山西吕梁市文水县部分学校2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷

高一数学答案 一g 单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C D D D A B B 1.由iz=1-2i,则2=1-2=1-2 2 =-2-i, 则复数z对应的点为(-2，-1)，在第三象限.故选：C. 2.因为平行向量就是共线向量，故A错误： 因为单位向量仅要求模长为1，但方向可以完全不同，故B错误： 因为相反向量的定义是模长相等且方向相反，仅方向相反但模长不等的向量不是 相反向量，故C错误： 设两个单位向量a、b,夹角为120°， 则1a+b2=1d2+b2+2a.b=12+12+2×1×1×c0s120°=1，因此a+ b1=1, 即和向量仍为单位向量，故D正确. 3.若向量3d-2b与xa+8b共线， 则存在实数t∈R使得3a-2b=txa+85)=xa+8b,即(3-xt)a=(8t+2)b, 3-xt=0 又ā、b是两个不共线的向量，所以 8+2=0’解得4.故D正确. t二 x=-12 4.对于A、B,由题设易得A'D'=√2，原平面图如下AB=A'B′=4，CD= C'D'=2,AD=2A'D'=2V2,故A、B错误： O(4) F B主 对于C,四边形ABCD的面积为：×(4+2)×2V2=6W2,即C错误. 1 对于D,在原图形中，过C作CF⊥AB交AB于点F,则AF=DC=BF=2, 由勾股定理得CB=」 22+(2W②=2W3, 故四边形ABCD的周长为：4+2+2V2+2√3=6+2V2+2√3，即D正确： 5.由题意符co8A=4B+4CBC2_(o++5-6V5 2AB·AC 2×V10×(1+V5 又0°<A<180°，所以A=45°.故选：A 6.由图可知，c=-2a+2b,d=2a+3b, 则cd=(-2a+2b)2a+3b)=-4a-2a-b+66=-4x1-2x1x1×cos元+6x1=1. 故选：A. 7.设线段AA1、BB1、CC1、DD1的中点分别为A2、B2、C2、D2,如下图所示： D A B 易知四边形AA1B1B为等腰梯形，因为线段AA1、BB1的中点分别为A2、B2, 则A2B2=8t81=5=6, 2 设棱台A1B1C1D1-A2B2C2D2的高为h,体积为V1, 则棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2h,设其体积为V, 则v1-(42+62+6×4)1=6,则V=42+82+8×4)·2h=24五， 224元 所以， 3 56 76 二19 所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为始×57=168 mL. 故选：B 8.在△ABC中，由csinA=V3 acosC及正弦定理，得sin CsinA=V3 sin AcosC, 而4>0，则mC=V5,又0<C<元，因此C=子，而c=26,b=4, 2 由余弦定理得24=c2=d2+b-2 ab cosC=(a+b)2-3ab=(a+b)2-12, 所以a+b=6.故选：B. 二：多选题 9.易知21-名8昌-”-日=8i+6, 对于A,易知乙=+i,其虚部为2故A正确： 对于B,z2l=V⑧2+62=10，故B正确： 对于C,2-121=6+8i-12(（G-)=14i,为纯虚数，故C正确： 对于D,20z1+z2=20(侵)+6+8i=16-2i,对应的点为(16，-2)位于第 四象限， 故D错误. 故选：ABC. 10.对于A, 因为十号即个布在实数4使-万，所以与万不共线，故小 不正确： 对于B,a-b=(-1,-2)-(1,-3)=(-2,1),a·(a-b)=-1x(2H（2k1=0,所以 a⊥(a-),故B正确： 对于C,因为os0= a.b-1x1+(-2)x(-3)V2 万5xi0 =2,00列，所以0=平故c 正确： 对于D,在a上的投影向量为 .a=-1x1+2(3副1-2（1，-2).故D a.b 不正确. 故选：BC. 11.由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确： 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为6×1+8×6×号×1×1×sin60°=6+12V3,故C错 误： 正八面体E一ABCD一F可分为两个全等的正四棱锥，其棱长为3， 过E作E01平面ABCD于O,连接AO,如下图： B 因为EO⊥平面ABCD,且OAC平面ABCD,所以E01OA, 正方形ABCD中，由边长为3，则对角线长为3V2,则OA=3Y三 在Rt△A0E中，0E=VAE2-AO=2,则EF=20E=3V2, 正八面体E-ABCD-F的体积为好×32×3V2=9V2, 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为6××12×号=V2, 2 所以该阿基米德多面体的体积为9V2-√2=8v2, 所以该阿基米德多面体的体积与正八面体E一ABCD一F的体积之比为8：9，故D 正确 故选：BD. 三：填空题 12:【答案】2或0.5 【详解】因为A亚=AC+C2=4C-AB, 又若A亚=xAC+yAB,AC,AB不共线， 1 所以x=1,y= 2' 所以x+y=2 1 13:【答案】4或213 【详解】由nC-手，得cosC-号，由余弦定理cC=+-2cmc. 当csC=2时，c2=9+25-18=16,c=4,此时三角形为直角三角形： 5 3 当cosC=-。时，c2=9+25+18=52,c=2W13,此时三角形为钝角三角形. 14:【答案】100米 【解析】设AB=x(m)(x>0),由题意得AB1BC,AB⊥BD, 4 而∠ACB=30°，∠ADB=45°， 则an∠ACB=2=写tam∠ADB=9=1, BC BD 所以BC=V3x,BD=X, 在△BCD中，coS∠CBD= 3 ,CD=100V2, 由余弦定理得(V3)+x2-2V3x2×9=100V2,解得x=100(负值舍去)， 所以铁塔的高度为100米. 故答案为：100米. 四：解答题 15:(13分) 解：(1)由题可得：c=xa+b=x(2,-3)+(3,m)=(2x+3,m-3x)= (7,-5). 则有积7解化子 …6分 (2)因为平面向量a=(2,-3),b=(3,m),a‖b, 所以=受解得m=-所以向量a=(2,-3),b=(3,-), …8分 所以a+2b=(2,-3)+2(3,-)=(8,-12).…10分 所以a+2b1=V64+144=4V13. …13分 16:（15分)(1)：A为BC中点， 050g400,0c=2a-6. …4分 2 D0=00-0D=0c-20B 3 -2i-6-五-2a-. …7分 (2)·OE=1OA, …8分 ..CE=OE-OC=04-OC =a-(2a-b)=(-2)a+b. …10分 CE与CD共线， ∴.存在实数m,使得CE=CD, 即a-2-6-m-2a+6, …12分 +2-3i-5-0. …13分 2+2m-2=0 a,b不共线， 4 3m=0 ，解得1= …15分 1- 17(15分) 解：（1)证明：在△ABC中，因为2 acosC+2 c cos A=a+c, 则由正弦定理得2 sin AcosC+2 sinC cos A=sinA+sinC, …3分 即2sin(A+C)=sinA+sinC,又sin(A+C)=sin(π-B)=sinB, …5分 所以2sinB=sinA+sinC, …6分 则由正弦定理可得：2b=a+c; …7分 （2)在△ABC中，因为a=7,2b=a+c,则c=2b-7, 由余弦定理有d=b2+c2-2 bc cosA,又A=2π， …9分 3 即49=6+(2b-7刀2-22b-7刀-(2， 化简得：b2-5b=0,解得：b=5或b=0(不合题意，合去)，…11分 故c=2b-7=3, …13分 所以S4c=in=x5x3x5_155 …15分 2 24 18.(17分) 【解析】(1)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，分别取上、下底面的中心O1,O, 连接010，则010=30 分别取B1C1,BC的中点M,N,连接O1M,ON,MN,过M作MH1ON于H, 因为在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=20,AB=40,010=30, 所以MH=010=30,01M=2A1B1=10,0N=2AB=20, 6 在Rt△MNH中，MN=VMH2+HWz=√302+10z=10v10, 所以正四棱台的表面积为 S=202+402+4×号×(20+40)×10W10=2000+1200V10(cm2): D D Sy B …8分 (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱 台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台010的上底面半径为r1=10cm,下底面半径为r2=20cm,高010= 30cm, …10分 所以圆台010的体积为V1=3×I×(102+202+10×20)×30=7000元 (cm3), …12分 因为正四棱台的体积为V=号×(202+402+V202×402)×30=28000( cm3), …14分 所以削去部分的体积为V2=V-V1=28000-7000r(cm3), 所以削去部分与圆台的体积之比28007000”=4工 …17分 7000T 19.(17分) 【解析】(1)因为bcosC+ccosB=2 acosA, 由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=2 sin A cos A,即sin(B+C)= 2sin A cos A, …3分 因为在△ABC中，sim(B+O=simA>0,所以cosA-》 又0<A<1,所以A=行 …5分 (2)因为A=3,b=2,SAA8c=3V3,所以bcsinA=3V3,解得c=6. 由余弦定理得 a=Vh2+c2-2bc0osA=4+36-2×2×6×2=27.…9分 (3)因为A-3a=V3, 结合正弦定理，得6 3 sinB sinc =2,所以b=2sinB,c=2sinC. sin 在△ABC中，siC=sinA+B)=sim(B+） …11分 所以b+c=2sinB+2sinC=2simB+2sim(B+)=2sinB+2 sinBcos-号+ 2cosBsin=3sinB+3cosB=2v3sin(B+ …14分 因为△ABC为锐角三角形，所以{ 0<B<分 0<C=号-B< ,所以后<B<2 则后<B+若<号所以sim(B+)∈（停， …16分 所以b+c∈(3,2W3. …17分 8高一自命题错题补漏 数学 (本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上) 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上。选择题每小题选出答策后，用2B铅笔把答题卡上对应 题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4测试范围：人教A版必修第二册第六章一第八章8.3。 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足i·z=1-2i,则在复平面内，复数z对应的点所在象限是（) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列结论正确的是（) A.平行向量不一定是共线向量 B.单位向量都相等 C.方向相反的两个向量是相反向量 D.两个单位向量之和仍可能是单位向量 3.已知a,b是两个不共线的向量，.若向量3a-2与xa+85共线，则x=（) A.9 B.6 C.-4 D.-12 4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形ABC'D,已知AB'=4, CD'=2,则下列说法正确的是() A.A'D'=2V2 B.AB=2 C.四边形ABCD的面积为3V2 /0(A) B D.四边形ABCD的周长为6+2V3+2V2 5.在△ABC中，BC=√6，AC=√5+1，AB=√10，则A=() A.45° B.60° C.120° D.135° 6.如图，在4×4的菱形网格（每个小菱形的边长均为1) 中， 向量a与万的夹角为5，则ca=() A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台， 上底面边长为8cm,下底面边长为4cm,厚度忽略不 计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入57mL时，酒的高度 恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为() A.114mL B.168mL C.192mL D.228mL 8.△ABC内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若csinA=√3 acosC,c=2√6， ab=4, 则a+b的值为() A.2 B.6 C.4 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分 9. 已知复数21=2=(1+303-)，则（) A.21的共轭复数的虚部为 B.|z2l=10 C.z2-12z1为纯虚数 D在复平面内，复数20z1+z2所对应的点位于第一象限 10.已知平面向量ā=(-1，-2)，b=(1,-3).a与的夹角为0，则（) A.al/b B.a⊥a-b) C.0=45° D.b在a上的投影向量为 11.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体， 每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面 体的每个面的形状不全相同，有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角” 得到，如图，正八面体E一ABCD-F的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去 六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体() A.共有18个顶点 B.共有36条棱 C.表面积为6+8v3 D.与正八面体E-ABCD-F的体积之比为8：9 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若AE=xAC+yAB,则 x+y= 13.在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,b=5,sinC=4 则c= 14.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B 在同一水平面内的两个观测点C与D,现测得cos∠CBD=3, 39 CD=100V2米，在点C处测得塔顶A的仰角为30°，在点D处 测得塔顶A的仰角为45°，测铁塔的高度为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 15.(13分)已知平面向量a=(2,-3),b=(3,m),mER. (1)若c=(7,-5),且c=xa+b,求x和m的值； (2)若a/b,求|a+2b1的值。 高一数学第3页共4页 16.(15分)已知△OAB中，延长BA到C,使AB=AC,D是将OB分成2：1的一 个分点，DC和OA交于点E,设OA=a,OB=b, D (1)用a,6表示向量OC,DC E (2)若OE=1OA,求实数的值。 17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知2 acos C+2 ccos 4=a+c, (1)证明：2b=a+c; 2)设A=2,a=7,求△ABC的面积。 18.(17分) 如图是一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1的铁料，上、下底面的边长分别为20cm 和40cm,高30cm. D (I)求四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积； (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 求削去部分与圆台的体积之比、 19.(17分) 在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c,且bcosC+ccosB=2 acosA. (1)求角A的大小： (2)若b=2,S△4Bc=3V3,求a (3)若△ABC为锐角三角形，a=V3,求b+c的取值范围.