精品解析：江西景德镇市乐平市2025-2026学年七年级下学期期中考试数学 试卷

江西省景德镇市乐平市2025-2026学年七年级下学期期中考试 数学 试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间100分钟． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 锄禾日当午 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 3. 如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个完全平方式展开后的结果为，那么的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的是过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ） A. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 两点之间线段最短 D. 同位角相等，两直线平行 6. 如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 人体内某种细胞可近似地看作球体，它的直径为0.000000156m，将0.000000156用科学记数法表示为___． 8. 如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________． 9. 某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 10. 我们规定一种运算“★”，其意义为，如．若实数x满足，则x的值为______． 11. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在之间的一条平行线上，若，则的度数是______． 12. 一副直角三角板叠放如图所示，现将含30°角的三角板ABC固定不动，把含45°角的三角板ADE绕顶点A顺时针转动，若0°＜∠BAD＜180°，要使两块三角板至少有一组互相平行，则符合要求的∠BAD的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 14. 已知：如图，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 15. 在如图所示方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不要求写画法）． （1）在图1中，请以C为端点作一条线段，使它与线段平行且相等． （2）在图2中，请在格点上找一点E，作，使得中一个角等于． 16. 阅读下列文字，完成解答填空： 已知：如图，，，，求的度数． 解：因为， 所以，（ ） 所以______，（内错角相等，两直线平行） 所以，（ ） 因为，（已知） 所以______，（等量代换） 所以，（ ） 所以，（两直线平行，同位角相等） 因为，（已知） 所以______． 17. 已知代数式化简后，不含有项和常数项． （1）求的值． （2）求的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a （1）表中的______， ______． （2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 19. 如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． （1）请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； （2）物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； （3）若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 20. 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． （1）配方：______． （2）已知，求的值． （3）用配方法求代数式的最小值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，点O是直线AB上一点，与互为余角，OD是的平分线． （1）直接写出的度数； （2）若，求的度数； （3）若，求的度数． 22. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立，证明如下： 设，，则，．． ，即． （1）根据上述规定，填空：①，； ②若，则． （2）计算：，并说明理由． （3）记，，．求证：． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 在未来的智慧城市中，AI智能巡检机器人是保障城市基础设施安全的“守护者”．这些机器人不仅能自主导航，还能实时分析周围环境，规划最优路径． （1）【问题发现】 ①如图1，直线，点，分别在，上，点为机器人的内部检测点，若，，则______． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为机器人的外部检测点，猜想,，之间的数量关系是______．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，机器人设置了垂直检测线，同时生成检测的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为机器人的内部检测点．AI对检测路线进行优化，设置，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省景德镇市乐平市2025-2026学年七年级下学期期中考试 数学 试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间100分钟． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘．分别对各选项分析判断来求解． 【详解】解∶ A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项正确； D．， 故本选项错误． 故选： C 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟记运算法则并理清指数的变化情况是解题的关键． 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 锄禾日当午 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的可能性，正确理解不可能事件的含义是解题的关键．不可能事件是不可能发生的事件．根据不可能事件的含义，结合具体问题情境判断即可． 【详解】解：A、“手可摘星辰”意为伸手可以摘到星星，由于星星位于地球大气层之外，距离极远，现实中绝对无法通过“手摘”实现，因此为不可能事件； B、“锄禾日当午”描述农民正午在田间劳作，属于日常农事活动，是随机事件； C、“举头望明月”指抬头看月亮，这是人类常见的自然行为，可能发生，是随机事件； D、“鱼戏莲叶东”描述鱼在莲叶东侧游动，鱼的位置具有随机性，可能发生，属于随机事件； 故选A． 3. 如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：由，，不能判定其中的两条直线平行， ， ， 由，能判定另一组直线平行，不能判定， 故选：C． 4. 一个完全平方式展开后的结果为，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构对比系数即可求解的值． 【详解】解：是完全平方式，变形得， 中间项满足， 化简得， 即． 5. 如图所示的是过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ） A. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 两点之间线段最短 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画平行线，平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行，即可求解．熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） 故选：D． 6. 如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴，， ∵， ∴与不一定相等，即不一定成立， 故③错误； ∵，，， ∴，即平分， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 人体内某种细胞可近似地看作球体，它的直径为0.000000156m，将0.000000156用科学记数法表示为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 故答案为： 8. 如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等． 直接根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵直线，相交于点O，， ∴． 故答案为：． 9. 某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了列举法求事件的概率． 根据题意，该同学购买车票的位置共有种情况，其中车票座位靠过道座位有种，从而可得“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 【详解】解： 根据题意，随机选择一个座位，有共5种情况， 其中车票座位靠过道座位有种， “该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 故答案为：． 10. 我们规定一种运算“★”，其意义为，如．若实数x满足，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题可知，， 解方程可得，． 11. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在之间的一条平行线上，若，则的度数是______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 一副直角三角板叠放如图所示，现将含30°角的三角板ABC固定不动，把含45°角的三角板ADE绕顶点A顺时针转动，若0°＜∠BAD＜180°，要使两块三角板至少有一组互相平行，则符合要求的∠BAD的值为________． 【答案】45°或90°或120° 【解析】 【分析】分三种情况根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图1，当AE//BC时，则∠BAE+∠ABC=180°， ∴∠BAE=180°-90°=90°, ∴∠BAD＝90°-45°=45°； 如图2，当DE//AB时，∠BAD＝∠D=90°； 如图3，当DE//AC时，则∠CAD=∠D=90°， ∴∠BAD＝30°+90°=120°； 综上所述，满足条件的∠BAD的值为45°或90°或120°． 故答案为：45°或90°或120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 【答案】（1）-10 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先运用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号，合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式=-8+1-(-)×(-2)=-8+1-3 =-10 ； 【小问2详解】 解：原式=(2x)2-y2-(x2-6xy+9y2) =4x2-y2-x2+6xy-9y2 =3x2+6xy-10y2． 【点睛】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则和完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 14. 已知：如图，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ． （2）30° 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 15. 在如图所示方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不要求写画法）． （1）在图1中，请以C为端点作一条线段，使它与线段平行且相等． （2）在图2中，请在格点上找一点E，作，使得中一个角等于． 【答案】（1） 如图，线段即为所求作的线段； （2） 如图，即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握格点特点． （1）根据格点特点作线段即可； （2）取格点E，作，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． 16. 阅读下列文字，完成解答填空： 已知：如图，，，，求的度数． 解：因为， 所以，（ ） 所以______，（内错角相等，两直线平行） 所以，（ ） 因为，（已知） 所以______，（等量代换） 所以，（ ） 所以，（两直线平行，同位角相等） 因为，（已知） 所以______． 【答案】同角的补角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行； 【解析】 【分析】先根据同角的补角相等得出，由内错角相等，两直线平行得，可得 ，根据等量代换得，根据同位角相等，两直线平行得得，从而可得解． 【详解】解：因为，， 所以，（同角的补角相等） 所以，（内错角相等，两直线平行） 所以，（ 两直线平行，内错角相等） 因为，（已知） 所以，（等量代换） 所以，（同位角相等，两直线平行） 所以，（两直线平行，同位角相等） 因为，（已知） 所以． 17. 已知代数式化简后，不含有项和常数项． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据乘法公式进行整式的化简，根据条件求参数，再代入求代数式的值． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，合并同类项后，根据不含有项和常数项这一条件得到的值． （2）根据乘法公式以及单项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项，最后代入已知字母的值，得到代数式的值． 【小问1详解】 解：， ， ， ∵该代数式中不含有项和常数项， ∴，， ∴解得：，， 且， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∵，， ∴上式． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a （1）表中的______， ______． （2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】（1），33 （2） （3）560个 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． 【小问3详解】 解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 19. 如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． （1）请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； （2）物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； （3）若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 【答案】（1） （2） （3）2400元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件和长方形的面积公式，列出算式，再根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （3）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后把，代入（2）中化简后的式子进行计算即可． 【小问1详解】 解：健身广场的面积 ； 【小问2详解】 解：铺设地砖的面积 ； 【小问3详解】 解：把，代入中，可得：， 购买地砖的总费用为：元． 20. 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． （1）配方：______． （2）已知，求的值． （3）用配方法求代数式的最小值． 【答案】（1） （2）7 （3）1 【解析】 【分析】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：由题意得，， 则，， 故． 【小问3详解】 解：， ， ， 即的最小值为1． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，点O是直线AB上一点，与互为余角，OD是的平分线． （1）直接写出的度数； （2）若，求的度数； （3）若，求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查余角和角平分线的定义以及角的和差计算． （1）利用平角和余角的性质直接计算； （2）先求，再利用角平分线求，最后结合求； （3）通过设未知数，利用比例关系和角平分线关系建立方程求解． 【小问1详解】 解：∵与互为余角， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴； 【小问3详解】 解：设，则． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得． ∴． 22. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立，证明如下： 设，，则，．． ，即． （1）根据上述规定，填空：①，； ②若，则． （2）计算：，并说明理由． （3）记，，．求证：． 【答案】（1）①5；3 ② （2），理由如下： 设，，则，， ， ，即； （3） 证明：，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①②根据“雅对”定义解答即可； （2）设，，仿照题干所给例子解答即可； （3）由已知得出，，整理可得结论． 【小问1详解】 解：①，； ，； ②，，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 在未来的智慧城市中，AI智能巡检机器人是保障城市基础设施安全的“守护者”．这些机器人不仅能自主导航，还能实时分析周围环境，规划最优路径． （1）【问题发现】 ①如图1，直线，点，分别在，上，点为机器人的内部检测点，若，，则______． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为机器人的外部检测点，猜想,，之间的数量关系是______．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，机器人设置了垂直检测线，同时生成检测的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为机器人的内部检测点．AI对检测路线进行优化，设置，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【答案】（1）① ；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行的性质，熟练掌握平行的模型，作出合适辅助线是解题的关键． （1）过拐点作，从而得到，利用平行的性质进行角度计算即可求得答案； （2）过点作,设，，利用平行的性质可得，结合第（1）问的结论即可求解； （3）过点作，过点作，过点作，设，，利用平行的性质将，与用和表示出来，从而得出它们之间的关系． 【小问1详解】 解：①如图，过点作， ， ， ， ， ， ； ②如图，过点作， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，过点作，设，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即， 由（1）可知，． 【小问3详解】 如图，过点作，过点作，过点作，则， 设，， ，， ，, ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $