专题01 平面直角坐标系重难点题型专训（3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题01 平面直角坐标系重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 用有序数对表示位置 题型二 用有序数对表示路线 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 题型四 求点到坐标轴的距离 题型五 判断点所在的象限 题型六 已知点所在的象限求参数 题型七 坐标系中描点 题型八 中点坐标 题型九 点坐标规律探索 题型十 实际问题在中用坐标表示 题型十一 根据方位描述确定物体的位置 题型十二 已知两点坐标求两点距离 题型十三 用方向角和距离确定物体的位置 拓展训练一 点坐标综合问题 拓展训练二 点的位置与坐标新定义问题 拓展训练三 坐标与几何综合应用 知识点一：坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知点位于第四象限，且距离轴5个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点P所在象限确定横纵坐标的符号，结合点到坐标轴的距离得到横纵坐标的绝对值，即可求出点P的坐标，用到的性质为：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负． 【详解】解：∵点P位于第四象限， ∴点P的横坐标为正，纵坐标为负， ∵点P距离x轴5个单位长度，距离y轴2个单位长度， ∴点P纵坐标的绝对值为5，横坐标的绝对值为2， 结合横纵坐标符号可得，点P的横坐标为2，纵坐标为， 即点P坐标为． 2．（25-26八年级上·上海松江·期末）点在第_____________象限． 【答案】二 【分析】本题考查了点坐标的特点，熟记各个象限内点的坐标符号特点是解决本题的关键． 根据点的坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 故答案为：二． 知识点二：点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标为，对线段的判断正确的是（   ） A．线段与x轴平行 B．线段与y轴平行 C．线段与x轴垂直 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】根据平面直角坐标系内点的坐标特征，若两点纵坐标相等，横坐标不等，则两点连线平行于x轴，据此判断即可． 【详解】解：∵点A的坐标是，点B的坐标为， ∴两点的纵坐标相等，横坐标不相等， ∴线段与x轴平行， 因此选A． 2．（2026八年级下·上海·专题练习）如果教室里可以用来表示学生座位的第3行第2列，那么第4行第1列可以用一对数______来表示． 【答案】 【分析】本题考查了用有序数对来描述物体的位置，熟练掌握用含有两个数的组合来表示一个确定的位置的方法是解题关键．根据用含有两个数的组合来表示一个确定的位置的方法解答即可得． 【详解】解：如果教室里可以用来表示学生座位的第3行第2列， 那么第4行第1列可以用一对数来表示． 故答案为：． 知识点三：规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（2024·上海宝山·一模）如图，轴，点，，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的平移，考查学生的几何直观，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点M向下平移3个单位即可求解． 【详解】解：由题意得，将点M向下平移3个单位，纵坐标为， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…．第次碰到矩形的边时的点为图中的______． 【答案】点 【分析】本题考查了规律探索问题，根据题意画出弹性小球的轨迹图，找到一般规律即可求解． 【详解】解：如图所示： 弹性小球经过次反弹后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次碰到矩形的边时的点为图中的点 故答案为：点 【经典例题一 用有序数对表示位置】 【例1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·月考）若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位置与坐标，解题的关键是理解题目的规定，明确位置与坐标的对应关系． 根据有序数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数解答． 【详解】解：若电影院的排号记为， 则排号可记为； 故选：C 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图是围棋盘的一部分，若用表示白棋的位置，用表示白棋的位置，则黑棋的位置可表示为______，黑棋的位置可表示为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点的坐标得出原点位置，建立平面直角坐标系，进而得出答案，正确得出原点位置是解题的关键． 【详解】解：∵用表示白棋的位置，用表示白棋的位置， ∴建立平面直角坐标系如图， ∴黑棋的位置可表示为，黑棋的位置可表示为， 故答案为：，． 1．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）如图的密码表是用来玩听声音猜字母的，如果听到“叮叮—叮叮，叮—叮，叮叮叮—叮”表示的是“”，那么听到“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”时，表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键． 根据题意求解即可． 【详解】解：∵“叮叮—叮叮，叮—叮，叮叮叮—叮”表示的是“”，表示对应的字母为“”， ∴“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”表示，对应表格中的“”． 故选B． 2．（25-26八年级下·四川德阳·月考）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … … … 表中数2在第二行第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2025对应的有序数对为______． 【答案】 【分析】该题是规律型-数字的变化类题型．根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2025所在的位置． 【详解】解：由已知可得：第一列的奇数行的数的规律是：第几行就是那个数平方， 第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同； ∵，且2025是奇数，故2025在第45行，第1列， 其对应的有序数对为． 故答案为：． 3．（2025·上海·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 【答案】(1)乙 (2)110 【分析】本题主要考查了有理数的加法，用有序数对表示位置，解题的关键是理清游戏规则． （1）根据游戏规则，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，即可得知； （2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可． 【详解】（1）解：根据游戏规则可知： 甲选1，2号座位， 乙选3，4，5号座位， 丙选7，8，9，10号座位， 丁选13，14，15，16，17号座位， 故3，4，5号座位会被乙选择， 故答案为：乙； （2）解：根据游戏规则，第一种，可得丁选择了：23、8、1、4、15； 丙选择了：9、2、3、14； 乙选择了：7、6、5； 甲选择了：10、11； 故四人所选的座位号数字之和为：． 第二种，可得丁选择了：19、6、1、2、11； 丙选择了：5、4、3、12； 乙选择了：7、8、9； 甲选择了：10、13； 故四人所选的座位号数字之和为：． 故答案为：110． 【经典例题二 用有序数对表示路线】 【例1】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】分别从2、3、5三个数字中选出两个组成有序实数对，然后计算出总数目即可． 【详解】解：可以组成，，，，，共6个有序实数对， 故选D． 【点睛】本题考查函数的基础知识，熟练掌握有序实数对的意义及组合方法是解题关键． 【例2】（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 1．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 2．（25-26八年级下·上海闵行·月考）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； （2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； 【详解】（1）解：A→C，B→D， 故答案为：，； （2）解：如图： ； 3．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 【答案】(1)光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区 (2)见解析 【分析】本题考查了区域定位法在生活中的运用； （1）根据题意找到位置即可； （2）利用区域定位法描出公交路线. 【详解】（1）解：光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区． （2）如图所示，图中黑粗线即为所求． 【经典例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图，从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】解：∵从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，点M的位置用表示， ∴表示的位置是先向东走1步，再向北走2步，即为B点， 【例2】（24-25八年级上·重庆·周测）已知点的坐标为，线段，且轴，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据轴，可知点的纵坐标为，分点在点左侧和点在点右侧两种情况求出点的坐标． 【详解】解：如下图所示， 点的坐标为，线段，且轴， 点的纵坐标为， 当点在点左侧时，点的横坐标为， 点的坐标为； 当点在点右侧时，点的横坐标为， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 1．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等的性质，先确定点的纵坐标，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：点与点在同一条平行于轴的直线上， ， 点到轴的距离等于， ， 即或， 点的坐标为或． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，．若点在坐标轴上，使的面积为，求点的坐标为___________． 【答案】或或或 【分析】分点在轴和轴两种情况，在轴上时，以为底，点纵坐标绝对值为高，根据面积公式列方程即可求；在轴上时，以为底，点横坐标绝对值为高，根据面积公式列方程即可求，进而得点坐标． 【详解】解：当点在轴上时 ， 设点的坐标为 ， ∴点到原点的距离为，此距离即为以为底边时的底边长， ∵点的坐标为，其纵坐标的绝对值，即为的高（点到轴的距离）， ∴根据三角形面积公式：， 解得：或； 故点的坐标为或， 当点在轴上时 ， 设点的坐标为， ∴点到原点的距离为，此距离即为以为底边时的底边长， ∵点的坐标为，其横坐标的绝对值，即为的高（点到轴的距离） ， ∴根据三角形面积公式，， 解得：或， 故点的坐标为或． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【分析】（1）由A、B的坐标，根据，列出关于m的方程，解方程； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，先求出，得到，设M的坐标是，根据三角形面积公式得出，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之差的绝对值． 【经典例题四 求点到坐标轴的距离】 【例1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的坐标、解一元一次方程，根据题意得，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：∵点M到两坐标轴的距离相等， ∴，即， 当时，， 当时，， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知点，若点Q的坐标为，且直线轴，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征．根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵直线轴， ∴点和点的横坐标相等， 即， 解得， 代入点的纵坐标，得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·上海三角·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点分别在轴和轴正半轴上，，则等于（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 通过作辅助线构造矩形和全等三角形，将和的长度关系转化为可计算． 【详解】解：过点作轴于点，作轴于点．    ∵ 点，， ∴ ，，． ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故选：． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，等腰直角的点 B是原点，，，若点 D在 y轴上，且的面积是的一半，则点 D的坐标是 ______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、等腰直角三角形的性质等知识，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质可得，易得，；设，则，根据三角形面积公式解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点， ∵点B是原点，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵的面积是的一半， ∴，即， ∴， ∴或， ∴点 D的坐标是或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·广东深圳·周测）在平面直角坐标系中： (1)若点到两坐标轴的距离相等，求M的坐标为________； (2)若点，点，且轴，求M的坐标为________； (3)若点在坐标轴上，求M的坐标为________； (4)若点，点，且轴，，求M的坐标为________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的特征，掌握平面直角坐标系中点的特征和分类讨论是解题的关键． （1）根据点到两坐标轴的距离相等，列出关于的方程，求出的值即可解答； （2）根据轴，所以点的横坐标和点的横坐标相同，列出方程求出的值，即可解答； （3）根据点在坐标轴上，分两种情况讨论，列出关于的方程，求出的值即可解答； （4）根据轴，所以点的纵坐标和点的纵坐标相同，得，根据得到，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得或， 当时，，； 当时，，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， 则， ∴M的坐标为； 故答案为：； （3）解：∵点在坐标轴上， ∴或， 解得或； 当时，； 当时，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵点，点，且轴，， ∴，， 解得或， ∴M的坐标为或； 故答案为：或． 【经典例题五 判断点所在的象限】 【例1】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为目标在第三象限， 所以其坐标的符号是， 各选项只有A符合题意． 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系内，点一定不在第________象限． 【答案】三 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的坐标符号判断象限，分析m的取值范围，发现不存在m使得横纵坐标同时为负，即可得出结论． 【详解】解：当时，则，此时点在第四象限； 当时，则；故当时，此时点在第一象限，当时，此时点在第二象限； 不存在时，，即点一定不在第三象限； 故答案为：三． 1．（24-25八年级下·上海松江·期中）若满足，则点M所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点的象限位置．通过一次函数图象的性质确定直线经过的象限，即可点M所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴直线经过第一、二、三象限， ∴点可能出现在第一、第二或第三象限，不可能在第四象限， 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第______象限． 【答案】一 【分析】本题考查了新定义运算，判断点所在的象限，读懂题目信息，理解“”的运算方法是解题的关键．根据新运算规则表示出，结合，得到和的值，从而确定点的坐标，并判断象限即可． 【详解】解：由运算定义，． ， ，， 点的坐标为， 点在第一象限． 故答案为：一． 3．（24-25八年级下·陕西延安·期末）已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【答案】(1) (2)点在第二象限 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． ()根据在轴上的坐标，横坐标为，计算出，即可得到P的坐标； ()根据P的纵坐标比横坐标大，列出等式，求出，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：点在轴上，且点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得， 解得， ∴点的坐标为， ∴点在第二象限． 【经典例题六 已知点所在的象限求参数】 【例1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征．观察平面直角坐标系，根据点P的位置确定m的取值范围，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察平面直角坐标系可知：点P在第三象限， ， ， ，C，D选项不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 【例2】（2025九年级·吉林长春·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点，则m与n的数量关系是_____． 【答案】 【分析】由作图方法可得出点P在第二象限的角平分线上，再由第二象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，计算即可得出结果． 【详解】解：由作图方法可得出：点P在第二象限的角平分线上， 则， 故m与n的数量关系是：． 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如果点在x轴上，那么点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算出点B的横纵坐标的值，即可得解． 【详解】解：∵在x轴上， ∴， 解得， ∴，， ∴所在的象限是第四象限． 故选：D． 2．（24-25八年级下·新疆和田·期末）若点在轴上，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的坐标特征是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得：， 所以， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“T变换点”的定义解答即可； （2）设点的T变换点为，根据“T变换点”的定义可得，，再由变换点在第四象限，可得到m的取值范围，即可． 【详解】（1）解：点的T变换点为，即； （2）解：设点的T变换点为， ∴，， ∵变换点在第四象限， ∴，． 即，， 解得． ∴． 【经典例题七 坐标系中描点】 【例1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【详解】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可. 【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 故选：D 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连接起来． （1），，，； （2），，，； （3），． 观察所得的图形，你觉得它像什么？ 【答案】图形见解析，图形像帆船 【分析】先在平面直角坐标系中描出各个点，然后连接，最后判断图形即可． 【详解】解：描点连线如下图，图形像帆船． 【经典例题八 中点坐标】 【例1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，分别为的中点，为的中点，则为该匀质薄板的重心 依题意，，， ∴， ∴即 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若点与点关于点对称，则_______ ． 【答案】36 【分析】利用中点坐标公式求出a、b的值，再计算的乘积即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴点是线段的中点． ∴，， ∴， ∴． 【点睛】若两点关于某点对称，则该点为这两点的中点，掌握两点坐标为和，则中点坐标是解题的关键． 1．（25-26八年级上·山东日照·期末）在教材综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现：如图，把一个平面组合“L”形图形分割成甲、乙两部分，以点B为坐标原点．“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．若，，，，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的运用．根据题意分别算出，，，，结合重心坐标的计算方法代入计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系， ∴， ∵四边形和都是长方形，点是对角线的交点， ∴，即， ，即， ∴“L”形的重心坐标的计算如下， ，， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查中心对称点的坐标、中点坐标，熟练掌握中点坐标的运算方法是解题的关键． 点A与点B关于点C对称，则点C是线段的中点，利用中点坐标公式求解． 【详解】解：设点B的坐标为， 则， 解得， 因此，点B的坐标是， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）【综合与实践】确定组合图形匀质薄板的重心位置． 我们已发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线的交点处． 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为S，被分成n部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． 如图1①，“L”形匀质薄板中，，，，，确定该薄板的重心位置的步骤： ①先求出该薄板的面积； ②将该薄板分为两个长方形薄板Ⅰ，Ⅱ，以B为原点，以1为单位长度建立平面直角坐标系（如图1②）； ③确定长方形薄板Ⅰ的重心为，面积；长方形薄板Ⅱ的重心为，面积； ④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图2，正方形中，，直接写出正方形的重心坐标； (2)如图3，多边形中，，，，请以C点为原点，1为单位长度建立平面直角坐标系，并求出多边形的重心坐标． 【答案】(1) (2)多边形的重心坐标 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂材料中重心定义和运算法则． （1）根据正方形的性质可知点的坐标是，根据正方形对角线的交点就是正方形的重心，可知正方形的重心是线段中点的坐标，根据平面直角坐标系中两点中点的坐标公式求解即可； （2）把多边形分成三个规则的矩形：正方形、长方形、正方形，根据重心的定义分别求出三个矩形的重心，再根据不规则图形重心的公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，点的坐标是， ， 点的坐标是， 连接交于点M， 线段中点M的坐标是， 正方形的重心坐标为； （2）解：如下图所示，建立平面直角坐标系分割图形， 多边形的面积为， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 四边形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， ， 多边形的重心坐标． 【经典例题九 点坐标规律探索】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，一物体从点出发沿长方形的边按逆时针作环绕运动，速度为1个单位长度/秒，则经过2022秒后，物体所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用2022除以12即可知道物体运动了几周，且继续运动几个单位，由此可判断2022秒后物体的位置． 【详解】解：由图可得，长方形的周长为， ∵， ∴经过2022秒后，该物体应运动了168圈，且继续运动6个单位， ∵从A点开始按逆时针运动6秒到达点， ∴经过2022秒后，物体所在位置的坐标为． 【例2】（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为，，，．曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次以B，C，D，A循环，则点的坐标是 ______________ ． 【答案】 【分析】由正方形的性质结合点的坐标含义可得每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为，第四象限纵坐标都为，进一步可得点在第二象限，进一步可求解． 【详解】解：正方形的顶点坐标分别为，，，． ∴， ∴， 同理：，，， ∴，，， 同理：，， 每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为，第四象限纵坐标都为， ∵， ∴点在第二象限， 而第二象限的横坐标可表示为， 而， ∴． 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将第个点作为第列，作为第列，以此类推，则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，，列共有坐标总数为，据此找出第2024个点的位置即可求解． 【详解】解：将第个点作为第列，作为第列，以此类推， 则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，列共有坐标总数为， ， ， 第个坐标在第列， ， 从下往上数第个坐标的纵坐标为， 第2024个点的坐标是． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 滚动5次后，； 滚动6次后，； 滚动7次后，； 滚动8次后，； ∴每滚动4次一个循环， ， ， ， 即， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： （1）建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系． （2）分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． （3）确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． （4）代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形）， 可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为： 其中． 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：如图，已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（轴、轴1个单位长度表示） 任务3：如图，挖空部分为圆形，圆心坐标为，组合图形的重心坐标为，则挖空圆面积是_____；（取3） 【答案】任务1：任务2：任务3：3 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确理解各个图形的重心坐标计算公式是解题的关键． 任务1：根据题干所给的公式直接带入计算求解即可； 任务2：先分别求出矩形、矩形、矩形重心坐标及面积，代入公式计算即可； 任务3：利用公式求出整体图形的面积以及重心坐标，假设挖空圆面积为,根据负面积法公式列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：根据给出公式得， ， ∴梯形薄板的重心坐标为； 任务2：如下图，将圆图形进行分割， ∵矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， ∴， ， ∴薄板的重心坐标为； 任务3：整体图形的面积为， 将图形分割成左侧的矩形和右侧的三角形， 矩形的重心坐标为，即，矩形的面积为； 三角形的重心坐标为，即，三角形的面积为； 整体图形的重心坐标为； 假设挖空圆面积为,根据公式可得， ， 解得， 故答案为：3． 【经典例题十 实际问题在中用坐标表示】 【例1】（25-26八年级上·广东河源·期末）2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳！低空经济开启“不眠模式”．如图，若无人机在某次投送点的中心位置在图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各象限的坐标特征，结合图中阴影部分所在象限进行判定即可． 【详解】解：∵第四象限的坐标符号为：横坐标为正，纵坐标为负，图中阴影部分在第四象限， ∴中心位置的坐标应为选项A． 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________． 【答案】 【分析】先根据题意建立直角坐标系，再利用轴对称图形的性质找到放置的点的位置，再写出坐标即可． 【详解】由棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方子的位置用表示， 如图，建立直角坐标系， 要使所有棋子构成一个轴对称图形，则嘉嘉放圆形棋子的位置是点， 由图可知点． 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）五子棋的比赛规则是：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子记为胜方．如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，若轮到黑棋走，小红认为黑棋放在或位置胜利．若轮到白棋走，小刚认为白棋放到位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小红、小刚均正确 B．小红、小刚均错误 C．小红正确，小刚错误 D．小红错误，小刚正确 【答案】C 【分析】本题考查了用坐标系确定位置，先根据①②的位置建立平面直角坐标系，进而根据坐标系及比赛规则即可判断求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系如下： 由平面直角坐标系可知，若轮到黑棋走，黑棋放在或位置胜利；若轮到白棋走，白棋放到位置胜利， ∴小红正确，小刚错误， 故选：． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）电视机厂工程师通过向电脑输入点的坐标控制机械手，机械手按坐标指示的“地址”将有关元器件准确插入线路板上的焊孔，然后通过焊接工序将它们焊牢．如图，焊孔P，Q的坐标分别为，如果你是工程师，请输入坐标______．让机械手把元器件准确插入焊孔R． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据点P，Q的坐标分别为建立直角坐标系，再结合点R在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵点P，Q的坐标分别为， 建立平面直角坐标系如图： ∴点R的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图标明了李华家附近的一些地方． (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标； (2)某星期日早晨，李华从家里出发，经过了点，，，写出他路上经过的地方． 【答案】(1)学校的坐标为，邮局的坐标为； (2)李华经过的地方依次为：商店、公园、汽车站． 【分析】本题主要考查坐标确定位置，需根据平面直角坐标系中各点的位置确定坐标，以及根据坐标确定对应的位置． （1）根据点的坐标定义，在平面直角坐标系中，即可确定学校和邮局的坐标； （2）根据点的坐标以及结合平面直角坐标系中的图形，即可确定李华经过的地方． 【详解】（1）在平面直角坐标系中，根据点的坐标定义，学校的横坐标是，纵坐标是，所以学校坐标为，邮局的横坐标是，纵坐标是，所以邮局坐标为． （2）先明确李华经过的各点坐标，再结合平面直角坐标系中的图形，找到与这些坐标对应的位置，点对应商店，点对应公园，点对应汽车站． 【经典例题十一 根据方位描述确定物体的位置】 【例1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）河南嵖岈山享有 “华夏盆景”“ 中州独秀”“中原石林”的美誉．下列信息能确定嵖岈山具体位置的是（    ） A．驻马店市遂平县 B．在郑州市南偏西方向 C．东经，北纬 D．距郑州市直线距离180公里 【答案】C 【分析】本题考查确定具体位置的条件，依据初中数学中确定平面内点的位置需要唯一定位信息的知识点来判断选项即可． 【详解】A选项，“驻马店市遂平县”覆盖范围广，无法锁定嵖岈山的具体位置． B选项，仅给出方向，缺少距离信息，不能唯一确定位置． C选项，东经、北纬是唯一的地理坐标，可精准确定嵖岈山的具体位置． D选项，仅给出距离，缺少方向信息，不能唯一确定位置． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·月考）按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 【答案】 西北 东南 【分析】依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息，即可进行填写． 【详解】解：（1）在☆的东南面画△如，下图所示； （2）在☆的西面画□，如图所示； （3）在☆的东北面画○，如图所示； （4）在☆的西北面，☆在的东南面． 故答案为：西北，东南． 【点睛】本题主要考查了方向和方位的知识，熟练掌握“上北下南，左西右东”是解题关键． 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是根据方位角找出对应的图形，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 根据方位角的定义判断即可． 【详解】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意； B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意； C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意； D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级·上海长宁·假期作业）某人从点沿北偏东的方向走了100米到达点，再从点沿南偏西的方向走了100米到达点，那么点在点的南偏东__度的方向上． 【答案】55 【分析】在直角坐标系下现根据题意确定A、B点的位置和方向，最后确定C点的位置和方向．依次连接A、B、C三点，根据角之间的关系求出∠5的度数即可． 【详解】根据题意作图： ∵从A点沿北偏东60°的方向走了100米到达点B，从点B沿南偏西10°的方向走了100米到达点C， ∴∠1+∠2=60°，AB=BC=100， ∴∠2=50°，且△ABC是等腰三角形， ∴∠BAC==65°， ∴∠5=180°-65°-60°=55°， ∴点C在点A的南偏东55°的方向上． 故答案为：55． 【点睛】本题考查了直角坐标系的建立和运用，运用直角坐标系来确定点的位置和方向． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 【答案】(1)北偏西；500 (2)①②见详解 【分析】本题考查方位图的实际应用， （1）根据题意可知，图上1厘米表示500千米；先计算出昆仑站到中山站的实际距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以昆仑站为观测点，确定出中山站的位置； （2）分别计算出昆仑站到泰山站、罗斯海新站的图上距离，再以昆仑站为观测点，画出泰山站和罗斯海新站的位置，据此解答． 【详解】（1）解：（千米）， ， 中山站在昆仑站北偏西（或西偏北）方向，距离500千米． （2）解：①（厘米） 图如下： ②（厘米） 图如下： 【经典例题十二 已知两点坐标求两点距离】 【例1】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 【例2】（2026·河南商丘·一模）如图，矩形中，点，，，点为轴上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点的对应点为点，当点落在轴上时，点的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据题意得出，进而得出或，再根据，利用勾股定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵以为对称轴将折叠得到，点的对应点为点，，， ∴， 设， ∴ 解得：或 ∴或 当时，由得 解得： 当时，由得 解得： 综上，点的坐标为或 1．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、C在x轴上，点D的坐标是，点E是对角线的中点，且，则点E横坐标为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，两点间的距离公式，坐标与图形，矩形的邻边垂直，对边平行，结合点D的坐标可得点C的坐标为，点A的纵坐标为，矩形的对角线相等且互相平分，则，设出点E的横坐标，利用两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点B、C在x轴上，点D的坐标是， ∴点C的坐标为，点A的纵坐标为， ∵点E是对角线的中点，且， ∴，点E的纵坐标为， 设点E的横坐标为a，则， 解得或， ∵点E在点C右侧，即 ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，且到和点的距离相等，则线段的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据两点间的距离公式列方程，即可得解． 【详解】解：设点， 根据题意得， 即， 解得． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，且满足方程组，点坐标为，连接、．          (1)求点坐标； (2)动点从出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接，用含的式子表示的面积，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，点在线段上，点在线段上，且，连接，当的面积为6时，求的值并直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，解二元一次方程组，勾股定理，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． （1）利用加减消元法解二元一次方程组求出a，b的值即可得出点A的坐标． （2）由题意知，，然后分两种情况分别用含的式子表示的面积即可． （3）点在线段上，的面积为6，代入（2）中时间段的面积公式即可求出t的值，连接，结合已知条件可得出的面积为4，进而可得出，再根据两点之间的距离公式求出即可． 【详解】（1）解：， 解得， ∴点坐标为； （2）解：由题意知，， ∵点坐标为， ∴， ∴当时点P在线段上，当时点P在点B右侧， ①当时，则， 则； ②当时，则， 则， ∴综上所述，； （3）解：∵点在线段上，的面积为6， ∴，解得， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴， 连接，如图， ∵，的面积为6， ∴的面积为， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：或（不合题意舍去） ∴． 【经典例题十三 用方向角和距离确定物体的位置】 【例1】（25-26八年级上·山西·月考）某区域设置了一个无人机监控中心，以监控中心为原点，每隔画一个同心圆，并将每个圆周平均分成12等份（对应12个方位）．若无人机在监控画面中发现两个目标，，则，两目标之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角和勾股定理的应用，根据题意求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， 由题意可知：，，， ∴， 故选C． 【例2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是两艘舰艇的位置示意图，舰距离舰16海里，用方向和距离描述舰相对舰的位置为_____． 【答案】南偏西，海里处 【分析】本题考查用方向角和距离表示实际位置，根据方向角的表示方法，得到舰在舰的北偏东，距离海里处，进而得到舰相对舰的位置为南偏西，距离海里处，即可． 【详解】解：由图可知：舰在舰的北偏东，海里处， ∴舰相对舰的位置为南偏西，海里处； 故答案为：南偏西，海里处 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，小明家位于学校（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏东 【答案】D 【分析】本题主要考查方位角，地球南北方向与观测者观测物体的视线方向的夹角称为方位角，据此根据图形直接求解即可． 【详解】解：学校所在位置为观测者所在位置，小明家为被观测物体，所以小明家位于学校北偏东方向上． 故选：D 2．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图，点A在观测点北偏东30方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30)，用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8，60)，C(4，60)，则观测点的位置应在__． 【答案】O1点 【分析】因为A（8，30），B（8，60），C（4，60），则A、B与观测点距离相等，C与观测点距离是B点到观测点距离的一半，进而得出观测点位置． 【详解】解：如图所示： A（8，30°），B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在O1点． 故答案为：O1点． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点得出观测点是解题关键． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 【答案】(1)敌方战舰B到我方潜艇的距离 (2)敌方战舰A和敌方战舰C 【分析】本题考查方向角，平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握方向角的定义，确定点的位置的方法． （1）确定点的位置要知道点的方向和距离，由此即可得到答案； （2）由图上距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：有敌方战舰和小岛，还需要知道敌方战舰到我方潜艇的距离． （2）解：敌方战舰和敌方战舰． 【拓展训练一 点坐标综合问题】 【例1】（24-25八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 【例2】（24-25八年级上·重庆·周测）在平面直角坐标系中，如图放置，其中，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】过点C作轴于点D，在中利用勾股定理求出的长，根据，先求出的长，再求出的长，即得答案． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示： 在中， ​， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得​， ∴​​， ∴ 点C的坐标为． 故答案为：​． 1．（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求、的值； (2)如果轴，且，求、的值． (3)点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 【答案】(1)， (2)，或 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，平行于轴的线段特征，第三象限点的坐标特征． （1）根据轴上点的纵坐标等于，轴上点的横坐标等于，列方程得到的值． （2）根据平行于轴的线段横坐标相等及线段长度为，列方程得到的值． （3）根据第三象限点的横、纵坐标均小于，列不等式解答即可． 【详解】（1）解：点在轴上，点在轴上， ，，解得：，； （2）解：轴，且， ，，解得，或； （3）解：不能，理由如下： ∵若点和点同在第三象限内， 则有：①，而且②， 不等式组①无解， 点和点不可能同在第三象限内． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）过点M作轴于点N，根据列式求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作轴于点N， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系的原点O在格点上，轴、轴都在格线上．线段的两个端点也在格点上． (1)若将线段绕点O逆时针旋转得到线段，试在图中画出线段． (2)若点P是此平面直角坐标系内的一点，当点A、B、、P四点围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点P的坐标为或或 【分析】（1）利用网格特点和旋转性质画出点A、B的对应点、即可； （2）利用平行四边形的判定方法，经过分类讨论，然后写出对应的P点坐标． 【详解】（1）解：如图，线段为所作； （2）解：如图所示， 当四边形是平行四边形时，点的坐标为； 当四边形是平行四边形时，点的坐标为； 当四边形是平行四边形时，点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【拓展训练二 点的位置与坐标新定义问题】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先由，，，在平面直角坐标系描点，求出面积，然后列出方程组，再解方程组即可，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：由，，，在平面直角坐标系描点， ∴ ， ∴， 解得， ∴三角形内部格点的个数为， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第______象限． 【答案】二 【分析】根据每一象限内点的坐标特点可得x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，然后求出x1y2＜0，x2y1＞0即可进行解答． 【详解】解：∵点A（x1，y1）在第一象限，点B（x2，y2）在第四象限， ∴x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0， ∴x1y2＜0，x2y1＞0， ∴点C的坐标（x1y2，x2y1）位于第二象限， 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征． 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” (1)点的“长距”为______； (2)若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)点D是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义“长距”和“角平分线点”、点到坐标轴的距离等知识点，理解新定义是解题关键． （1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“长距”的定义确定，进而可知点D的坐标，然后判断是否为“角平分线点”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴根据“长距”的定义，可得点的“长距”为6． 故答案为：6． （2）解：点D是“角平分线点”，理由如下： ∵点的长距为7， ∴点到轴的距离为， 则点到轴的距离， 又∵点在第三象限， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是3， ∴点D是“角平分线点”． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)4 (2)或 (3)见解析： 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， ∴点A的“长距”为4． 故答案为：4． （2）解：∵点是“完美点”， ∴． ∴或． 解得：或． （3）解：∵点在第二象限， ∴． ∵长距为4，且到y轴距离为， ∴到x轴距离． 即． 解得． ∴． ∴点D坐标为． ∴到x轴距离为5，到y轴距离为5，相等． 故点D是“完美点”． 3．（25-26八年级上·上海长宁·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________； (3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形： （1）根据“k属派生点”的定义即可得； （2）设点的坐标为，根据“k属派生点”的定义列方程组求解即可； （3）根据题意得点的坐标为，点的坐标为，求出和，根据线段的长度为线段长度的2倍列方程求解即可 【详解】（1）解：点的“2属派生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意知， 解得：， 即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵点在轴的正半轴上， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长为到轴距离为， ∵在轴正半轴，线段的长为， ∴，即， ∴． 【拓展训练三 坐标与几何综合应用】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始．按顺时针方向．取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题目中定义的新坐标系的中点坐标的表示方法，求出点C的坐标，即可求得答案． 【详解】根据题意得：点C的坐标为， 则； 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，解题的关键是理解新定义的坐标系中点坐标的表示方法． 【例2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）重心是一个物体受力的平衡点．如图，质地均匀的薄板是由边长为4的正方形和边长为2的正方形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，分别是正方形的重心．此薄板的重心在直线上，则的坐标为______．（其中，分别是正方形的面积．） 【答案】 【分析】本题考查了正方形性质，中点坐标公式的相关知识点．根据正方形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可求解． 【详解】解：由题意，得，，，，，， ∵分别是正方形的重心， ∴是的中点，是的中点， ∴，，，， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为：． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到三角形．（点A，B，C的对应点分别为点）    (1)请在图中作出平移后的三角形． (2)请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换、坐标与图形等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）先根据平移的性质确定点A，B，C的对应点，然后再顺次连接即可；变换的性质作图； （2）根据图形直接写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求；    （2）解：根据（1）的作图可直接读出的坐标为． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，点A，B，C，D，E，F，G为正方形网格图中的7个格点．建立平面直角坐标系，使点B，G的坐标分别为和． (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)写出图中七个点中在第四象限的点及其坐标； (3)正方形的边长是__________． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了坐标与图形，平面直角坐标系中的坐标，勾股定理． （1）根据点，的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）根据（1）中建立的平面直角坐标系结合图形即可得解； （3）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵点B，G的坐标分别为和， ∴建立平面直角坐标系如图： ； （2）解：由图可得：在第四象限的点的坐标为，． （3）由勾股定理得：正方形的边长是， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，为美化校园环境，学校计划在教学楼前的长方形草坪（长12米、宽8米）内规划3个景观区域：（自动灌溉喷头）、（石凳）、（小型花坛）．请按要求完成以下任务： (1)以长方形草坪左下角顶点为坐标原点，水平向右方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，1个单位长度代表1米，请建立平面直角坐标系，并写出长方形草坪四个顶点的坐标； (2)在（1）的基础上，已知喷头在草坪中心，石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米；花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米，请直接写出，，三点的坐标． 【答案】(1)建系见解析，长方形草坪四个顶点的坐标分别为：、、、 (2)，，三点坐标分别为：，， 【分析】题目主要考查建立直角坐标系，求点的坐标，理解题意是解题关键． （1）根据题意建立直角坐标系即可得出结果； （2）根据题意结合图形即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系： ∵长方形草坪（长12米、宽8米）， ∴， ∴长方形草坪四个顶点的坐标分别为：、、、； （2）∵喷头在草坪中心， ∴过点A作轴，轴， ∴， ∴， ∵石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米； ∴即， ∵花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米， ∴ ． A基础训练 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）点不可能在哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是判断点所在的象限，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的特点． 通过分析点与的关系，判断点可能出现的象限． 【详解】解：若，则，， 时，，此时点在第一象限； 时，，此时点在第四象限； 若，则，，， 此时点在第二象限； 综上，点不可能在第三象限． 故选：． 2．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点D，根据轴，可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D， 轴， ， ，，， ， ， 点C的坐标为． 3．（24-25九年级上·湖北十堰·月考）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案． 【详解】第1行的第一个数字： 第2行的第一个数字： 第3行的第一个数字： 第4行的第一个数字： 第5行的第一个数字： …..， 设第行的第一个数字为，得 设第行的第一个数字为，得 设第n行，从左到右第m个数为 当时 ∴ ∵为整数 ∴ ∴ ∴， 252表示的有序数对是 故选：C． 4．（25-26八年级下·上海长宁·周测）在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】A 【分析】本题考查了 用坐标描述平面内点的位置，熟练掌握用坐标描述点的位置是解题的关键； 观察坐标系，得出点，，，，，，…的坐标，根据规律得出奇数点和偶数点的坐标规律即可得出纵坐标为的点． 【详解】解：由题图可知，点，，，，，，，… 根据规律可知，奇数格点的坐标为，（为自然数）， 偶数格点的坐标为（为自然数）． 点的纵坐标为， 为偶数格点， ， 解得， ． 故选：A． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的平面直角坐标系中有原点O与A、B、C、D 四点．若有一直线 l经过点且与x轴垂直，则l也会经过（   ） A．点A B．点 B C．点C D．点 D 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据题意、正确画出图形是解题的关键． 先根据题意正确画出图形，然后直角读出坐标即可． 【详解】解：根据作图如下： ∴直线 l经过点且与x轴垂直，则l也会经过点C． 故选：C． B 提高训练 6．（25-26八年级·上海·假期作业）如果点与点的距离等于，那么的值等于___． 【答案】0或 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式列出方程，平方后化简求解即可． 【详解】由点和点的距离为， 得， 两边平方，得， 展开并整理：， ， ， ， 解得或，经检验均符合题意． 故答案为：或． 7．（24-25八年级下·山西太原·月考）已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点在平面直角坐标系的第四象限，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，若点B、C的坐标分别为、，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据、，建立平面直角坐标系，然后根据直角坐标系写出点A的坐标． 【详解】解：∵、， ∴建立平面直角坐标系，如图所示： ∴点A的坐标为． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于______． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，中点坐标公式，先求出的中点的坐标，再根据点满足的条件列出方程求出、的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：点，N， ∴线段MN的中点 ∵点恰好位于轴上，且到轴的距离是3， ∴ 解得：或 ∴或 综上所述，的值等于或 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；由题意先画出平面直角坐标系，然后根据题意可得点，，，进而根据中点坐标公式可得，，最后代入题中所给重心坐标公式可进行求解． 【详解】解：所建平面直角坐标系如图所示： ∵，，，， ∴，，， ∵是矩形的对角线，且交于一点， ∴点是的中点， ∴根据中点坐标公式可得，即， 同理可得， ∴，， ∴此“L”形的重心坐标为； 故答案为． C 培优训练 11．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知：在平面直角坐标系中，点的坐标为 (1)若点在轴上，求的值；并直接写出点能否为原点． (2)若轴，并且点的坐标为． ①求点的坐标； ②求线段的长． 【答案】(1)，不能 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标的确定，掌握平面直角坐标系内坐标轴上点的特征，平行于坐标轴的点的特征是解题的关键． （1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，求出a即可；根据横，纵坐标，即可判断点M不能为原点； （2）①根据点M，N的纵坐标相同求出a，即可得出答案； ②根据横坐标的差的绝对值即为两个点（纵坐标相同）之间的距离解答即可． 【详解】（1）解：∵点M在x轴上， ∴点的纵坐标为0， 即． 解得； 当，；当，， ∴点M不能为原点； （2）解：∵轴， ∴点M和点N的纵坐标相等． 即． 解得． ∴点M的坐标为； ∵点N的坐标为，点M的坐标为， ∴． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，建立平面直角坐标系，使点的坐标分别为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）以点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系即可； （）根据（）所建立平面直角坐标系写出各点坐标即可； 本题考查了坐标与图形，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： （2）解：由图可得，． 13．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系上描出下列各点，再把它们依次连接成封闭的图形，看看你得到的图形像什么？直接写出所形成的图形的面积． ，，，，，，，，，，，，，，，，． 【答案】图形见解析，所得到的图形像一只蝴蝶，其面积为22 【分析】本题考查了坐标系中描点问题，割补法求面积． 找出各坐标表示的点的位置，依次连接成封闭的图形，可知所得到的图形像一只蝴蝶，根据割补法求面积即可． 【详解】解：如图所示，即为所求： 所得到的图形像一只蝴蝶， 面积为 ． 14．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读一下： 在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 应用一下： （1）若点、，则轴，的长度为___________； （2）若点，且轴，且，则点的坐标为_________； 拓展一下： 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点之间的折线距离为，根据上述规定解决下列问题： （3）如图1，已知，，则___________； （4）如图2，已知，，若，则___________； （5）如图3，已知，点在的正半轴上，且三角形的面积为，设，写出关于的表达式（不要求化简，不注明变量取值范围）． 【答案】（1）1；（2）或；（3）5；（4）或；（5） 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键． （1）根据若，则轴，且线段的长度为，代入数据即可得出结论； （2）由轴，可设点的坐标为，根据列方程，解之即可得出结论； （3）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论； （4）根据两点之间的折线距离公式结合，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （5）根据两点之间的折线距离公式即可求解． 【详解】解：（1）由点、可知：轴，的长度为， 故答案为：1． （2）由轴，可设点的坐标为， ∵，， ，解得：或1， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． （3）∵，， ∴． 故答案为：5． （4）∵，，， ， 解得：． 故答案为：或． （5）设点的坐标为，知， ∵， 根据三角形面积公式有， ∴ ∵， ． 15．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 【分析】本题考查了点的坐标规律，发现规律是关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ，， ，， 故答案为：①；②； （2）解：． 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，，0为周期循环． ，，，为动点A在运动过程中的连续四点， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 用有序数对表示位置 题型二 用有序数对表示路线 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 题型四 求点到坐标轴的距离 题型五 判断点所在的象限 题型六 已知点所在的象限求参数 题型七 坐标系中描点 题型八 中点坐标 题型九 点坐标规律探索 题型十 实际问题在中用坐标表示 题型十一 根据方位描述确定物体的位置 题型十二 已知两点坐标求两点距离 题型十三 用方向角和距离确定物体的位置 拓展训练一 点坐标综合问题 拓展训练二 点的位置与坐标新定义问题 拓展训练三 坐标与几何综合应用 知识点一：坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知点位于第四象限，且距离轴5个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海松江·期末）点在第_____________象限． 知识点二：点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标为，对线段的判断正确的是（   ） A．线段与x轴平行 B．线段与y轴平行 C．线段与x轴垂直 D．以上说法都不对 2．（2026八年级下·上海·专题练习）如果教室里可以用来表示学生座位的第3行第2列，那么第4行第1列可以用一对数______来表示． 知识点三：规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（2024·上海宝山·一模）如图，轴，点，，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…．第次碰到矩形的边时的点为图中的______． 【经典例题一 用有序数对表示位置】 【例1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·月考）若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图是围棋盘的一部分，若用表示白棋的位置，用表示白棋的位置，则黑棋的位置可表示为______，黑棋的位置可表示为______． 1．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）如图的密码表是用来玩听声音猜字母的，如果听到“叮叮—叮叮，叮—叮，叮叮叮—叮”表示的是“”，那么听到“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”时，表示的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川德阳·月考）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … … … 表中数2在第二行第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2025对应的有序数对为______． 3．（2025·上海·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 【经典例题二 用有序数对表示路线】 【例1】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【例2】（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 1．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 2．（25-26八年级下·上海闵行·月考）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 3．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 【经典例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图，从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【例2】（24-25八年级上·重庆·周测）已知点的坐标为，线段，且轴，则点的坐标为______． 1．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，．若点在坐标轴上，使的面积为，求点的坐标为___________． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 求点到坐标轴的距离】 【例1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知点，若点Q的坐标为，且直线轴，则点P的坐标为______． 1．（25-26八年级下·上海三角·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点分别在轴和轴正半轴上，，则等于（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，等腰直角的点 B是原点，，，若点 D在 y轴上，且的面积是的一半，则点 D的坐标是 ______． 3．（25-26八年级上·广东深圳·周测）在平面直角坐标系中： (1)若点到两坐标轴的距离相等，求M的坐标为________； (2)若点，点，且轴，求M的坐标为________； (3)若点在坐标轴上，求M的坐标为________； (4)若点，点，且轴，，求M的坐标为________． 【经典例题五 判断点所在的象限】 【例1】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系内，点一定不在第________象限． 1．（24-25八年级下·上海松江·期中）若满足，则点M所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．不能确定 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第______象限． 3．（24-25八年级下·陕西延安·期末）已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【经典例题六 已知点所在的象限求参数】 【例1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 【例2】（2025九年级·吉林长春·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点，则m与n的数量关系是_____． 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如果点在x轴上，那么点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级下·新疆和田·期末）若点在轴上，则点的坐标是______． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【经典例题七 坐标系中描点】 【例1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【例2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连接起来． （1），，，； （2），，，； （3），． 观察所得的图形，你觉得它像什么？ 【经典例题八 中点坐标】 【例1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若点与点关于点对称，则_______ ． 1．（25-26八年级上·山东日照·期末）在教材综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现：如图，把一个平面组合“L”形图形分割成甲、乙两部分，以点B为坐标原点．“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．若，，，，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 3．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）【综合与实践】确定组合图形匀质薄板的重心位置． 我们已发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线的交点处． 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为S，被分成n部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． 如图1①，“L”形匀质薄板中，，，，，确定该薄板的重心位置的步骤： ①先求出该薄板的面积； ②将该薄板分为两个长方形薄板Ⅰ，Ⅱ，以B为原点，以1为单位长度建立平面直角坐标系（如图1②）； ③确定长方形薄板Ⅰ的重心为，面积；长方形薄板Ⅱ的重心为，面积； ④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图2，正方形中，，直接写出正方形的重心坐标； (2)如图3，多边形中，，，，请以C点为原点，1为单位长度建立平面直角坐标系，并求出多边形的重心坐标． 【经典例题九 点坐标规律探索】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，一物体从点出发沿长方形的边按逆时针作环绕运动，速度为1个单位长度/秒，则经过2022秒后，物体所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为，，，．曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次以B，C，D，A循环，则点的坐标是 ______________ ． 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是__________． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： （1）建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系． （2）分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． （3）确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． （4）代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形）， 可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为： 其中． 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：如图，已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（轴、轴1个单位长度表示） 任务3：如图，挖空部分为圆形，圆心坐标为，组合图形的重心坐标为，则挖空圆面积是_____；（取3） 【经典例题十 实际问题在中用坐标表示】 【例1】（25-26八年级上·广东河源·期末）2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳！低空经济开启“不眠模式”．如图，若无人机在某次投送点的中心位置在图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________． 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）五子棋的比赛规则是：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子记为胜方．如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，若轮到黑棋走，小红认为黑棋放在或位置胜利．若轮到白棋走，小刚认为白棋放到位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小红、小刚均正确 B．小红、小刚均错误 C．小红正确，小刚错误 D．小红错误，小刚正确 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）电视机厂工程师通过向电脑输入点的坐标控制机械手，机械手按坐标指示的“地址”将有关元器件准确插入线路板上的焊孔，然后通过焊接工序将它们焊牢．如图，焊孔P，Q的坐标分别为，如果你是工程师，请输入坐标______．让机械手把元器件准确插入焊孔R． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图标明了李华家附近的一些地方． (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标； (2)某星期日早晨，李华从家里出发，经过了点，，，写出他路上经过的地方． 【经典例题十一 根据方位描述确定物体的位置】 【例1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）河南嵖岈山享有 “华夏盆景”“ 中州独秀”“中原石林”的美誉．下列信息能确定嵖岈山具体位置的是（    ） A．驻马店市遂平县 B．在郑州市南偏西方向 C．东经，北纬 D．距郑州市直线距离180公里 【例2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·月考）按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级·上海长宁·假期作业）某人从点沿北偏东的方向走了100米到达点，再从点沿南偏西的方向走了100米到达点，那么点在点的南偏东__度的方向上． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 【经典例题十二 已知两点坐标求两点距离】 【例1】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南商丘·一模）如图，矩形中，点，，，点为轴上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点的对应点为点，当点落在轴上时，点的坐标为______． 1．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、C在x轴上，点D的坐标是，点E是对角线的中点，且，则点E横坐标为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，且到和点的距离相等，则线段的长度为______． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，且满足方程组，点坐标为，连接、．          (1)求点坐标； (2)动点从出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接，用含的式子表示的面积，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，点在线段上，点在线段上，且，连接，当的面积为6时，求的值并直接写出点坐标． 【经典例题十三 用方向角和距离确定物体的位置】 【例1】（25-26八年级上·山西·月考）某区域设置了一个无人机监控中心，以监控中心为原点，每隔画一个同心圆，并将每个圆周平均分成12等份（对应12个方位）．若无人机在监控画面中发现两个目标，，则，两目标之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是两艘舰艇的位置示意图，舰距离舰16海里，用方向和距离描述舰相对舰的位置为_____． 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，小明家位于学校（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏东 2．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图，点A在观测点北偏东30方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30)，用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8，60)，C(4，60)，则观测点的位置应在__． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 【拓展训练一 点坐标综合问题】 【例1】（24-25八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【例2】（24-25八年级上·重庆·周测）在平面直角坐标系中，如图放置，其中，则点C的坐标为______． 1．（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求、的值； (2)如果轴，且，求、的值． (3)点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 2．（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系的原点O在格点上，轴、轴都在格线上．线段的两个端点也在格点上． (1)若将线段绕点O逆时针旋转得到线段，试在图中画出线段． (2)若点P是此平面直角坐标系内的一点，当点A、B、、P四点围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点P的坐标． 【拓展训练二 点的位置与坐标新定义问题】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第______象限． 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” (1)点的“长距”为______； (2)若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 3．（25-26八年级上·上海长宁·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________； (3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【拓展训练三 坐标与几何综合应用】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始．按顺时针方向．取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【例2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）重心是一个物体受力的平衡点．如图，质地均匀的薄板是由边长为4的正方形和边长为2的正方形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，分别是正方形的重心．此薄板的重心在直线上，则的坐标为______．（其中，分别是正方形的面积．） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到三角形．（点A，B，C的对应点分别为点）    (1)请在图中作出平移后的三角形． (2)请直接写出点的坐标． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，点A，B，C，D，E，F，G为正方形网格图中的7个格点．建立平面直角坐标系，使点B，G的坐标分别为和． (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)写出图中七个点中在第四象限的点及其坐标； (3)正方形的边长是__________． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，为美化校园环境，学校计划在教学楼前的长方形草坪（长12米、宽8米）内规划3个景观区域：（自动灌溉喷头）、（石凳）、（小型花坛）．请按要求完成以下任务： (1)以长方形草坪左下角顶点为坐标原点，水平向右方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，1个单位长度代表1米，请建立平面直角坐标系，并写出长方形草坪四个顶点的坐标； (2)在（1）的基础上，已知喷头在草坪中心，石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米；花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米，请直接写出，，三点的坐标． A基础训练 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）点不可能在哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北十堰·月考）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海长宁·周测）在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的平面直角坐标系中有原点O与A、B、C、D 四点．若有一直线 l经过点且与x轴垂直，则l也会经过（   ） A．点A B．点 B C．点C D．点 D B 提高训练 6．（25-26八年级·上海·假期作业）如果点与点的距离等于，那么的值等于___． 7．（24-25八年级下·山西太原·月考）已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围为________． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，若点B、C的坐标分别为、，则点A的坐标为______． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于______． 10．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为__________． C 培优训练 11．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知：在平面直角坐标系中，点的坐标为 (1)若点在轴上，求的值；并直接写出点能否为原点． (2)若轴，并且点的坐标为． ①求点的坐标； ②求线段的长． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，建立平面直角坐标系，使点的坐标分别为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)写出点的坐标． 13．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系上描出下列各点，再把它们依次连接成封闭的图形，看看你得到的图形像什么？直接写出所形成的图形的面积． ，，，，，，，，，，，，，，，，． 14．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读一下： 在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 应用一下： （1）若点、，则轴，的长度为___________； （2）若点，且轴，且，则点的坐标为_________； 拓展一下： 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点之间的折线距离为，根据上述规定解决下列问题： （3）如图1，已知，，则___________； （4）如图2，已知，，若，则___________； （5）如图3，已知，点在的正半轴上，且三角形的面积为，设，写出关于的表达式（不要求化简，不注明变量取值范围）． 15．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $