专题06 反比例函数章末56道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦反比例函数核心考点，以7大题型系统覆盖概念理解、性质应用及综合拓展，通过56道压轴题构建从基础到高阶的解题逻辑链，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |K的象限与增减性|8题|含参数分析及比较大小|从k的符号切入，建立图像与性质的关联| |求K或点坐标|8题|结合几何图形与点坐标|强化待定系数法，衔接坐标与函数关系| |k的几何意义|8题|涉及面积计算与图形变换|深化k的几何表征，关联图形面积与函数参数| |与几何综合|8题|含菱形、矩形等图形综合|融合几何性质与函数图像，提升空间观念| |实际问题|8题|如温度变化、振动频率|构建实际情境模型，发展应用意识| |规律问题|8题|含图像平移及数列规律|通过归纳推理，培养数学思维的严谨性| |与一次函数综合|8题|涉及交点、面积及不等式|整合函数综合应用，提升综合解题能力|

专题06 反比例函数章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 根据K的正负判断图像所在象限及增减性 题型二 已知点求K，或已知K求点的坐标 题型三 反比例函数系数k的几何意义 题型四 反比例函数与几何综合 题型五 结合图像解决实际问题 题型六 反比例函数规律问题 题型七 反比例函数与一次函数的综合 【经典例题一 根据K的正负判断图像所在象限及增减性】 1．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）已知反比例函数 (1)若，写出反比例函数的图像所在的象限； (2)当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若点与点均在双曲线上，请比较m与n的大小． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)若函数过点，求当时的函数值y， (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理由； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求x为何值时， ． 3．（25-26九年级上·天津南开·月考）填空： (1)反比例函数，，，的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ； (2)若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 ； (3)已知反比例函数，且、为其图象上的两点，若，，则的取值范围是 ； (4)在函数，，中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的有 个． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值． (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． (3)一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标． 5．（2026·福建泉州·模拟预测）在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为．它们的差为．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： （1）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． （2）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而减小． 这就是一次函数的增减性． (1)请用上述材料中的方法，证明反比例函数的增减性； (2)已知反比例函数，点、都在该函数的图象上，且，试比较与的大小，并说明理由． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究；下表是函数y与自变量x的几组对应值： x … 0 2 3 4 5 … y … 7 4 3 2.5 … (1)函数自变量x的取值范围为 ． (2)根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质： ． 7．（2025·河南焦作·一模）思考：关于函数的图像，下列说法正确的有　　　　（填写正确选项的序号，可以多选） a．图像是双曲线，该双曲线的两支分别在第二、四象限． b．图像是中心对称图形，对称中心是． c．图像是轴对称图形，两条对称轴分别是函数与的图像． d．当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． e．图像与函数的图像交点坐标为、． 探究：我们曾研究过：一次函数的图像可以由正比例函数的图像向下（或向右）平移2个单位长度得到，我们可以借鉴这一经验，探究某些函数的图像和性质： （1）填写下面两个表格： x … 　   　   　 　 　   　　 … … 2 3 6 … x 　    　   　　   　 　　 　　 　 … … 2 3 6 … （2）对比这两个表格，可以看出：把函数的图像向　　　　（填“左”或“右”）平移　　　　个单位长度可以得到函数的图像． 应用：对于函数，请解决下列问题： ①它的图像是中心对称图形，对称中心的坐标为　　　　． ②它的图像是轴对称图形，两条对称轴分别为 　　　　和 　　　　． （3）请描述y随x的变化情况：　　　　　． 拓展： （1）函数的图像可由反比例函数的图像平移得到，求k的值． （2）请直接写出不等式（m为常数）的解集：　　　　　（用含m的代数式表示）． 8．（24-25八年级下·北京昌平·期中）问题：探究函数的图象与性质,小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量x取值范围是_______； (2)下表是y与x的几组对应m=_______； x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 … y … -1 -2 -3 -6 6 3 m 1 … (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，他通过列表描点画出了函数图象的一部分，请结合自变量的取值范围，补出函数图象的另一部分； (4)进一步探究发现，该函数图象有一条性质是：在第三象限的部分，y随x的增大而_______；结合函数图象，写出该函数图象的另外一条性质_______． 【经典例题二 已知点求K，或已知K求点的坐标】 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 10．（2025·河南南阳·一模）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数（，）的图象分别交、于点C、D．已知点C的坐标为，． (1)求k的值． (2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），求出点P的横坐标x的取值范围． 11．（25-26九年级上·全国·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如果点C与点A关于y轴对称，求的面积． 12．（24-25八年级下·上海长宁·期中）已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； (2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若的面积为6，求反比例函数的解析式． 13．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点为A(-2，m)．过点A作AB⊥x轴，且ABO的面积为2． （1）k和m的值； （2）若点C(x，y)也在反比例函数的图象上，当时，直接写出函数值的取值范围． 14．（2025·北京·一模）平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一个交点为点． (1)当点的坐标为时，求的值； (2)当时，对于的每一个值，都有，求的取值范围． 15．（24-25八年级下·上海崇明·月考）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式． (2)一次函数的图象与轴交于点，为反比例函数的图象在第一象限内的一点．若的面积为面积的倍，求点的坐标． (3)将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点，当另一反比例函数的图象与平移后的一次函数图象无交点时，请直接写出的取值范围． 【经典例题三 反比例函数系数k的几何意义】 17．（2025·河南南阳·一模）如图，点在反比例函数的图像上，连接AO并延长、交反比例函数的图像于点B，已知OA=3OB． (1)求n，k的值． (2)若点P在x轴上，且△APB的面积为2，求点P的坐标． 18．（2025·河南郑州·一模）如图，点是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，连接BF． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)设直线DE的解析式为，请结合图像直接写出不等式的解集______． 19．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，点C是反比例函数图象的一点，点C的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若一次函数与反比例函数相交于A，C点，求点A的坐标； (3)在x轴上是否存在一个点P，使得的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，的直角边在轴的正半轴上，反比例函数的图象与斜边相交于点，与直角边相交于点，且． (1)若点，求点的坐标； (2)若，求的值． 21．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA． （1）已知△AOB的面积是3，求k的值； （2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值． 22．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，点A在反比例函数的图象位于第一象限的分支上，过点A作AB⊥y轴于点B，S△AOB=2． （1）求该反比例函数的表达式， （2）若P(x1，y1)、Q(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，且x1x2，y1y2，指出点P、Q各位于哪个象限，并简要说明理由． 23．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4．    (1)请写出：点坐标为______，点坐标为______，点的坐标为______； (2)观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围； (3)连接，求面积． 24．（24-25九年级上·山西晋中·月考）已知反比例函数图象的一支在第一象限，点，均在这个函数的图象上． (1)图象的另一支在第 象限；常数m的取值范围为 ； (2)直接写出a与b的大小关系； (3)若过点作轴于点，连接，若的面积为3，求此反比例函数的表达式； (4)在（3）的条件下，探究在平面内是否存在点D，使以点A，O，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 反比例函数与几何综合】 25．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为），连接，，求的面积． 26．（2026·山西太原·二模）如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)菱形的对角线与相交于点E，将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，求平移后点C的坐标． 27．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足，点A，C，E，G均在双曲线的一支上．其中，点A的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)求三级阶梯的高的长度． 28．（2025·江西赣州·模拟预测）如图，双曲线与分别经过的顶点，且的面积为12，顶点，点的横坐标为2． (1)求出的值； (2)设双曲线与交于点，求出点的坐标及所在直线的解析式． 29．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点，点恰好落在反比例函数的图象上． (1)求和的值； (2)在轴上有一点，连接，，求的面积． 30．（25-26八年级下·北京西城·期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… a 2 5 b 5 2 1 …… (1)写出表中a、b的值：______，______；描点、连线，在答题卡上所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)结合函数图象，下列说法正确的有_______．（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴； ②该函数图象不经过第三象限； ③当时，y随x的增大而减小； ④若点，为该函数图象上不同的两点，则； ⑤该函数图象与直线、以及x轴围成区域的面积大于14． 31．（2026·甘肃陇南·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)把一次函数的图象向上平移3个单位长度，与反比例函数的图象交于点，连接，求的面积． 32．（25-26八年级下·宝山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求点坐标和反比例函数的表达式； (2)点为轴负半轴上一动点，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点在轴上，点在反比例函数上，若以点，，，四个点为顶点构成平行四边形，求点坐标． 【经典例题五 结合图像解决实际问题】 33．（2026·辽宁大连·一模）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用吸管制作乐器 项目准备 1．准备相同规格的吸管，剪刀、刻度尺、计算机等； 2．查阅资料，了解音乐、物理相关的知识． 项目实施 任务一：采集数据 取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），记录数据如下表： … 60 72 90 120 144 160 180 … … 1440 1200 960 720 600 540 480 … 任务二：建立模型 根据表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图象，确定f是l的反比例函数． 任务三：应用模型 下表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，并制作成乐器．尝试用该乐器吹奏一首曲子． 唱名 根据以上信息，解决下列问题： (1)求f与l之间的函数表达式（不要求写出自变量l的取值范围）； (2)当吸管长度为时，求对应的振动频率； (3)在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是多少（结果保留整数）？ 34．（2026·河南开封·一模）教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热．水温开始下降，此时水温（）与开机后用时成反比例关系，直至水温降至．接通电源后，水温（）和时间的关系如图所示． (1)请结合图象，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在及以上的总时间． 35．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式； (2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 36．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 37．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）（1）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为多少？ （2）随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成某种函数关系，它的图象如图所示． ①求出该函数的解析式； ②若该蓄电池测得电阻R为，则电流I为多少？ 38．（2026·宁夏银川·二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现与l有一定的关系，记录了拉力的大小与l的变化，如表： 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 100 (1)表格中的值是___________； (2)屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 39．（25-26九年级上·广东深圳·期末）为预防“甲流”传播，学校用某种含氯消毒剂对教室实施了药物喷洒消毒．在教室内，消毒药物在空气中的浓度y（）随时间x（min）变化的函数关系如图所示，药物喷洒阶段y与x成正比例函数关系；喷洒结束后药物浓度逐渐下降，y与x成反比例函数关系． (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)当教室内的药物浓度不低于时，才能有效灭活病毒．则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多久？ 40．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． (1)求出这个函数的解析式； (2)当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ (3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应满足什么条件？ 【经典例题六 反比例函数规律问题】 41．（24-25九年级上·浙江台州·期末）电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．下表是它们的部分对应值： 频率f（MHz） 10 15 20 25 波长（m） 30 20 15 12 (1)在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率的变化规律？并求出与的函数解析式； (2)当电磁波的频率不超过时，波长至少是多少米？ 42．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． (1)求该反比例函数的解析式； (2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接． ①当点A的横坐标为4时，求的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 43．（2025·北京·模拟预测）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分） 如果有一道数学综合题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师可否在学生注意力达到较为理想的稳定状态下讲解完这道题目？ 你的结论是 （填写“可以”或“不可以”）， 理由是 （请通过你计算所得的数据说明理由）．    44．（24-25九年级上·安徽·月考）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)计算：________，________，________； (2)根据你发现的规律，________．（用含的代数式表示） 45．（25-26九年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： (1)观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； (2)若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； (3)已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 46．（2025·福建福州·一模）我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律．类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的．下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证： 步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象； 步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数的图象； 步骤③：比较反比例函数与函数的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”的平移规律． （1）完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）． （2）根据图象，回答下列问题： ①函数的图象是由反比例函数的图象向______平移______个单位长度后得到的． ②函数的图象的对称中心是______．（填点的坐标） （3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数． 47．（24-25八年级下·江苏南京·期末）【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘 【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：． 图①                      图②                         图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； (2)小明又取物距． ①当时，________（用含有f的代数式表示）； ②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释； (3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题： ①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像； ②试说明：． 48．（24-25九年级上·山东枣庄·自主招生）【问题提出】 若任意两个正数的积是一个固定的数值，则它们的和会存在怎样的规律呢？ 【特列研究】 （1）若两个正数的积是4，则这两个正数是：1和4，2和2，和8，和，… 它们的和分别是5，4，，，…，初步判断：当这两个正数是2和2时，两数的和有最小值为4； （2）若两个正数的积是8，则这两个正数是：1和8，2和4，和16，和，和…，它们的和分别是9，6，，，，…初步判断：当这两个正数是和时，两数的和有最小值为． 【方法迁移】 若a，b为正数，∴，∴，． ∴对于任意正数a、b，总有，且当时，代数式取得最小值为． 【问题解决】 仿照上面的方法说明：对于正数a、b，若是一个固定的数值，当a、b满足什么数量关系时，存在一个最小值，最小值是多少？ 【类比应用】 利用上面所得到的结论，完成填空： (1)已知函数与函数，则当 时，取得最小值为 ； (2)已知函数与函数，则当 时，的最小值为 ； (3)当时，代数式有最 值为 ； (4)如图，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，，试求的最小面积． 【经典例题七 反比例函数与一次函数的综合】 49．（2026·安徽淮南·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)若，求的值； (2)求的值． 50．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长； (3)若两函数图象的另一交点为点，在轴上找一点使得的面积为6，求点坐标． 51．（2025·山东济南·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 52．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，其边长为2，点，点分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象与交于点，函数（为常数，）的图象经过点，与交于点，与函数的图象在第三象限内交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)由图象直接写出关于的不等式的解集． 53．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）定义：以点A为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2的正方形边上所有的点称为“A的关联点”．在平面直角坐标系中 (1)若点A为，下列不是“A的关联点”的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)若点A为 ①反比例函数的图像上有且只有一个“A的关联点”，则______； ②反比例函数的图像上有两个“A的关联点”，且两关联点的距离为，求的值； ③直线记为，l绕原点顺时针旋转后的直线记为，l和上都存在“的关联点”，直接写出m的取值范围． 54．（24-25九年级上·山西吕梁·月考）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)若点的横坐标与点的纵坐标都是1， ①求一次函数的表达式； ②求的面积； ③若，则的取值范围为___________． (2)若点，都在第一象限， ①求的取值范围； ②若，且，求的最小值． 55．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）初中阶段学习函数的方法：通过“列表、描点、连线”的方法画函数图象，根据图象研究性质，用性质解决问题。现用该方法研究函数，已列表如下，解答下列问题． … 0 1 2 4 … … … (1)根据表中数据求中，的值，并在图中画出函数在直线右侧的大致图象； (2)根据函数图象，直接写出时自变量的取值范围； (3)设方程的根为，…，，写出的值并简要说明理由． 56．（2025·重庆·二模）如图，一次函数的图像交x轴于点，交y轴于点，与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为6 (1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图像； (2)请写出反比例函数图象的一条性质：______． (3)在y轴上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 根据K的正负判断图像所在象限及增减性 题型二 已知点求K，或已知K求点的坐标 题型三 反比例函数系数k的几何意义 题型四 反比例函数与几何综合 题型五 结合图像解决实际问题 题型六 反比例函数规律问题 题型七 反比例函数与一次函数的综合 【经典例题一 根据K的正负判断图像所在象限及增减性】 1．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）已知反比例函数 (1)若，写出反比例函数的图像所在的象限； (2)当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若点与点均在双曲线上，请比较m与n的大小． 【答案】(1)第二、第四象限 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握函数图像性质与的关系是解题的关键． （1）将的值代入，由系数的正负判断函数图像的位置； （2）要使y随x的增大而增大，即，解得的取值范围； （3）根据与的大小关系进行分类讨论． 【详解】（1）解：当时，反比例函数， ∵系数为， ∴其图象位于第二、第四象限． （2）解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴，解得． （3）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)若函数过点，求当时的函数值y， (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理由； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求x为何值时， ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)8 【分析】（1）把代入解得，得到，把代入得到函数值； （2）由反比例函数图象经过一、三象限，则，在每个象限内，y随着x的增大而减小，可判断出点，是第一象限内的点，则，，，即可得到，，，则； （3）由反比例函数图象经过一、三象限．得到，在每个象限内，y随着x的增大而减小，则反比例函数位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，根据已知条件得到当时，；当时，，则，，得到，解得：（不合题意，舍去）或，得到，则，，由得到，即可求得x的值； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 当时，， 即当时的函数值； （2），理由如下： ∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴，在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴点，是第一象限内的点， ∴，，， ∴，，， ∴； （3）∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴，在每个象限内，y随着x的增大而减小， 反比例函数位于第二、四象限， 在每一象限内随的增大而增大， 又∵，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是， 当时，；当时，， ∴，， ，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴， ∴，， 由得到， 解得， 经检验，是原方程的根， 当时，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象分别位于一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当时，反比例函数图象分别位于二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大．熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 3．（25-26九年级上·天津南开·月考）填空： (1)反比例函数，，，的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ； (2)若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 ； (3)已知反比例函数，且、为其图象上的两点，若，，则的取值范围是 ； (4)在函数，，中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的有 个． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质． （1）根据反比例函数的图象和性质，即可求解； （2）由反比例函数的图象在第二、四象限，可得，即可得的取值范围； （3）根据题意可得反比例函数图象的两个分支分别位于第二四象限，可得，即可得的取值范围； （4）根据反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】（1） 解：反比例函数，，的图象在第一、三象限， 反比例函数的图象在第二、四象限． 故答案为：，； （2） 解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：； （3） 解：∵反比例函数，且、为其图象上的两点，，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二四象限， ∴， ∴． 故答案为：； （4） 解：∵，其图象是中心对称图形且对称中心是原点， ∴在函数，，中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的有个． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值． (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． (3)一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标． 【答案】(1) (2)和 (3)3或 【分析】（1）根据在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小求解即可； （2）根据题意可得或，代入反比例函数解析式可得n的取值范围； （3）分两种情况讨论①当点C在A点的右侧，②当点C在A点的左侧，根据面积关系列出相应的方程求出m值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小， ∴当时，最小值为， 当时，最大值为， 由①，②得：． （2）∵到y轴的距离大于3， ∴或， ∵， ∴或； （3）解，得，， ∴． 解，得， ∴， ∴ ∴ ①当点C在A点的右侧 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ②当点C在A点的左侧， 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴（舍），， 所以点C的横坐标为3或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数k得几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2026·福建泉州·模拟预测）在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为．它们的差为．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： （1）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． （2）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而减小． 这就是一次函数的增减性． (1)请用上述材料中的方法，证明反比例函数的增减性； (2)已知反比例函数，点、都在该函数的图象上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）设反比例函数，取自变量，，，同号，且，对应的函数值为，，按照和进行分类讨论，比较，的大小，即可求解； （2）反比例函数，，根据（1）所得结论即可求解． 【详解】（1）证明：设反比例函数，分同一象限（即同号）的情况讨论： 取自变量，且，对应的函数值为，． ， 由，得； 又∵同号（同一象限）， ∴， ∴． 当时，， 即，． 结论：在每个象限内，随的增大而减小． 当时，， 即，． 结论：在每个象限内，随的增大而增大． （2）解：，理由： 已知反比例函数，其中． 由（1）的结论：当时，在每个象限内，随的增大而减小． 又， ∴，两点在第一象限（同一象限）， ∴． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究；下表是函数y与自变量x的几组对应值： x … 0 2 3 4 5 … y … 7 4 3 2.5 … (1)函数自变量x的取值范围为 ． (2)根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质： ． 【答案】(1) (2)，，图象见解析 (3)当时，随的增大而减小(答案不唯一) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，用描点法画反比例函数的图象， （1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量的取值范围； （2）把，代入函数解析式即可得到和的值，依据表格得点的坐标描点连线即可得到函数图象； （3）依据函数的图象可得函数的增减性． 【详解】（1）解：， ， ∴函数自变量x的取值范围为． 故答案为：； （2）解：把，代入函数得： ， 解得，； 画出该函数图象如图所示： （3）解：由图象可知，当时，随的增大而减小（答案不唯一）． 7．（2025·河南焦作·一模）思考：关于函数的图像，下列说法正确的有　　　　（填写正确选项的序号，可以多选） a．图像是双曲线，该双曲线的两支分别在第二、四象限． b．图像是中心对称图形，对称中心是． c．图像是轴对称图形，两条对称轴分别是函数与的图像． d．当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． e．图像与函数的图像交点坐标为、． 探究：我们曾研究过：一次函数的图像可以由正比例函数的图像向下（或向右）平移2个单位长度得到，我们可以借鉴这一经验，探究某些函数的图像和性质： （1）填写下面两个表格： x … 　   　   　 　 　   　　 … … 2 3 6 … x 　    　   　　   　 　　 　　 　 … … 2 3 6 … （2）对比这两个表格，可以看出：把函数的图像向　　　　（填“左”或“右”）平移　　　　个单位长度可以得到函数的图像． 应用：对于函数，请解决下列问题： ①它的图像是中心对称图形，对称中心的坐标为　　　　． ②它的图像是轴对称图形，两条对称轴分别为 　　　　和 　　　　． （3）请描述y随x的变化情况：　　　　　． 拓展： （1）函数的图像可由反比例函数的图像平移得到，求k的值． （2）请直接写出不等式（m为常数）的解集：　　　　　（用含m的代数式表示）． 【答案】思考：b，c，e；探究：（1），，，，，，，，，，，，；（2）右，1；应用：①；②直线，直线；（3）当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小；拓展：（1）6；（2）或 ． 【分析】思考：利用反比例函数图像性质，直接判断即可； 探究：根据正比例函数图像是指图像向下移动两个单位，以此类推反比例函数到是图像向下移动一个单位，由此来填写表格即可； 应用：到是图像向下移动一个单位，对称中心和对称轴也会向下移动一个单位，到是函数向右移动两个单位得到的，期间对称中心和对称轴都会和函数一样向右移动2个单位，函数增减性，由当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，变为当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小； 拓展：函数，函数的图像可由反比例函数的图像平移得到，；根据函数的平移规律，将m看成一个常数求解即可． 【详解】解：思考： 的图像是双曲线，该双曲线的两支分别在第一、三象限，故a错误； 的图像是中心对称图形，对称中心是，故b正确； 的图像是轴对称图形，两条对称轴分别是函数与的图像，故c正确； 中，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而减小，故d错误； 的图像与函数的图像交点坐标为、，故e正确； 故答案为：b，c，e； 探究： （1） x    　          　3 　2   1 … 2 3 6 … x   0         4   3    2 … … 2 3 6 … 故答案为：，，，，，，，，，，，，； （2）表格可知，把函数的图像向右平移1个单位长度可以得到函数的图像， 故答案为：右，1； 应用： ①函数的图像是中心对称图形，对称中心的坐标为； 故答案为：； ②将直线与先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得直线和直线， ∴函数的图像是轴对称图形，两条对称轴分别为直线和直线； 故答案为：直线和直线； （3）函数中，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小； 故答案为：时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小； 拓展： （1）， ， 函数的图像可由反比例函数的图像平移得到， ； （2）的图像看作向右平移m个单位，再向上平移m个单位， 而的解是或， 不等式的解集为或 ， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数图像的性质，借助正比例函数图像的移动规律来推测反比例函数图像的移动规律是本题的解题关键． 8．（24-25八年级下·北京昌平·期中）问题：探究函数的图象与性质,小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量x取值范围是_______； (2)下表是y与x的几组对应m=_______； x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 … y … -1 -2 -3 -6 6 3 m 1 … (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，他通过列表描点画出了函数图象的一部分，请结合自变量的取值范围，补出函数图象的另一部分； (4)进一步探究发现，该函数图象有一条性质是：在第三象限的部分，y随x的增大而_______；结合函数图象，写出该函数图象的另外一条性质_______． 【答案】(1) (2)2 (3)见解析 (4)减小，在第一象限的部分，y随x的增大而减小或图象无限接近x轴，但永远不能到达x轴，或图象与x轴无交点，或图象无限接近直线y轴，但永远与y轴无交点等． 【分析】（1）由反比例函数的性质，即可得到答案； （2）直接把代入解析式，即可得到答案； （3）根据所列表格，进行描点、连线，即可得到答案； （4）结合函数图像，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴自变量x取值范围是； 故答案为：； （2）解：根据题意， 当时，； ∴； 故答案为：2; （3）解：如图： （4）解：在第三象限的部分，y随x的增大而减小； 在第一象限的部分，y随x的增大而减小或图象无限接近x轴，但永远不能到达x轴； 或图象与x轴无交点，或图象无限接近直线y轴，但永远与y轴无交点等； 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行判断． 【经典例题二 已知点求K，或已知K求点的坐标】 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质． （1）根据题意可判断反比例函数在第二、四象限，此时，进而求得k的取值范围； （2）将点代入反比例函数解析式即可求得k的值． 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数在二、四象限， ∴， 解得， 即k的取值范围是． （2）解：∵点在该函数图象上， ∴代入反比例函数得：， 解得， 即k的值为． 10．（2025·河南南阳·一模）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数（，）的图象分别交、于点C、D．已知点C的坐标为，． (1)求k的值． (2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），求出点P的横坐标x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值． （1）根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值； （2）再把代入函数解析式，即可得到点的坐标，再求出点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 解得； （2）解：． 点的纵坐标为1， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， 即点的坐标为， 点，点，点在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界）， 点的横坐标的取值范围是． 11．（25-26九年级上·全国·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如果点C与点A关于y轴对称，求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查“一次函数与反比例函数的交点问题”，利用点坐标求出解析式是解题关键． （1）利用点A的坐标求出反比例函数的解析式，再以此求出点B的坐标，从而求出一次函数的解析式； （2）利用对称性求出点C的坐标，再通过坐标系中图形面积的求法解出面积即可． 【详解】（1）解：代入点到，得， ∴， ∵点B在上， ∴， ∴， 代入点，到，得 解得 ∴； （2）解：如图所示， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴，平行于x轴， ∴，， ∴． 12．（24-25八年级下·上海长宁·期中）已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； (2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若的面积为6，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)该函数图象的另一支在第三象限， (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用： （1）根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可； （2）根据值的几何意义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据反比例函数的图象关于原点对称可知，该函数图象的另一支在第三象限，且， 则； （2）设与x轴交于点C． ∵点B与点A关于x轴对称， ∴轴， ∵的面积为6， ∴的面积为3， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 13．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点为A(-2，m)．过点A作AB⊥x轴，且ABO的面积为2． （1）k和m的值； （2）若点C(x，y)也在反比例函数的图象上，当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1）m=2；；（2）． 【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值； （2）先分别求出x=1和x=3时，y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：（1）∵A（2，m）， ∴OB=2，AB=m， ∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=2， ∴m=2； ∴点A的坐标为（2，2）， 把A（-2，2）代入， 得k=2×2=4； （2）∵反比例函数为， ∴当x=1时，y=4；当x=3时，， 又∵反比例函数在x＞0时，y随x的增大而增大， ∴当1≤x≤3时，y的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力． 14．（2025·北京·一模）平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一个交点为点． (1)当点的坐标为时，求的值； (2)当时，对于的每一个值，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题是一次函数与反比例函数交点问题，考查了一次函数的图象性质，求反比例函数解析式，反比例函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据一次函数，求出点的坐标为，进而即可求出的值； （2）画出一次函数和反比例函数的图象，再分和两种情况讨论，即可得到答案 【详解】（1）解：在直线上， ， 点的坐标为， 在反比例函数上， ； （2）解：一次函数和反比例函数图象如下图： 当时，若，对于的每一个值，都有， 当时，若，则， 解得：， 的取值范围为或． 15．（24-25八年级下·上海崇明·月考）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 16．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式． (2)一次函数的图象与轴交于点，为反比例函数的图象在第一象限内的一点．若的面积为面积的倍，求点的坐标． (3)将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点，当另一反比例函数的图象与平移后的一次函数图象无交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把代入得到，代入反比例函数即可求解； （）求出点的坐标为，再由得到点的坐标为，得到，设点的纵坐标为，由的面积为面积的倍，得到，即可求解； （）求出平移后一次函数为，即可得到反比例函数的图象位于第二、四象限，进而得到的取值范围； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积问题，一次函数的平移，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点的坐标为， ∴， 由得，， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， 设点的纵坐标为， 则， ∵的面积为面积的倍， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （3）解：将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点，得到的一次函数为， ∴平移后的一次函数图象经过第一、三象限， ∵反比例函数的图象与平移后的一次函数图象无交点， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴． 【经典例题三 反比例函数系数k的几何意义】 17．（2025·河南南阳·一模）如图，点在反比例函数的图像上，连接AO并延长、交反比例函数的图像于点B，已知OA=3OB． (1)求n，k的值． (2)若点P在x轴上，且△APB的面积为2，求点P的坐标． 【答案】(1)n=1， (2)（-3，0）或（3，0）． 【分析】（1）将点A（-3，n）代入y=-可求出n的值，进而求出△OAM的面积，再根据OA=3OB，求出△BON的面积，从而确定k的值； （2）分两种情况进行解答，即点P在点O的左侧或右侧，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）如图，过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M、N， 将点A（-3，n）代入得， n=-=1， ∴， 由△AOM∽△BON得，， ∴， 又∵k＜0， ∴， 即：n=1，； （2）设点P的坐标为（x，0）， 当点P在原点的左侧时，由于△APB的面积为2， 所以， 解得x=-3； 当点P在原点的右侧时，由于△APB的面积为2， 所以， 解得x=3； 所以点P的坐标为（-3，0）或（3，0）． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提． 18．（2025·河南郑州·一模）如图，点是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，连接BF． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)设直线DE的解析式为，请结合图像直接写出不等式的解集______． 【答案】(1)3 (2)4.5 (3)或 【分析】（1）把点代入反比例函数，可求得a的值，继而可求得点B、M的坐标，然后将M的坐标代入反比例函数，即可求得答案； （2）连接OD，由D、B分别是反比例函数，图象上的点和k的几何意义可求得和，然后根据即可求得答案 （3）由题意可得，在第一象限内，结合直线DE和反比例函数的图象即可求得答案. 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得：， ∴点， ∵M是OB的中点， ∴， ∴将代入反比例函数， 得：； （2）解：如图，连接OD， ∵D、B分别是反比例函数，图象上的点， ∴，， ∴， 由题意可知，BD//OF， ∴ ∴的面积为4.5． （3）解：反比例函数， 当y=3时，x=1；当x=4时，y=， ∴， 由图象可知，当或时，反比例函数的图象在直线的上方， ∴不等式的解集为或. 【点睛】本题主要考查求反比例函数解析式、反比例函数与几何、比例系数的几何意义以及利用图像求不等式的解集，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键. 19．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，点C是反比例函数图象的一点，点C的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若一次函数与反比例函数相交于A，C点，求点A的坐标； (3)在x轴上是否存在一个点P，使得的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，P点的坐标为或． 【分析】（1）把代入解方程即可得到结论； （2）把代入得到，解方程组即可得到结论； （3）根据的面积为10，可得，解得； 或，解得；即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入得：，解得， ∴， ∴， ∴或， ∴点A的坐标为； （3）解：存在． 理由：假设存在，设P点坐标为， 设直线与x轴交于点M 当时，，解得：， ∴点M ∵， ∴，解得； 或，解得； ∴P点的坐标为或 故存在P点使得的面积为10． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，三角形的面积是． 20．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，的直角边在轴的正半轴上，反比例函数的图象与斜边相交于点，与直角边相交于点，且． (1)若点，求点的坐标； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的坐标可知、的长度，进而确定反比例函数的关系式，由，根据相似三角形可求出点的横坐标，由其横坐标可求出纵坐标； （2）根据三角形相似得到，，设点，则，即可得到，然后根据三角形面积得到，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为点， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入得， ∴； （2）∵轴， ∴， ∵轴 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设点，则，把代入，得， ∴， ∴，中边上的高为， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质及相似三角形的性质等知识，解题关键是求出相应的点的坐标． 21．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA． （1）已知△AOB的面积是3，求k的值； （2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）依据△AOB的面积是3，即可得到mn=6，进而得出k的值； （2）延长DC交x轴于E，依据四边形ABED是矩形，即可得到DE=AB=n，CE=n-m，OE=m+n，进而得到C（m+n，n-m），根据点A，C都在双曲线上，即可得到mn=（m+n）（n-m），进而得出的值． 【详解】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B， ∴AB＝n，OB＝m， 又∵△AOB的面积是3， ∴mn＝3， ∴mn＝6， ∵点A在双曲线y＝上， ∴k＝mn＝6； （2）如图，延长DC交x轴于E， 由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°， ∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°， ∵AB⊥x轴， ∴∠ABE＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠DEB＝90°， ∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n， ∴C（m+n，n﹣m）， ∵点A，C都在双曲线上， ∴mn＝（m+n）（n﹣m）， 即m2+mn﹣n2＝0， 方程两边同时除以n2，得 +﹣1＝0， 解得＝， ∵n＞m＞0， ∴＝． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题时注意：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 22．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，点A在反比例函数的图象位于第一象限的分支上，过点A作AB⊥y轴于点B，S△AOB=2． （1）求该反比例函数的表达式， （2）若P(x1，y1)、Q(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，且x1x2，y1y2，指出点P、Q各位于哪个象限，并简要说明理由． 【答案】（1）；（2）P点在第三象限，Q在第一象限，理由见解析 【分析】（1）利用反比例函数k的几何意义即可求解； （2）根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：（1）设点A的坐标为（x，y）， 由图可知x、y均为正数， 即OB=x，AB=y， ∵△AOB的面积为2， ∴AB•OB=4，即x•y=4， 可得k=4， ∴该反比例函数的表达式为； （2）∵反比例函数位于一、三象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，若两点位于同一象限，则当x1>x2，y1y2， 所以P、Q两点一定位于不同的象限， 因x1x2，y1y2， 所以点Q在第一象限，P在第三象限． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数的性质，解答本题关键是求出k的值，得出反比例函数解析式． 23．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4．    (1)请写出：点坐标为______，点坐标为______，点的坐标为______； (2)观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围； (3)连接，求面积． 【答案】(1)；； (2) (3)面积为3 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，关键是利用函数解析式求点的坐标，结合坐标特征分析图形面积． （1）先代入点的横坐标求出其纵坐标；再由，用中点坐标公式求点的坐标；最后根据轴，结合反比例函数解析式求点的坐标； （2）根据反比例函数的单调性，当时，函数值随增大而减小，结合时的函数值，确定的取值范围； （3）取的中点，确定是的中位线，从而得到轴；将拆分为与，分别计算两个三角形的面积后求和． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上，且横坐标为，代入得， ∴点的坐标为． ∵， ∴点是线段的中点， 设点的坐标为，由中点坐标公式得，， 解得，， ∴点的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为，代入得，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：；；． （2）解：对于函数，当时，随的增大而减小，且时，且， ∴； （3）解：如图，取中点，连接D．    ∴是的中位线， ∴．， ∵轴， ∴轴. 对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为， ∴，， ∴． 24．（24-25九年级上·山西晋中·月考）已知反比例函数图象的一支在第一象限，点，均在这个函数的图象上． (1)图象的另一支在第 象限；常数m的取值范围为 ； (2)直接写出a与b的大小关系； (3)若过点作轴于点，连接，若的面积为3，求此反比例函数的表达式； (4)在（3）的条件下，探究在平面内是否存在点D，使以点A，O，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)三，； (2)； (3) (4)存在，或或． 【分析】（1）由反比例函数的性质可得答案； （2）由反比例函数的增减性可得答案； （3）根据反比例函数的几何意义列方程可得答案； （4）设，根据平行四边形对角线中点重合，分三种情况列方程组，分别解方程组即可得到的坐标． 【详解】（1）反比例函数图象的一支在第一象限， 图象的另一支在第三象限，， ， 故答案为：三，； （2）反比例函数在第一象限，随的增大而减小， ， ； （3）如图： 轴，的面积为3， ， 解得； ∴此反比例函数的表达式为； （4）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由（3）知， 把，代入得： ，， ，， 设，又， ①若，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； ②若，为对角线，则，的中点重合， ， 解得； ， ③若，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题． 【经典例题四 反比例函数与几何综合】 25．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为），连接，，求的面积． 【答案】的面积为． 【分析】根据题意可得，，，则，可得反比例函数解析式为，将代入可得，即，利用割补法求解面积即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， 将代入可得， ∴， 将代入可得，即， 如图，作轴于点E，于点F， 则的面积， 答：的面积为． 26．（2026·山西太原·二模）如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)菱形的对角线与相交于点E，将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，求平移后点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，如图，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点代入即可得到结论； （2）设菱形向右平移个单位长度，此时，由在反比例函数的图象上．得到，求出m，再根据平移的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图， ， ， 菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上． ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵菱形， ， 又 ∵， ，即， 设菱形向右平移个单位长度，此时， ∵E在反比例函数的图象上． ∴， 解得． ∵， ∴平移后的坐标为． 27．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足，点A，C，E，G均在双曲线的一支上．其中，点A的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)求三级阶梯的高的长度． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2)3 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式； （2）根据已知条件依次求出点C、E、G的坐标，最后根据线段的长度等于点G与点E的纵坐标之差来求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵，且线段与坐标轴平行， ∴点C的横坐标为，代入得：，即， ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点E的横坐标为，代入得：，即， ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点G的横坐标为，代入得：，即， ∵的长度等于点G与点E的纵坐标之差， ∴． 28．（2025·江西赣州·模拟预测）如图，双曲线与分别经过的顶点，且的面积为12，顶点，点的横坐标为2． (1)求出的值； (2)设双曲线与交于点，求出点的坐标及所在直线的解析式． 【答案】(1) (2)点E的坐标为， 【分析】（1）由的面积列式求解即可得出点的坐标，将点的坐标代入解析式即可求出，由的横坐标可知轴，由此可得点的坐标，进而求出； （2）过点作轴于点，则，即，设，则点的坐标为，代入反比例函数表达式即可求出，进而求出的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解．． 【详解】（1）解：∵，点的横坐标为2， ， ∵在中，， ∴点的横坐标为， 连接，则轴，如图所示： ∵的面积为12， ，解得， ， ∵双曲线与分别经过的顶点 ， ∴； （2）解：过点作轴于点，如图所示： 由（1）得轴， 则，即， 设， 则点的坐标为， ， ∴， ∵点在的图象上， ∴，解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 设所在直线的解析式为，将，代入得 解得： ∴所在直线的解析式为． 29．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点，点恰好落在反比例函数的图象上． (1)求和的值； (2)在轴上有一点，连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A，B作轴，轴，根据列式计算即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得； ∴反比例函数的解析式为， ∵将点A向右平移3个单位， ∴， 当时，， ∴，此时； （2）解：过点A，B作轴，轴，垂足分别为E，F． ∵，，， ∴，，，，． ∴ ． 30．（25-26八年级下·北京西城·期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… a 2 5 b 5 2 1 …… (1)写出表中a、b的值：______，______；描点、连线，在答题卡上所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)结合函数图象，下列说法正确的有_______．（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴； ②该函数图象不经过第三象限； ③当时，y随x的增大而减小； ④若点，为该函数图象上不同的两点，则； ⑤该函数图象与直线、以及x轴围成区域的面积大于14． 【答案】(1), ，画图见解析 (2)①②④⑤ 【分析】（1）根据函数的表达式，代入计算即可．根据画图像的步骤画出图象即可． （2）结合图象逐一判断即可． 【详解】（1）解：在中，当时, ，即， 当 时, ，即； 函数图象如下所示： （2）解：①由函数图象可知，该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴，原说法正确； ②该函数的图象在轴上方，即图象不过第三象限，原说法正确； ③由函数图象可知，当时，随的增大而增大，原说法错误； ④因为点，为关于轴对称，故，原说法正确； ⑤如图，图象与直线、以及x轴围成区域的面积大于黑色边框圈出的面积，即大于，原说法正确； 故说法正确的有①②④⑤． 31．（2026·甘肃陇南·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)把一次函数的图象向上平移3个单位长度，与反比例函数的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入一次函数求出，再将其代入反比例函数求解，即可解题； （2）根据平移性质先求出平移后的一次函数表达式，令平移后的一次函数与轴的交点坐标为，连接，联立反比例函数解析式求出交点坐标，再结合同底等高，利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点， ， 解得． 点， ， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数， 令，则． 令平移后的一次函数与轴的交点坐标为，连接． 联立方程组 解得或（舍去）． ． 由平移得， 同底等高． ， ． 32．（25-26八年级下·宝山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求点坐标和反比例函数的表达式； (2)点为轴负半轴上一动点，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点在轴上，点在反比例函数上，若以点，，，四个点为顶点构成平行四边形，求点坐标． 【答案】(1)，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为或 (3)点坐标为或 【分析】（1）在中，令，求出点坐标，再求出点的坐标，利用待定系数法即可求反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，求出，则，进而根据勾股定理求出，再分两种情况：当时，当时，即可求解； （3）分两种情况：当点时，与为对角线，当点时，与为对角线，根据中点坐标公式列方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ， 令，则， ， 将代入，得， 反比例函数的表达式为； （2）如图，过点作轴于点， 联立， 解得或， ， 则， ， ， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 综上，点的坐标为或； （3）设，， 当点时，与为对角线， ， ，， 解得，， ； 当点时，与为对角线， ，， 解得，， ； 综上，点坐标为或． 【经典例题五 结合图像解决实际问题】 33．（2026·辽宁大连·一模）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用吸管制作乐器 项目准备 1．准备相同规格的吸管，剪刀、刻度尺、计算机等； 2．查阅资料，了解音乐、物理相关的知识． 项目实施 任务一：采集数据 取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），记录数据如下表： … 60 72 90 120 144 160 180 … … 1440 1200 960 720 600 540 480 … 任务二：建立模型 根据表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图象，确定f是l的反比例函数． 任务三：应用模型 下表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，并制作成乐器．尝试用该乐器吹奏一首曲子． 唱名 根据以上信息，解决下列问题： (1)求f与l之间的函数表达式（不要求写出自变量l的取值范围）； (2)当吸管长度为时，求对应的振动频率； (3)在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是多少（结果保留整数）？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）理解题意，设，再把代入，求出，即可作答． （2）理解题意，直接把代入，得，即可作答． （3）唱名对应的吸管的振动频率是，结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵f是l的反比例函数． ∴设 依题意，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得出f与l之间的函数表达式为； 依题意，把代入，得， 即吸管长度为时，对应的振动频率为， （3）解：依题意，唱名对应的吸管的振动频率是， 由（1）得出f与l之间的函数表达式为； 则， ∴， 即在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是． 34．（2026·河南开封·一模）教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热．水温开始下降，此时水温（）与开机后用时成反比例关系，直至水温降至．接通电源后，水温（）和时间的关系如图所示． (1)请结合图象，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在及以上的总时间． 【答案】(1) (2)分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数解析式； （2）将代入两段函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：初始水温为，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热， 则加热到所用时间为：（分钟）， 当时，设，将，和，代入 得， 解得：， 则， 当时， 设，将，代入 得， ∴， 当时，， 则 （2）解：将代入， 解得：， 将代入， 解得：， 则（分钟） 所以饮水机有13分钟时间能使水温保持在及以上． 35．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式； (2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 【答案】(1) (2)6米 【分析】（1）根据矩形的性质得到点，设段滑梯所在双曲线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C的纵坐标为，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设段滑梯所在双曲线的解析式为， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，，解得：， ∴点C的横坐标为8，即， ∴米． 答：B，C之间的水平距离的长度为6米． 36．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【详解】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 37．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）（1）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为多少？ （2）随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成某种函数关系，它的图象如图所示． ①求出该函数的解析式； ②若该蓄电池测得电阻R为，则电流I为多少？ 【答案】（1）1；（2）①； ② 【分析】本题考查圆锥的面积问题，反比例函数的实际应用： （1）扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，由此求解； （2）①将，代入反比例函数解析式即可求解；②将代入①中解析式求出对应的 I 即可． 【详解】解：（1）扇形的弧长为：， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则， 解得； （2）① 设该函数的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 该函数的解析式为； ②将代入，得：， 即电流I为． 38．（2026·宁夏银川·二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现与l有一定的关系，记录了拉力的大小与l的变化，如表： 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 100 (1)表格中的值是___________； (2)屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)120 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内， 根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 39．（25-26九年级上·广东深圳·期末）为预防“甲流”传播，学校用某种含氯消毒剂对教室实施了药物喷洒消毒．在教室内，消毒药物在空气中的浓度y（）随时间x（min）变化的函数关系如图所示，药物喷洒阶段y与x成正比例函数关系；喷洒结束后药物浓度逐渐下降，y与x成反比例函数关系． (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)当教室内的药物浓度不低于时，才能有效灭活病毒．则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多久？ 【答案】(1) (2)此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是 【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法，将点代入即可； （2）求出正比例关系阶段的函数表达式，求出当时对应的时间，即可得出有效杀灭病毒的持续时间． 【详解】（1）解：当时，设函数的表达式为， 将代入上式得， 并解得， 即函数表达式为． （2）解：当时，设该段函数的表达式为， 将代入上式得：， 解得， 故该段的函数表达式为， 当时，解得； 当时， 时，得； ∵（min） 即此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是． 40．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． (1)求出这个函数的解析式； (2)当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ (3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应满足什么条件？ 【答案】(1)函数的解析式为 (2)气球内的气压是120千帕 (3)为了安全起见，气球的体积应不小于 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键； （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）将代入（1）中的函数式求即可； （3）将代入（1）中的函数式求即可解答． 【详解】（1）解：设这个函数的解析式，则有：， 解得：， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，千帕， 答：气球内的气压是120千帕． （3）解：根据题意，当时，为安全范围， ∴， 解得，， 故为了安全起见，气球的体积应不小于． 【经典例题六 反比例函数规律问题】 41．（24-25九年级上·浙江台州·期末）电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．下表是它们的部分对应值： 频率f（MHz） 10 15 20 25 波长（m） 30 20 15 12 (1)在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率的变化规律？并求出与的函数解析式； (2)当电磁波的频率不超过时，波长至少是多少米？ 【答案】(1)； (2)波长至少是米． 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值，反比例函数的性质等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （）根据可判断反比例函数能反映波长与频率的变化规律，设解析式为，用待定系数法求解即可； （）解方程，由反比例函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴反比例函数能反映波长与频率的变化规律， 设波长关于频率的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）解：∵， ∴， ∵当电磁波的频率为时， ∴， 解得：， 由反比例函数的性质知，当电磁波的频率不超过时，， 答：波长至少是米． 42．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． (1)求该反比例函数的解析式； (2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接． ①当点A的横坐标为4时，求的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②不会发生改变．理由见解析 【分析】（1）利用反比例函数的性质求解； （2）①根据函数解析式求出点纵坐标，设点D的坐标为，点E的坐标为，得出，然后利用割补法表示出三角形的面积即可； ②设点A的坐标为，表示出点D的坐标为，点E的坐标为，然后利用割补法表示出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵矩形的面积为4， ∴， ∴或， ∵函数图象位于第一象限， ∴ ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：①∵点A的横坐标为4， ∴， ∴点A的纵坐标为1． ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ． 即． ； ②不会发生改变．理由如下： ∵设点A的坐标为， ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为，且． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ， ． 即． ． 43．（2025·北京·模拟预测）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分） 如果有一道数学综合题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师可否在学生注意力达到较为理想的稳定状态下讲解完这道题目？ 你的结论是 （填写“可以”或“不可以”）， 理由是 （请通过你计算所得的数据说明理由）．    【答案】可以，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，分别求出直线和曲线的解析式，再分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【详解】解：可以，理由如下： 设线段所在的直线的解析式为， 把代入中得，， ∴， ∴直线解析式为． 设C、D所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ∴曲线的解析式为：； 令，则，解得， 令，则，解得， ∵， ∴经过适当安排，老师可以在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 44．（24-25九年级上·安徽·月考）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)计算：________，________，________； (2)根据你发现的规律，________．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，正确识图是解题的关键． （1）先利用反比例函数求出点的坐标，进而求出点，再根据三角形的面积公式求出，求出和，据此即可求解； （2）根据（1）找到规律，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，，当时，，当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ， ， ∴； 故答案为： （2）解：由（1）得：． 故答案为： 45．（25-26九年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： (1)观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； (2)若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； (3)已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 【答案】(1)反比例， (2)2175 (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据表格，得到的值为定值，进行求解即可； （2）令，求出函数值即可； （3）求出时的函数值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可知，，为定值， ∴是的反比例函数，； （2）解：由（1）知：， ∴当时，； 故答案为：2175 （3）解：当时，， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴吸管的长度最短应是． 46．（2025·福建福州·一模）我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律．类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的．下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证： 步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象； 步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数的图象； 步骤③：比较反比例函数与函数的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”的平移规律． （1）完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）． （2）根据图象，回答下列问题： ①函数的图象是由反比例函数的图象向______平移______个单位长度后得到的． ②函数的图象的对称中心是______．（填点的坐标） （3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数． 【答案】（1）见解答；（2）①右，2；②（2，0）；（3）1． 【分析】（1）列表、描点，连线画出函数图象即可； （2）观察图象即可得出结论； （3）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y=的图象，根据图象即可得到结论． 【详解】解：（1）列表： x … -2 -1 0 1 3 4 5 … y … - - - -1 -2 2 1 … 描点、连线（如图所示）， （2）①函数y=的图象是由反比例函数y=的图象向右平移2个单位长度后得到的． ②函数y=的图象的对称中心是（2，0）， 故答案为右，2；（2，0）； （3）由题意可知，反比例函数的图象也遵循“上加下减”的平移规律， 如图所示，画出函数y=的图象， 方程的根的个数即函数y=与函数y=的图象交点的个数， 由图象可知，函数y=与函数y=的图象只有一个交点， ∴方程的根的个数为1． 【点睛】本题考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，数形结合是解题的关键． 47．（24-25八年级下·江苏南京·期末）【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘 【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：． 图①                      图②                         图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； (2)小明又取物距． ①当时，________（用含有f的代数式表示）； ②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释； (3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题： ①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像； ②试说明：． 【答案】(1)放大 (2)①；②等大，图见详解 (3)①，图见详解②见详解 【分析】本题考查了函数解析式、反比例函数，全等三角形的判定与性质，作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，代入，化简得，再与比较，即可作答． （2）①把代入，得出， ②则结合全等三角形的判定与性质，即，得出，即可作答． （3）①结合当时，且，化简得，描点连线，在图③中画出函数v的图像,即可作答． ②∵，，则，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 把代入 ∴ 得出 ∴ ∴物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像， 故答案为：放大； （2）解：①∵小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：，且 ∴把代入 得 ∴ 故答案为：； ②当时，在图②中画光路图，如图所示： ∴物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像，理由如下： 即 ∵ ∴ ∴ 即当时，物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像， （3）解：①实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，且 ∴y与u之间的函数表达式 解：依题意，列表： 描点连线，在图③中画出函数v的图像，如图所示： ②∵， ∴ ∴ ∴ 48．（24-25九年级上·山东枣庄·自主招生）【问题提出】 若任意两个正数的积是一个固定的数值，则它们的和会存在怎样的规律呢？ 【特列研究】 （1）若两个正数的积是4，则这两个正数是：1和4，2和2，和8，和，… 它们的和分别是5，4，，，…，初步判断：当这两个正数是2和2时，两数的和有最小值为4； （2）若两个正数的积是8，则这两个正数是：1和8，2和4，和16，和，和…，它们的和分别是9，6，，，，…初步判断：当这两个正数是和时，两数的和有最小值为． 【方法迁移】 若a，b为正数，∴，∴，． ∴对于任意正数a、b，总有，且当时，代数式取得最小值为． 【问题解决】 仿照上面的方法说明：对于正数a、b，若是一个固定的数值，当a、b满足什么数量关系时，存在一个最小值，最小值是多少？ 【类比应用】 利用上面所得到的结论，完成填空： (1)已知函数与函数，则当 时，取得最小值为 ； (2)已知函数与函数，则当 时，的最小值为 ； (3)当时，代数式有最 值为 ； (4)如图，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，，试求的最小面积． 【答案】(1)1，2 (2)1，6； (3)小， (4)1 【分析】本题是以反比例函数为背景的阅读理解题型，主要考查了完全平方公式的展开式以及反比例函数的性质．仿照给定的方法，即可得出这一结论； （1）直接利用求解； （2）变形求解即可； （3）变形解答即可； （4）设，根据反比例函数系数的意义写出面积表达式，利用上面的结论做答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 则当时，解得，取得最小值为2， 故答案为：1，2； （2）解：， 则当时，解得（负值舍去），取得最小值为6， 故答案为：1，6； （3）解：， 则当时， 取得最小值为， 故答案为：小，； （4）解：过P做轴于点B，过A作轴于点C，设，由题意得： = = = = ∴的最小面积为1． 【经典例题七 反比例函数与一次函数的综合】 49．（2026·安徽淮南·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)若，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将代入反比例函数，求出点的坐标，再将点的坐标代入正比例函数，即可求出的值； （2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到；再根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，得到，最后代入化简求值． 【详解】（1）解：把代入，则，即的坐标为． 把的坐标代入，得，解得． （2）解：在反比例函数的图象上， ． 在正比例函数的图象上， 两点关于原点对称， ． ． 50．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长； (3)若两函数图象的另一交点为点，在轴上找一点使得的面积为6，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分别求解，再进一步求解即可； （3）根据中心对称的性质可得，再进一步即可求解． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴代入得：， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：， ， ∵轴， ∴，， ， ． （3）解：如图， ∵， ∴， 设，的面积为6， ∴或． 51．（2025·山东济南·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 52．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，其边长为2，点，点分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象与交于点，函数（为常数，）的图象经过点，与交于点，与函数的图象在第三象限内交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)由图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2) (3)不等式的解集为或． 【分析】（1）先得到点D的坐标，再求出k的值即可确定反比例函数解析式； （2）根据反比例函数图象的对称性可知：点D与点F关于原点O对称，求得点F的坐标为，据此计算即可求得的面积； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为2， ∴点D的纵坐标为2， 将代入，得到， ∴点D的坐标为． ∵函数的图象经过点D， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：根据反比例函数图象的对称性可知：点D与点F关于原点O对称， ∴点F的坐标为， 把代入得，； ∴点E的坐标为； ∴， ∴的面积为：； （3）解：∵点D的坐标为，点F的坐标为， ∴当或时，函数的图象在函数的图象上方， 则不等式的解集为或． 53．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）定义：以点A为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2的正方形边上所有的点称为“A的关联点”．在平面直角坐标系中 (1)若点A为，下列不是“A的关联点”的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)若点A为 ①反比例函数的图像上有且只有一个“A的关联点”，则______； ②反比例函数的图像上有两个“A的关联点”，且两关联点的距离为，求的值； ③直线记为，l绕原点顺时针旋转后的直线记为，l和上都存在“的关联点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)C (2)①8；②；③ 【分析】本题考查的是一次函数和反比例综合运用，涉及到一次函数的旋转、新定义等，数形结合是解题的关键． （1）作图，有图观察判断，四个点中，是否在正方形的边上，即可求解； （2）①根据乘积为8，有图象可知反比例函数过点时，符合题设条件，即可求解；②设符合条件的两个点为点、，则即可求解；③l绕原点顺时针旋转后的直线记为，则，如下图，在y轴上，，，，为顶点的正方形，据图得出结论：． 【详解】（1）如图，边长为2的正方形，以点A为对称中心， 在、、、四个点中，只有点不在正方形的边上， 故选：C． （2）①如下图当反比例函数过点时，符合题设条件， 则， 故答案为：8； ②如图，设符合条件的两个点为点、， 则， 解得：，（不合题意舍去）； ③l绕原点顺时针旋转后的直线记为，则，如下图， 当两个函数的虚线和实线之间时，符合题设条件，即． 54．（24-25九年级上·山西吕梁·月考）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)若点的横坐标与点的纵坐标都是1， ①求一次函数的表达式； ②求的面积； ③若，则的取值范围为___________． (2)若点，都在第一象限， ①求的取值范围； ②若，且，求的最小值． 【答案】(1)①；②；③或 (2)①；② 【分析】（1）①根据题意得出、点坐标进而利用待定系数法得出一次函数解析式； ②作于点，由①、点坐标求出、、的长度，根据三线合一，求得，再根据勾股定理求得，即可求得的面积； ③根据图象找出一次函数大于反比例函数的解集即可； （2）①把两个函数关系式联立成方程，方程有解，求取值范围即可； ②由①可知当时，、重合，解得的值，再由，取得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①∵一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标与点的纵坐标都是1，， 设， ∴，解得：， ， ∴,， 把、点代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； ②作于点， 由①知,， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； ③∵， ∴，即， 根据图象可知，不等式的解集为或； 故答案为：或； （2）①∵点，都在第一象限，， 联立，得，即有解， ，，， ； ②∵， ∴， 由①知，当时，、重合，最小， ∴，解得， 又∵， ， ∴当，时，有最小值， ，即，解得，， 故， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，掌握用待定系数法求函数解析式，三角形面积求法，根据图象确定取值范围是解题的关键． 55．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）初中阶段学习函数的方法：通过“列表、描点、连线”的方法画函数图象，根据图象研究性质，用性质解决问题。现用该方法研究函数，已列表如下，解答下列问题． … 0 1 2 4 … … … (1)根据表中数据求中，的值，并在图中画出函数在直线右侧的大致图象； (2)根据函数图象，直接写出时自变量的取值范围； (3)设方程的根为，…，，写出的值并简要说明理由． 【答案】(1)，，图象见解析 (2)或或； (3)4，理由见解析 【分析】此题考查了求函数解析式、从函数图象获取信息、利用图象解方程等知识，数形结合是解题的关键． （1）把，代入求出，把，，代入求出，再根据函数的特点画出在直线右侧的大致图象即可； （2）当时，，解得或，再根据函数图象即可得到答案； （3）当时，，当时，，分别画出函数图象，根据交点的位置进行分析即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∴， … 0 1 2 4 … … … 根据表格中的数据可知，此函数图象关于直线成轴对称，据此补充图象如下； （2）当时，，解得或， 根据函数图象可知， 时自变量的取值范围为或或； （3）当时，， 当时，， 如图，由图象可知，有2个解，分别，由图象可知，与关于对称，与关于对称， ∴． 56．（2025·重庆·二模）如图，一次函数的图像交x轴于点，交y轴于点，与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为6 (1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图像； (2)请写出反比例函数图象的一条性质：______． (3)在y轴上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)，，图像见解析 (2)答案不唯一，见解析 (3)存在，或 【分析】（1），将点A，C的坐标代入关系式求出解即可，进而求出点A的坐标，再代入反比例函数关系式得出答案，最后画出图象； （2），根据图象的特点写出性质； （3），先求出，再求出交点B的坐标，最后根据求出DM，进而得出答案． 【详解】（1）解：将，代入中，得 解得：， ∴一次函数解析式是． ∵， ∴，         ∴， 将代入中，得      ∴， ∴反比例函数的解析式为． 反比例函数的图像如图所示． （2）在每个象限内，y随x的增大而减小或该图象位于一，三象限，答案不唯一； 故答案为：在每个象限内，y随x的增大而减小或该图象位于一，三象限，答案不唯一； （3）过点A作轴于点N， ∵，， ∴，， ∴． 又∵，         解得，         ∴ ∴，         ∴． ∵，      ∴或． 【点睛】这是一道反比例函数和一次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数、反比例函数关系式，求两函数图象的交点，反比例函数图像的性质等，将求不规则三角形的面积转化为求规则三角形的面积是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $