广东深圳外国语学校2026届高三年级四月阶段性考试数学试题

**基本信息** 2026届高三四月数学月考卷覆盖复数、集合等核心知识，以芯片检测（第15题）、方格表图书排列（第8题）等情境创新，梯度设计合理，强化数学建模与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、集合运算、双曲线性质等|第8题方格表问题融合逻辑推理，第3题内心几何性质考查空间观念| |填空题|3题15分|解三角形、函数导数、向量夹角|第14题单位向量夹角最值体现数学思维严谨性| |解答题|5题77分|概率分布列、立体几何折叠、导数证明等|第15题芯片检测结合科技情境，第18题导数不等式证明强化逻辑推理，贴合高考命题趋势|

2026届高三年级四月阶段性考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数z满足（1+i）•z＝3﹣i，则z＝（　　） A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i 2．已知集合U＝{x|x＜7，x∈N}，A＝{1，2，4，5}，B＝{3，4，5}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{6} B．{0，6} C．{1，2，3，6} D．{0，1，2，3，6} 3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，M是C左支上一点，点I是△MF1F2的内心，过F1作直线MI的垂线，垂足为G，则G到坐标原点的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．直线l：（2a﹣1）x+（a﹣3）y+4﹣3a＝0与圆（x﹣2）2+y2＝9相交于A，B两点，则|AB|最小值时，a的值是（　　） A． B． C． D． 5．已知f（x）＝sinxcos2x，下列结论中错误的是（　　） A．f（x）既是奇函数也是周期函数 B．f（x）的最大值为 C．f（x）的图象关于直线对称 D．f（x）的图象关于点（π，0）中心对称 6．已知等比数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若，则a4＝（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 7．一个杯口半径为3cm、高为16cm的圆柱形水杯盛有水（不计厚度），当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的，若放入一个半径为r的球（球被完全浸没），水无溢出且恰好充满水杯，则r＝（　　） A．1cm B．2cm C．2.5cm D．3cm 8．为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动．如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书．则所有可能的图书排列方式总数为（　　） A．160 B．192 C．224 D．256 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．关于函数，下列说法正确的是（　　） A．值域 B．值域 C．单调增区间[1，+∞） D．单调减区间（﹣∞，1] 10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB1，点P为线段A1C上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．当A1C＝3A1P时，D1P∥平面BDC1 B．当A1C＝3A1P时，A，P，C1三点共线 C．当A1C＝5A1P时，A1C⊥平面D1AP D．当A1C＝5A1P时，∠D1PA取得最大值 11．已知椭圆C：，F1，F2分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的是（　　） A．△F1PF2的周长是 B．时，△F1PF2的面积是 C．|PF1|•|PF2|的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则△ABO面积的最小值为 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高，则△ABC的周长为　 　 ． 13．定义域为R的函数f（x），满足f′（x）＞1，则关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x）+x﹣1的解集为　 　 ． 14．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为θ，则cos2θ的最小值为 　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片．现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同． （1）质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； （2）自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为X，求X的分布列与数学期望． 16．如图，边长为2的平面正方形中，将△ABD沿BD折至△A′BD，使平面A′BD与平面CBD所成的二面角为直二面角． （1）在空间中找一点O，使得O与A′，B，C，D距离相等，并证明； （2）求平面BDC与平面A′BC所成二面角的正弦值． 17．已知函数，． （1）求φ； （2）△ABC中，若A，B，C构成等差数列，且，求cos2C． 18．已知函数． （1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）（x＞0）的斜率为﹣1的切线方程； （2）若不等式f（x）≥2lnx在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围； （3）当m＝﹣2时，若a，b∈（1，+∞），且，证明：． 19．设A（﹣8，0），B（﹣2，8），O（0，0），点P是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的动点，点P到抛物线C的准线的距离最小值为2． （1）求|PB|的最小值； （2）求tan∠PAB的取值范围； （3）证明：∠PAB≥∠PAO． 参考答案 一．选择题 1．D． 2．B． 3．A． 4．D． 5．B． 6．C． 7．D． 8．B． 二．多选题 9．BCD． 10．ACD． 11．ACD． 三．填空题 12．15． 13．（1，+∞）． 14．． 四．解答 15．解：（1）设“至少抽到1个乙类芯片”为事件A，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”， 则． （2）由题意知X的所有可能取值为2，3，4，5， ，， ，， 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 P ． 16．解：（1）证明：取BD的中点为O点， 在Rt△CBD中，O点与B，C，D距离相等， 在Rt△A′BD中，O点与A′，B，D距离相等， 故BD的中点与A′，B，C，D的距离相等； （2）因为平面A′BD与平面CBD所成的二面角为直二面角， 则平面A′BD⊥平面CBD． 又平面A′BD∩平面CBD＝BD， 在平面CBD中，BD⊥CO；在平面A′BD中，BD⊥A′O， 故BD，CO，A′O两两互相垂直， 以O为原点，OB，OC，OA′分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 又A′（0，0，2），，， 可得，， 设为平面ABC的一个法向量， 则， 易得平面BDC的一个法向量为， 设平面BDC与平面ABC所成的二面角为θ， 由题得． 17．解：（1）由题意得f（0）＝sinφ，结合φ＜0，可得φ； （2）若A、B、C构成等差数列，则2B＝A+C， 可得A+B+C＝3B＝π，解得B，所以）， 根据，且， 可得（舍负）， 因为A+C＝π﹣B， 所以， 可得cos2C＝1﹣2sin2C． 18．解：（1）设曲线y＝f（x）（x＞0）的斜率为﹣1的切线的切点为（x0，f（x0））（x0＞0），， 令，则， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）在（0，+∞）上单调递增， 又f′（1）＝﹣1，所以x0＝1，则， 故曲线y＝f（x）（x＞0）的斜率为﹣1的切线方程为y﹣3＝﹣（x﹣1），即x+y﹣4＝0． （2）由题意知在（0，+∞）上恒成立， 令，则， 令，则， 所以m（x）在（0，+∞）上单调递减，且m（1）＝0， 所以当x∈（0，1）时，m（x）＞0，即h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0， 所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝﹣2． 由题意可知m≥﹣2， 即实数m的取值范围为[﹣2，+∞）． （3）证明：由（2）可知，当m≥﹣2时，在（0，+∞）上恒成立， 所以当m＝﹣2时，在（0，+∞）上恒成立，当且仅当x＝1时等号成立． 因为a，b∈（1，+∞），所以f（a）＞2lna，， 所以，所以， 同理，则，所以， 因为，所以． 由，得当x≥1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增； 当0＜x＜1时，令，则， 令v（x）＝1﹣x3e1﹣x（0＜x＜1），则v′（x）＝x2e1﹣x（x﹣3）＜0， 所以v（x）在（0，1）上单调递减，所以∀x∈（0，1），v（x）＞v（1）＝0，即ω′（x）≥0在（0，1）上恒成立，所以ω（x）在（0，1）上又单调递增． 又，ω（1）＝2＞0，所以存在，使得ω（x0）＝0， 当x∈（0，x0）时，ω（x）＜0，即f′（x）＜0，当x∈（x0，1）时，ω（x）＞0，即f′（x）＞0， 所以f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增． 又，f（x0）＜f（1）＝0，故存在唯一的，使得f（x1）＝0， 所以当x∈（0，x1）∪（1，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（x1，1）时，f（x）＜0． 由上可知，，且a，b∈（1，+∞），f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以a＜b，即， 因为，所以，又a＞1，则， 所以，则， 由，所以． 19．解：（1）易知 p＝4，抛物线C：y2＝8x， 设点t∈R，则， 设， 则， 因为t2+4t+64＝（t+2）2+60＞0， 所以f（t）在 （﹣∞，4）单调递减，在（4，+∞）单调递增， 所以f（t）的最小值为f（4）＝32，故|PB|的最小值为； （2）依题意可知， 由∠PAB＝∠OAB﹣∠OAP（t＞0）或者∠PAB＝∠OAB+∠OAP（t＜0）得： ， ①当t＝0时，， 则 ②当t＞0时，， 所以， 则； ③当t＜0时，，所以， 则． 综上可得tan∠PAB的取值范围是； （3）证明：由（2）知， 且，所以∠PAB≥PAO． 学科网（北京）股份有限公司 $