专题训练 立体几何中等体积法的应用-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题训练 立体几何中等体积法的应用（详解版） 一、单选题 1．正方体的棱长为1，为棱的中点，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点面距离 【分析】利用等体积法建立等式，结合三棱柱体积公式计算即可求得点到平面的距离. 【详解】如图：    在中，，，. 所以， 所以，所以. 又. 设到平面的距离为， 则. 故选：A 2．在棱长为1的正方体中，直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】根据题意，转化为求点到平面的距离，利用等体积法求解即可. 【详解】如图，    因为直线到平面的距离等于点到平面的距离， 即求点到平面的距离， 连接，因为平分， 所以点与点到平面的距离相等， 设点到平面的距离为， 因为， 所以, 即，解得， 故选：D 3．在直三棱柱中，，，．E是的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求线面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】先证平面，再由棱锥的体积公式求得，根据已知并应用等体积法求到平面的距离，结合即可求正弦值. 【详解】由平面，平面，则，又， 由，且都在平面内，则平面， 所以， 由题设，可得，，则， 所以，则， 令到平面的距离为，则，可得， 而，所以直线AE与平面所成角的正弦值为. 故选：D 4．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.如图，长方体中，，为棱的中点，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】证明线面平行、求异面直线的距离、异面直线的概念及辨析 【分析】通过线面平行的判定定理，证明平面，将异面直线与之间的距离转化为点与平面之间的距离，再利用等体积法求解即可. 【详解】 取中点，连接， 由，，，， 则， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 故异面直线与之间的距离与平面之间的距离点与平面之间的距离， 设点与平面之间的距离为， 由题意可得，, 则 则三棱锥的体积， 又， 则三棱锥的体积， 又，则， 故选：C. 5．如图，在三棱台中，平面，则与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求线面角 【分析】将棱台补全为棱锥，利用等体积法求到面的距离，结合线面角的定义求与平面所成角的余弦值. 【详解】将棱台补全为如下棱锥，    由，易知：， 由平面平面，则， 所以，故，所以， 若点到面的距离为，又， 则，可得， 综上，与平面所成角，则，即， 则， 故选：B. 6．如图的五面体由棱长为2的正四面体与正四棱锥构成．若平面与平面平行，且把五面体分成体积相等的两部分，则平面与平面之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】要作一个平行于平面的截面将其分成体积相等的两部分，显然上面是一个三棱柱，下面是一个等高的四棱柱，只需上面的小三棱柱的底面积与原来的大三棱柱的底面积之比为即可，于是得到对应边的相似比为，从而即可得解． 【详解】 设平面截五面体所得的截面为， 则三棱柱与四棱柱等高． 因为平面把五面体分成体积相等的两部分， 所以与的面积之比为． 易知与均为等边三角形， 所以． 连接交于点，连接， 则为正四棱锥的高， 所以平面与平面之间的距离． 而， 所以平面与平面之间的距离． 故选：B． 二、多选题 7．如图，正方体的棱长为1，且分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．平面 B． C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质，三棱锥的体积公式，等体积法，针对各个选项即可分别求解. 【详解】对A选项，如图，连接，则为中点，    又为的中点，所以， 又平面平面，平面，故A选项正确； 对B选项，因为在正方体中，所以平面平面， ，由已知得面，面， 则，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 故选：ABD. 8．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ）    A．两条异面直线和所成的角为 B．直线BC与平面所成的角等于 C．三棱柱外接球半径为 D．若M是线段AC上的动点，则M到面的距离为 【答案】BCD 【知识点】求线面角、求点面距离、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用平移法可求异面直线和所成的角判断A；根据线面角的定义可判断B；结合正方体的外接球可判断C，利用等体积法可判断D. 【详解】对于A，连接，因为,    故四边形为平行四边形，则， 则异面直线和所成的角即为或其补角， 由于，即为等边三角形，故，A错误； 对于B，连接，在正方形中，，    因为平面，平面，故， 平面，故平面， 故直线BC与平面所成的角为，B正确； 对于C，三棱柱外接球即为正方体的外接球， 球的半径为正方体体对角的一半，即，C正确； 对于D，连接，由于， 即四边形为平行四边形，则，   平面，平面，故平面， M是线段AC上的动点，则M到平面的距离等于A到平面的距离， ，则, 设A到平面的距离为h， 则，即, 即，则， 即M到平面的距离等于，D正确， 故选：BCD 三、填空题 9．如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 【答案】 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】根据等体积法（）求解即可. 【详解】连接. 因为为直三棱柱，所以平面，. 又平面，所以， 所以，. 因为平面，平面，，所以平面， 所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 设点到平面的距离为，则，即，所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 10．如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是______. 【答案】 【知识点】求线面角、求点面距离、锥体体积的有关计算 【分析】求出点到平面的距离，再求出线段的取值范围，利用线面角的正弦公式求解. 【详解】令正方体的棱长为2，由，得四边形为平行四边形， 则，而平面，平面，于是平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ，，由， 得，解得，矩形中，O为线段AC的中点， 则，令直线OE与平面所成的角为，则， 所以直线OE与平面所成角的余弦值的范围是. 故答案为： 四、解答题 11．如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)192； (3). 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 12．如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）设是的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接、， 由于是的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 由于，所以， 由于平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题训练 立体几何中等体积法的应用（学生版) 一、单选题 1.正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，E为棱DD,的中点，则A到平面ABE的距离为() 4房 B.v6 3 C.② 3 D 2.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，直线BC到平面ACD的距离是() A.月 B. c D.3 3 3.在直三棱柱ABC-A,BC中，AC⊥BC,AC=BC=2,AA=2V2,E是CC,的中点， 则直线AE与平面A,BE所成角的正弦值为() A.3 B.6 C.2v30 D.6 4 15 3 4.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小 值如图，长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2AD=2AA,=2,E为棱CD的中点，则异面直 线AD与D,E之间的距离为() D A. B.② 2 C.v3 3 D.3 2 5.如图，在三棱台ABC-A,B,C,中，AA,⊥平面ABC,∠ABC=90°，AA=A,B,=B,C=1,AB=2 ,则AC与平面BCCB所成角的余弦值为() B A B. 2 C. √2 D. ③ 2 试卷第1页，共3页 6.如图的五面体AFBCDE由棱长为2的正四面体ADEF与正四棱锥ABCDE构成.若平面 与平面BCDE平行，且把五面体AFBCDE分成体积相等的两部分，则平面与平面 BCDE之间的距离为() B D A. 2 B.√2-1 c. 2 D.2-√2 二、多选题 7.如图，正方体ABCD-A,B,CD的棱长为1，且M,N分别为AC,A,B的中点，则下列说法 正确的是（) A B C M、 A.MN∥平面ADD,A B.MN⊥AB C.三棱锥N-BCM的体积为！ 8 D.点A到平面ABD的距离为 3 8.如图，正方体ABCD-A,B,CD的棱长为1，则下列四个命题正确的是() 试卷第1页，共3页 D C A B D A. 两条异面直线DC和BC,所成的角为 直线BC与平面ABCD,所成的角等 C.三棱柱A4D-BB,C外接球半径为 2 D.若M是线段AC上的动点，则M到面4BC,的距离为 3 三、填空题 9.如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，BA⊥BC,BA=BC=BB,=1,则点B到平面ABC的 距离为 C 2B1 A 10.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，O为线段AC的中点，点E在线段AC上，则直 线OE与平面A,BC,所成角的余弦值的范围是 D E D: 0 O 试卷第1页，共3页 四、解答题 11.如图，在圆锥S0中，底面圆心为O,母线SA=10,圆锥的高S0=8,底面圆O的内接 四边形ABCD为正方形. S (1)证明：SA⊥BD: (2)求四棱锥S-ABCD的体积； (3)求直线CD到平面SAB的距离 12.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABIICD,PA=AB=AD=2,CD=1, ∠ADC=90°，E,F分别为PB,AB的中点. D (I)求证：CE‖平面PAD: (2)求点B到平面PCF的距离. 试卷第1页，共3页