·湖南长沙课后作业)在三棱锥S-ABC中，△SBC,ABC都是等边三角形，且BC=2, 则三棱锥S-ABC表面积的最大值为 26.(23-24高一下.吉林长春期末)有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5.用 它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是 27.(24-25高一上海月考)有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4a, 5a(a>0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则a的取 值范围是· 2 2 4.-3a 44.--3a 5a 5a 题型土、体积最值（共3小题） 28.(2026高三上·湖北孝感.专题练习)已知正四面体P-ABC的棱长为1，正四面体Q-MNG在正四面体 P-ABC的内部，且可以任意转动，则正四面体Q-MNG的体积最大值为 29.(24-25高一下广东东莞·期末)已知正四棱柱ABCD-A,B,CD1中，A4,=2AB=2,在A,B,BB1,BC的 中点各有一个孔O,P,Q.若在此四棱柱内装水，当水面恰好经过三个孔时，可装水的最大体积为 ;若此四棱柱可以任意放置，可装水的最大体积为 20.（22-23高一湖南·月考)在正四棱锥S-ABCD中，M为SC的中点，过AM作截面将该四棱锥分成上 、下两部分，记上下两部分的体积分别为，则兰的最大值是 8/8 专题06 多面体的表面积与体积 题型1 棱柱的表面积（常考点） 题型6 棱台的体积 题型2 棱锥的表面积 题型7 不规则几何体的表面积（重点） 题型3 棱台的表面积（常考点） 题型8 等体积变换与割补法求体积（重点） 题型4 棱柱的体积 题型8 面积最值（难点） 题型5 棱锥的体积（常考点） 题型10 体积最值（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、棱柱的表面积 （共3小题） 1．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为，由可得，即可得答案. 【详解】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D. 2．（24-25高一 重庆·课后作业）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（    ） A．258 B．234 C．222 D．210 【答案】B 【分析】先明确题目的含义：正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，计算即可 【详解】正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔， 正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处， 表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积， 加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的24个小正方形的面积． 则 故选：B． 3．（21-22高一·全国·课后作业）如图1所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据柱体表面积公式去求解即可解决. 【详解】正方体面对角线长为a，则正方体棱长为 拼接后几何体的表面积为 故选：B 题型二、棱锥的表面积 （共3小题） 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 5．（23-24高一下·北京延庆·期末）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则此四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合解三角形知识先求得，进一步结合三角形面积公式以及侧面积的定义即可求解. 【详解】连结交于，连结，则为的中点，如图，    因为底面为正方形，，所以， 在中，， 则由余弦定理可得， 故， 所以， 则， 不妨记， 因为，所以， 即， 则，整理得①， 又在中，，即，则②， 两式相加得，故， 故在中，， 所以， 又，所以， 所以的面积为， 同理可得的面积为， 因为，所以等腰三角形底边上的高为， 所以等腰三角形的面积为， 因为，所以等腰三角形底边上的高为， 所以等腰三角形的面积为， 所以此四棱锥的侧面积为. 故选：A. 6．（22-23高一下·江苏南京·月考）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何体的空间结构特征，求解其表面积即可. 【详解】正方体的棱长为2，根据图形，取正方体一条棱的中点，连接， 则，且，所以， 因为侧面为等边三角形，所以. 所以该八面体的表面积. 故选：B.    题型三、棱台的表面积 （共3小题） 7．（25-25高一全国课后作业）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 【答案】B 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可． 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积． 故选：B． 8．（25-26高一·河北沧州课后作业）如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形先求出正六棱台的上底面边长，进而得到对角线长，利用四边形的面积求得棱台的高，再求出侧棱长，最后分别求出正棱台的侧面积和两底面面积，即得其表面积. 【详解】如图，在正六边形中，, 因 ，由，可得，故,又，则. 不妨记该棱台的高为，易知为梯形的高， 故，解得. 记点A在下底面的射影为M，则点在上， . 易知，则. 过A作，垂足为N，则， 于是， 故梯形的面积为， 于是该棱台的表面积为. 故选:D. 9．（24-25高一下·安徽·月考）乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（    ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据台体的几何性质求出台体的表面积结合每平方厘米需要涂料计算求解. 【详解】如图，盘子侧面等腰梯形的高为，底面面积为， 侧面六个等腰梯形的面积之和为， 所以每个盘子需要刷涂料的面积， 所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料. 故选:B. 题型四、棱柱的体积 （共3小题） 10．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，往透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形的面积不改变；③当在上时，是定值． 其中，正确的说法是（   ） A．①② B．① C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据棱柱的特征，结合图形对三个命题逐一进行分析判断即可． 【详解】显然水的部分呈棱柱状，故①正确； 易知四边形是矩形，且保持不变，随着倾斜度的不同，长度也变化， 所以四边形面积也变化，故②不正确； 由于水的体积不变，即四棱柱的体积不变， 易知四棱柱的高为，即为定值， 故梯形的面积为定值，即为定值， 由于为定值，故是定值，故③正确， 所以三个命题中①③正确. 11．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点，则（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据放置前后，水的体积相等，即等体积法求解. 【详解】当底面水平放置时，水面高为3， 所以由柱体的体积公式可知水的体积. 当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点， 由相似比可知， 所以四边形的面积为， 由等体积法可知，即，解得. 故选：B. 12．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，是的中点，过三点的截面把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】被截面分割成的左边的几何体是个三棱台,要求其体积,由于为中点,可补成锥体,就能迅速求解 【详解】解析  解法1：如图，作的延长线，交的延长线于点，由为的中点知为的中点，连结，则与的交点必为点．作且，且，且，即补上一个全等的平行六面体． 因为平面平面， 且截面平面=，截面平面=， 所以，又因为，所以， 又是的中点，所以是的中点，则截面为梯形，      所以， 又，      所以，即， 又， 所以 所以， 从而． 故选D． 解法2：设平行六面体的底面面积为，高为， 由棱台体积公式， 得， 于是，所以． 故选D． 题型五、棱锥的体积 （共3小题） 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先作出过，，三点的截面为五边形，根据相似，求解长度，根据体积公式即可求解. 【详解】如图，延长，相交于，连接，交于， 同理可作，则，，三点的截面为五边形， 不妨设正方体棱长为1，则，所以， 又，所以． 同理可得，， 可知截得较小部分体积， 所以， 又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为． 故选：C． 14．（25-26高一山西运城·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，点是弧的中点，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意得，且，进而得，再计算体积即可. 【详解】因为是圆的直径，点是弧的中点， 所以，且， 所以， 因为垂直于圆所在的平面，， 所以三棱锥的体积为． 故选：C 15．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 所以注水四棱台的上底边长为，体积， 设注水四棱锥的水面高度为，底面边长为，则，所以， 所以注水四棱锥部分的体积， 因为，即，解得， 故选：A. 题型六、 棱台的体积 （共2小题） 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 17．（25-26高三下·四川成都·开学考试）古代祭祀用的礼器中，“笾”是盛放干果的器具，底座常为正四棱台，上承盘体，下接底座．如图，在一个盛满干果的“笾”中，，，若从中取出干果后，干果的高度约下降一半，则剩余的干果的质量约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式求出盛满干果的“笾”的体积、高度下降一半后的体积，再利用比例式求得答案. 【详解】设正四棱台的高为， 则该四棱台的体积， 过正四棱台四条侧棱中点的平面截该棱台所得的两个几何体均为正四棱台， 则截得较小的正四棱台体积， 设剩余的干果的质量约为，依题意，，则， 所以剩余的干果的质量约为. 故选：C 18．（23-24高一·福建厦门·课后作业）在正四棱台中，，则该棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为，则， 则， 故，则， 所以该棱台的体积为. 故选：C. 题型七、不规则几何体的表面积 （共3小题） 19．（25-26高三上·福建宁德·期中）如图，正方体的棱长为2，则两个三棱锥，的公共部分的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体再计算求解． 【详解】连接它们的交线后如下图所示，是中点，所以， 即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体， 所以表面积为．    故选：D． 20．（23-24高三下·北京海淀·月考）“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（    ） A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B．该“十字贯穿体”的表面积是 C．该“十字贯穿体”的体积是 D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 【答案】C 【分析】对于A：求出，看是否符合勾股定理即可；对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成，分别求出来即可；对于C：求出两个正四棱锥重叠部分为多面体的体积，然后求整个几何体的体积；对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，则线段的长即为所求. 【详解】依题意，不妨设该几何体中心对称， 对于A：在梯形中，，， 则，所以， 即一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线不互相垂直，A错误； 对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成， 故表面积，B错误； 对于C：如图两个正四棱锥重叠部分为多面体，取的中点， 则多面体可以分成个全等的三棱锥， 又， 所以该“十字贯穿体”的体积是，C正确； 对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，如图： 则，所以为钝角， 连接，则线段的长为一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长，根据对称性可得， 因为，所以， 又， 所以， 所以，又， 所以， 则，D错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于几何体表面距离和问题，一般通过将各面旋转转化为共面问题，然后距离最小问题可以转化为两点之间线段最短或者垂线段最短的问题来解答. 21．（25-26高三上·北京顺义·期末）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），  ，分别在上，满足，则几何体的体积为__________；___________. 【答案】 【分析】先求面积，再求三棱锥和的高度，进一步求三棱锥的体积，且根据两个三棱锥和全等得出几何体的体积；构建直角三角形，利用勾股定理，根据已知线段长度计算，得出长度. 【详解】几何体看作以为公共底面的两个三棱锥和的组合， 又因为在正四棱台中，，， 所以，又因为，连接，则为等腰直角三角形， 其面积为：， 连接，交于点，连接，交于点，则垂直于面且为三棱锥的高，平移到，则，即四边形是平行四边形， 所以， 又因为四边形是正方形，所以，分别是，的中点， 且，为等腰直角三角形， 所以，， ， 在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以几何体的体积, 连接，交于点，连接，， 由题意可得，几何体是由两个全等的正四棱台组合， 所以平行且，所以四边形是平行四边形， 所以，且平行， 又因为是两个全等的正四棱台组合的组合体的高， 所以，为直角三角形，由勾股定理可得： . 故答案为：，. 题型八、等体积变换与割补法求体积 （共3小题） 22．（2026·陕西西安·一模）如图，点，的中点及的中点所确定的平面把直三棱柱切割成体积不同的两部分，记小部分的体积为，大部分的体积为，则__________.    【答案】 【分析】先确定平面与棱交点的位置，再将上部分几何体分割成三棱锥和四棱锥，分别计算它们体积与原三棱柱体积的比，最后求比值. 【详解】设平面与棱交点为，则，（可先补成四棱柱，如图易得结论）    所以， ， 所以上部分几何体体积， 因此小部分的体积和大部分的体积之比为， 故答案为： 23．（2026高一·上海·课后作业）如图所示，已知多面体,两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，则该多面体的体积为___. 【答案】4 【分析】法一：将多面体分割成一个直棱柱和一个斜棱柱即可求出；法二：利用补形法将多面体补成了正方体，即可求出. 【详解】法一（分割法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，两两互相垂直，所以可推出. 如图所示，过点作于，连接， 即把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱. 由题知，，. 故所求几何体的体积为. 法二（补形法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半. 又正方体的体积，故所求几何体的体积为. 24．（2025高三·全国·专题练习）已知四面体，点在内，满足的面积之比为，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为_____． 【答案】12 【分析】设，由题意结合向量共线定理可解得，进而可得，于是，进而可求四面体与的体积之比. 【详解】如图，设， 由已知， 所以， 因为三点共线，则，解得， 由可得，则， 于是， 所以. 故答案为：12. 题型九、面积最值 （共3小题） 25．（25-26高一·湖南长沙·课后作业）在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________． 【答案】 【分析】先算固定面面积，再通过二面角表示可变面面积，利用二次函数求其最值，相加可得表面积的最大值. 【详解】 已知，即、均为边长为的等边三角形， 根据等边三角形面积公式（为边长）：， 因此，两个固定面的面积和为：； 取的中点，连接、， 由等边三角形“三线合一”的性质：，（三线合一）， 因此是二面角的平面角，记（）， 在中，，， 由勾股定理： 连接，在中，由余弦定理可得 在中，已知，，， 再由，得 ， 因此： 化简得： 由对称性可知，因此两个可变面的面积和为： 令，由得， 则需最大化二次函数： 该二次函数的二次项系数，开口向下，对称轴为： 对称轴 ，代入得 的最大值： 因此，可变面面积和的最大值为： 三棱锥表面积 ，代入最大值得： 三棱锥表面积的最大值为. 故答案为：. 26．（23-24高一下·吉林长春·期末）有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________． 【答案】52 【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. 【详解】记两直三棱柱为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：    当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为；    ②边长为的边合在一起时，表面积为； ③边长为的边合在一起时，表面积为.    当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：    图④的表面积， 图⑤的表面积，    图⑥的表面积， 图⑦的表面积. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是. 故答案为：. 27．（24-25高一上海 月考）有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是__． 【答案】． 【分析】由不同的拼接方式，分别计算棱柱全面积，根据全面积最小值的情况列不等式求的取值范围. 【详解】①拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况， 将上下底面对接，其全面积为． 边可以合在一起时，其全面积为． 边合在一起时，其全面积为． ②拼成一个四棱柱，有四种情况，其中全面积有三种情况， 就是分别让边长为，，所在的侧面重合， 其上下底面积之和都是， 但侧面积分别为， 显然，三个四棱柱中全面积最小的值为． 由题意得，解得， 所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题除了考查棱柱全面积的计算外，重点在三棱柱和四棱柱的拼接方式，要考虑全面，不能有遗漏. 题型十、 体积最值 （共3小题） 28．（2026高三上·湖北孝感·专题练习）已知正四面体的棱长为1，正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为______. 【答案】 【分析】由题意可得四面体的外接球半径不能超过正四面体的内切球半径，求得正四面体的内切球半径为，从而得，正四面体的边长为,根据，求得，再由体积公式求解即可. 【详解】由题意可得正四面体的外接球要完全包含在正四面体的内部， 即正四面体的外接球半径不能超过正四面体的内切球半径， 设正四面体的外接球半径为，正四面体的内切球半径为， 则有， 又因为正四面体的棱长为1， 过作平面于， 则是正三角形的外心， 所以，， 所以， 又因为正四面体的表面积， 所以， 设正四面体的边长为,外接球心为， 因为， 过作平面于， 则是正三角形的外心， 所以，， 在直角三角形中，由勾股定理可得:， 即，整理得：， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 29．（24-25高一下·广东东莞·期末）已知正四棱柱中，，在的中点各有一个孔，．若在此四棱柱内装水，当水面恰好经过三个孔时，可装水的最大体积为__________；若此四棱柱可以任意放置，可装水的最大体积为__________． 【答案】 【分析】水面恰好经过三个孔时，直接作出截面，求剩余三棱柱的体积即可；当水面只过时，作出截面，剩余部分为三棱台，设，求处三棱台体积的最小值即可. 【详解】设为中点， 因为都是中点，所以共线， ，即四点共面，即水面为平面， 剩余三棱柱，体积为， 则装水最大体积为， 当水面只过时，过作直线与交于点（在点下方）， 与交于点，水面交于， 平面平面，平面平面， 平面平面，， 所以剩余部分为三棱台，设， 又为中点，，所以， 又， 所以， 当时取等，所以取得最小值，此时点在点B处，点E在点处， 剩余部分为三棱锥，台体体积公式仍适用， 所以此时可装水的最大体积为. 故答案为：. 20．（22-23高一·湖南·月考）在正四棱锥中，为的中点，过作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，则的最大值是___________. 【答案】2 【分析】根据给定条件，作出过的正四棱锥的截面，再求出的表达式并结合均值不等式求解作答. 【详解】记正四棱锥的体积为，的最大值，由为定值知，只需求的最小值， 设过的截面分别交和于，平面与平面的交线为与相交于，如图， 则，令，则，即有， ， 当且仅当时取等号，此时， 所以的最大值是2. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 结束 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $