专题03 矩形的判定与性质重难点题型专训（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题03 矩形的性质与判定重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 矩形的判定定理理解 题型三 添一条件使四边形是矩形 题型四 求矩形在坐标系中的坐标 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 证明四边形是矩形 题型七 根据矩形的性质与判定求角度 题型八 根据矩形的性质与判定求线段长 题型九 根据矩形的性质与判定求面积 拓展训练一 矩形中的最值问题 拓展训练二 矩形中的存在性问题 拓展训练三 矩形中的折叠问题 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 2．（2025八年级下·上海嘉定·专题练习）矩形的定义：有___________的平行四边形叫做矩形． 【答案】一个角是直角 【解析】略 知识点二：矩形的性质 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【补充】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．利用矩形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海松江·开学考试）一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形一角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，则所钉成的长方形的面积是____________． 【答案】7或或 【分析】本题考查了根据矩形的性质求面积，解题关键是掌握根据矩形的性质求面积方法． 分别计算将A、B、C顶点处的钉子去掉时长方形的另一条边长，再分将A顶点处的钉子去掉、将B顶点处的钉子去掉、将C顶点处的钉子去掉，3种情况，分别求长方形的面积． 【详解】解：若将A顶点处的钉子去掉，所钉成的长方形的面积是； 若将B顶点处的钉子去掉，所钉成的长方形的面积是； 若将C顶点处的钉子去掉，所钉成的长方形的面积是； ∴所钉成的长方形的面积是7或或． 故答案为：7或或． 知识点三：矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【详解】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， 故选D． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 2．（2025八年级下·上海嘉定·专题练习）如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当_______时，活动框架是矩形． 【答案】90° 【分析】根据矩形的定义即可求解． 【详解】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以得到∠α=90°． 故答案是：90°． 【点睛】本题考查了矩形的定义，理解矩形的定义是关键． 【经典例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的周长，下列说法正确的是（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形及平行四边形的性质，根据矩形及平行四边形的性质直接写出结论即可． 【详解】∵矩形木框挤压变成平行四边形后，木框每边的长度没变， ∴木框的周长不变． 故选：C． 【例2】（2025·上海杨浦·一模）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，C、D在同一直线上，，现将调整为，保持不变，则图中应为_______． 【答案】50 【分析】本题考查了三角形外角的性质，矩形的性质，角度的计算，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角形外角的性质，得到，再结合，即可求出的度数． 【详解】解：∵，°， ∴， ∵行李箱的侧面可看成一个矩形， ∴， ∴． 故答案为：50． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的四个角都是直角，对角线互相平分且相等，逐项判断即可． 【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O． ，，， 不能得出， 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，矩形中，对角线、相交于点O，且，则______． 【答案】/35度 【分析】本题考查了矩形的性质，即矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分，即可得到结果，正确理解矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，乙矩形的面积是甲矩形面积的，它们的长宽比也都是，乙矩形的长是15厘米． (1)求甲矩形的面积是多少？ (2)把图①中乙矩形向左平移得到图②，重叠部分又是一个长宽比为的矩形，这个矩形的面积是多少平方厘米？ (3)如果把这两个矩形随意重叠放置，如图③，求甲、乙两矩形未重叠部分的面积差． 【答案】(1)225平方厘米 (2)48.6平方厘米 (3)90平方厘米 【分析】（1）根据长宽比求出乙矩形的宽，再求出乙矩形的面积根据面积比可求得甲矩形的面积． （2）乙矩形的宽作为重叠部分的矩形的长根据长宽比求出宽，即可求出重叠部分的矩形的面积． （3）重叠部分都在两个矩形里，未重叠部分面积差实际等于两个矩形面积的差． （平方厘米） 【详解】（1）解：乙矩形的宽为（厘米）， 乙矩形的面积为（平方厘米）， 根据题意，得甲矩形的面积为（平方厘米）， 答：甲矩形的面积是225平方厘米． （2）解：（厘米），（平方厘米）， 答：重叠部分矩形的面积是48.6平方厘米． （3）解：假设重叠部分的面积是平方厘米， （平方厘米）， 答：甲、乙两矩形未重叠部分的面积之差是90平方厘米． 【点睛】本题考查了矩形相关计算．熟练掌握矩形性质，长宽比计算，面积公式，面积比计算，平移、叠合性质，是解题的关键． 【经典例题二 矩形的判定定理理解】 【例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·上海嘉定·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是 （    ） A． B．当 时，它是矩形 C．当 时，它是菱形 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，解题的关键是：熟练掌握相关判定定理．根据菱形和矩形的判定，依次判断，即可求解． 【详解】解：、由是平行四边形可得，，该选项正确，不符合题意， 、由有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意， 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项正确，不符合题意， 、平行四边形的对角线不一定相等，该选项不正确，符合题意， 故选：D． 2．（25-26八年级下·上海嘉定·课后作业）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键． 先明确平行四边形的性质，再根据对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，判断该平行四边形是否为矩形，从而得出侧边与上下底垂直的结论． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 若对角线， 则平行四边形是矩形， 其数学依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，为上任意一点． (1)如图①，只用无刻度的直尺在边上作出点，使直线平分平行四边形的面积； (2)如图②，用无刻度直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在边、、上（不写作法，只保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图,平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识， （1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求作． （2）连接，交于点，连接，延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，延长交于点，连接，，，，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，点，四边形即为所求作． （2）如图，四边形即为所求作．    理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理：，可得， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【经典例题三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是平行四边形，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形是矩形． 【详解】解：A、，当是平行四边形时都成立，故不符合题意； B、，当是平行四边形时都成立，故不符合题意； C、，则是菱形，故不符合题意； D、，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，在中，对角线，相交于点O，，若要使为矩形，则的长应该为____________．      【答案】4 【分析】根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）解答即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，， ∴， 要使为矩形，则． 故答案为：4 【点睛】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在中，对角线，相交于点O，下列验收方法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，若，则是矩形，A不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，∵，∴，∴是矩形，B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，若，则是矩形，C不符合题意； D、平行四边形对角线互相平分，故根据不能判定是矩形，D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 2．（2025·山西晋城·一模）如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是__________.（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加使得四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． (1)添加的条件是_______； (2)请给出证明过程． ________________________________ 【答案】(1) (答案不唯一) (2)见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． （1）根据题意添加合适的条件即可； （2）证明，则，又由，即可证明四边形是平行四边形，又由即可证明四边形成为矩形． 【详解】（1）添加的条件是； 故答案为： (答案不唯一) （2）证明∶ ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【经典例题四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是_____． 【答案】（8，10） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 1．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 2．（2025·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为___________． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，轴，轴，则可求点D坐标． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ， 且轴， 轴，轴， ， 点C横坐标为3，点A纵坐标为2， 点D坐标为， 【点睛】本题主要考查矩形的性质，坐标与图形性质，熟练运用矩形性质是本题的关键． 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）已知长度，即可求出周长； （2）由题意得：，根据此式可求出的长度，即可得出答案； （3）画出图形，根据即可求出． 【详解】（1）解：长方形的周长为：； （2）解：由题意得：， 设，则， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，    由题意得：，， ∴，，， ∴； 【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练使用面积转化的方法表示三角形的面积是解题关键． 【经典例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：C 【例2】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的性质可得，，从而可得为等腰三角形，，即可求得的度数． 【详解】解：四边形为矩形，对角线、相交于点O， ， 为等腰三角形， ， ， ， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（     ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质、直角三角形的性质，根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 2．（2025·江苏镇江·三模）如图，摆放矩形与矩形，使B，C，G在一条直线上，在边上，连接，若H为的中点，连接，那么与之间的数量关系是______ ．    【答案】 【分析】延长交于点M，只要证明，推出，在中利用斜边中线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交于点M，   四边形和是矩形，B，C，G在一条直线上，在边上， ∴， ， ∵H为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ， 在中，， ， ． 故答案是：． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．（2025八年级下·上海嘉定·专题练习）（1）如图，四边形是菱形，点分别在上，．求证：； （2）如图，在矩形中，分别是边的中点．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接AC，利用菱形对角线平分每组对角可得，证明即可； （2）通过证明四边形为平行四边形即可得到证明． 【详解】证明：（1）如图，连接． 四边形是菱形， ． 在和中， ， ． （2）四边形是矩形， ． 分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，掌握性质判定是解题的关键． 【经典例题六 证明四边形是矩形】 【例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C ． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，四边形是个活动框架，对角线是两根皮筋．如果扭动这个框架（位置不变），当扭动到时四边形是个矩形，和相交于点O．如果四边形为菱形，则_______° 【答案】30 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定．由题意得，根据菱形的性质得到，推出是等边三角形，求得，根据矩形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵在扭动过程中，CD的长度是不会发生变化的， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：30． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，是对角线，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当平分时，四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定等。根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案。 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵E，F分别为边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，不能得到，故不能判定四边形是菱形，即A选项符合题意， 当时， ∴， ∴四边形是菱形，即B选项不符合题意， 当时，， ∴， ∴四边形是矩形，即C选项不符合题意， 当平分时，如图，延长，交于点， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，即D选项不符合题意， 故选：A 2．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 【详解】解：顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形． ①， 新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形是平行四边形， ，． ， ． 根据等腰三角形的性质可知， ， 新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形是平行四边形， ． ， ． ． ， 四边形是矩形，联结各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④，， ，即平行四边形的对角线互相垂直， 新四边形是矩形，符合条件． 所以①②④符合条件． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查矩形，解题的关键是数量掌握矩形的判断定理． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）证，得，则，过D作于M，由勾股定理得，，进而即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形为矩形； （2）解：， ， 由（1）得：四边形为矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 【经典例题七 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【例2】（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·假期作业）如图，将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段的对应点分别是点，，依次连接．则下列结论不一定正确的是（   ）      A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，推出四边形是正方形，于是得到结论． 【详解】解：∵将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段， ， ∴四边形是矩形， ， ∵不清楚旋转角度，故不能证明， 时，， ∴四边形是正方形， 故A，B，Ｄ正确， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为_________． 【答案】 【分析】由题意可知，平行四边形的对角线互相平分且相等，则ABCD为矩形，三角形ADO为等边三角形，则BD=8，在中，应用勾股定理即可求解． 【详解】解： ， ， ， 即 ， 则四边形ABCD为矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：    小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．    这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． 【答案】这两位同学的说法都正确，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定以及性质，连接，，先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明四边形是矩形，根据矩形得性质得出，，进而即可证明． 【详解】这两位同学的说法都正确，证明如下， 证明：如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，点D在的延长线上， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 【经典例题八 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，连接，由矩形的性质得到，证明四边形是矩形，得到，则，故当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，延长交于H，证明四边形是矩形，再求出、的长，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，延长交于H， ∵矩形和矩形的一组邻边长分别为5和12， ，，，， ，， ，四边形是矩形， ，， ， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接、，若，，则图中阴影面积为（　　） A．16 B．18 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，过点P作于，延长交于，证明四边形、均为矩形，由矩形的性质可得，，，求出，即可得解，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：过点P作于，延长交于， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形、均为矩形， 由矩形的性质可得，，， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 即图中阴影面积为． 故选：B． 2．（2025·广西南宁·二模）如图，在中，，点，分别在边上运动，满足，连接，当四边形的周长最小时，则的长为___________． 【答案】2.5 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，先推出当四边形的周长最小时，最小，此时，过点A作于点M，推出四边形是矩形，得，，根据含30度角的直角三角形的性质得，再由可计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， 四边形的周长， ∴当四边形的周长最小时，最小，此时， 如图，过点A作于点M， ∴， 又∵在中，，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 3．（24-25八年级下·吉林松原·月考）如图，的面积为32，，，点E、F分别在边上，且．动点P从点E出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点F出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．过点P、Q分别作的垂线，垂足分别为N、M，设点P的运动时间为，四边形与重叠部分的面积为y． (1)的长为______； (2)当四边形是正方形时，求x的值； (3)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)连接交于点G，连接交于点H，当四边形是正方形时，直接写出此时x的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和正方形的判定和性质，求函数解析式等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）根据可求得结果； （2）可推出四边形是矩形，当时，矩形是正方形，进而得出结果； （3）作于，可求得，分三种情况讨论即可； （4）根据四边形是正方形，从而得出，进而得出，从而． 【详解】（1）解：如图， 由得： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴当时，矩形是正方形， ∴， ∴； （3）解：如图，作于， ， ， ， ∴当时，点在处， 当时，， ， 如图： 当时， 设交于，交于， ，， ， ， 综上所述：； （4）解：如图： ∵四边形是正方形， ， ， ， ． 【经典例题九 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在中，，，连接，相交于点，为的中点，若，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得出，进而得出是矩形，根据矩形的性质得出，，进而根据四边形的面积即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质与判定，熟练掌握矩形的中是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了菱形的性质的运用，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分． 连接，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到都是直角，即可得到四边形是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又 ∵是的中点， ∴， 又 ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵菱形的面积为， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：3． 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】依据矩形的性质即可得到的面积为2，再根据，即可得到的值． 【详解】解：，， 矩形的面积为8，， ， 对角线，交于点， 的面积为2， ，， ，即， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分． 2．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，已知五边形ABCDE中，，∠A＝∠B＝90°，则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有___条． 【答案】无数 【分析】过点C作与AB平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分；设该直线与边DE、AB的交点分别为P、Q，线段PQ的中点为O，则经过点O且与边DE、AB相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分． 【详解】解：将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有无数条． 【点睛】本题考查了转化思想，把多边形问题转换为特殊的四边形来进行解决是解题的关键． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证得，再根据可得四边形为平行四边形，然后由得，进而得，再由得，据此可得出结论； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，证明四边形为矩形得，然后表示，，可得，，的等量关系． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，如下图所示： 证明四边形为矩形得， ∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形 ∴， ∵，，， ∴， 即． 【拓展训练一 矩形中的最值问题】 【例1】（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】B 【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，求得；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为4； ③根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明；⑤当最小时，最小，的最小值等于． 【详解】解：①如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴．故①正确； ②∵， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形，故③错误； ④连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵正方形为轴对称图形， ∴， ∴，故④正确； ⑤由， ∴当最小时，最小， 则当时，即时，的最小值等于，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，在解答时要认真审题． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，添加恰当辅助线、构造矩形是解题的关键．先证四边形是矩形，由题意可求的长，当时，的面积有最大值，然后求出最值即可解答． 【详解】解：如图，延长至点H，使，连接， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当的面积有最大值时，的面积有最大值， ∴当时，的面积有最大值， ∴的面积的最大值为， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）正方形边长为4，上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积的最大值与最小值的和为（   ） A．32 B．8 C．16 D．64 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，证得矩形的面积是定值是解题的关键．连接，的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，则矩形与正方形面积相等． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴矩形与正方形的面积相等， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴矩形的面积是定值16， ∴矩形的面积的最大值与最小值的和为32， 故选：A． 2．（2025·湖北孝感·二模）如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，且折痕分别与边，相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边，相交于点E，F．若，，则线段的最大值与最小值的和是_____． 【答案】8 【分析】由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得GF＝EC，又由GFEC，即可得四边形CEGF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；当F与D重合时，CE取最小值，可得CE＝CD＝AB＝3；当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE＝CE，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC， ∴∠GFE＝∠FEC， ∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线， ∴∠GEF＝∠FEC， ∴GF＝GE， ∴GE＝EC， ∴四边形CEGF为平行四边形， ∴四边形CEGF为菱形； 如图1，当F与D重合时，CE取最小值， ∴CE＝CD＝AB＝3； 如图2，当G与A重合时，CE取最大值， 由折叠的性质得AE＝CE， ∵∠B＝90°， ∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋（9−CE）2， ∴CE＝5， ∴线段CE的最小值为3，最大值为5，和为8 故答案为：8． 【点睛】本题考查了翻折变换−折叠问题，菱形的判定，线段的最值问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，的面积为与交于点，分别过点作的平行线相交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，及三角形的中位线等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，找准有最小值时的P点位置是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，再证明，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，则，再证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 平行四边形为菱形； （2）解：点是的中点，点是四边形边上的动点， 当垂直于菱形的一边时，有最小值． 过点作于点， 当点为的中点时，连接， 则为的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形， ， 即， 解得：， ， 即的最小值是． 故答案为：． 【拓展训练二 矩形中的存在性问题】 【例1】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，、是对角线上的动点，且，、分别是边，上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点，作出合适的辅助线是解题的关键．连接交于点，连接、、、，，根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，对题目中的说法逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接、、、，， ， ，，， ， ， 当过点时，， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 只要过点，四边形是平行四边形， 存在无数个平行四边形，故①正确； 只要过点，且，四边形是矩形， 存在无数个矩形，故②正确； 只要过点，且，四边形是菱形， 存在无数个菱形，故③正确； 只要过点，且，四边形是正方形， 符合要求的正方形只有1个，故④错误； 正确的有①②③，正确的个数是3个． 故选：C． 【例2】 （24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，是对角线上的动点，且分别是边上的动点．下列四个结论： ①存在无数个平行四边形； ②存在无数个矩形； ③存在两个菱形； ④存在一个正方形． 其中正确的结论是__________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可． 【详解】解：连接，且令，相交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 只要，那么四边形就是平行四边形， ∵点E，F是上的动点， ∴存在无数个平行四边形，故①正确； 只要，则四边形是矩形， ∵点E，F是上的动点， ∴存在无数个矩形，故②正确； 只要，则四边形是菱形， ∵点E，F是上的动点， ∴存在无数个菱形，故③错误； 只要，则四边形是正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故④正确； 故答案为：①②④． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·月考）如图，在长方形ABCD中AB=CD=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△ABP和△DCE全等，则t的值为（　　） A．t= B．t=2 C．t=或t=2 D．t=或t=3 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=4t=2和AP=14-2t=2即可求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABP=∠BAD=∠BCD=90°， ∴∠DCE=90°， 分两种情况： ①点P在BC上时， ∵AB=CD， ∴当BP=CE=2时，△ABP≌△DCE（SAS）， 由题意得：BP=4t=2， ∴t=； ②点P在AD上时， ∵AB=CD， ∴当AP=CE=2时，△BAP≌△DCE（SAS）， 由题意得：AP=5+4+5-4t=2， 解得：t=3； 综上所述，当t的值为或3时，△ABP和△DCE全等， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．如果��、F分别是AD、BC上的点，且EF经过AC中点O，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的有______． ①在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG=时，存在E、F、G，H，使得四边形EGFH是正方形． 【答案】①②④ 【分析】如图，矩形ABCD，为对角线的交点，由中心对称性证明： 所以当时，四边形是平行四边形，当时，四边形是矩形，当 四边形是菱形，再利用正方形的性质求解 从而可得答案. 【详解】解：如图，矩形ABCD，为对角线的交点， 由中心对称性可得： 所以当时， 四边形是平行四边形， 所以AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是平行四边形；故①符合题意； 当时， 四边形是矩形，而不是定值， 所以在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是矩形；故②符合题意； 当 四边形是菱形， 而位置确定，所以唯一， 所以在AC上不存在无数组G、H，使得四边形EGFH是菱形，故③不符合题意； 如图，当四边形EGFH是正方形时， 由矩形可得： 所以当AG=时，存在E、F、G，H，使得四边形EGFH是正方形，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，正方形的性质，掌握“特殊四边形的判定与性质”是解本题的关键. 3．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为______，的取值范围为______． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10，； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识 （1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点，运动路程和速度可得的取值范围； （2）根据矩形的性质可得，列方程即可求解； （3）当四边形是菱形时，有，根据计算发现，所以四边形不可能是菱形. 【详解】（1）解：如图1，过点作于，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 由勾股定理得：； 点从点出发，以的速度向点运动，， 点运动到的时间为：， 同理得：点运动到点的时间为：， ； 故答案为：10，； （2）解：如图所示，当是矩形时，， ，， ， 解得：； （3）解：不存在，理由： 当四边形是菱形时，有， 即， ， 此时， ， 四边形不可能是菱形． 【拓展训练三 矩形中的折叠问题】 【例1】（25-26八年级下·上海嘉定·月考）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处．设重叠部分为，那么下列说法错误的是（   ） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 【答案】B 【分析】利用矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形的定义，逐一分析每个选项的正确性，从而找出错误的说法． 【详解】解：A、∵四边形是矩形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． ∴． ∴是等腰三角形，不符合题意． B、折叠后，和 不一定相等． 只有当时，和才相等，一般情况下不成立，符合题意． C、折叠后得到的图形关于对角线所在的直线对称，因此是轴对称图形，不符合题意． D、∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∵ ∴，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形，解题关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，并结合矩形的性质进行推理判断． 【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，将边长为12的正方形纸片折叠，点落在边上的点处，点落在点处，折痕为，若，则线段的长是__________． 【答案】13 【分析】连接交于M，作于G，由折叠性质及已知可证明，则，在中由勾股定理即可求得的长度，从而求得结果． 【详解】解：如图，连接交于M，作于G， 则， 由折叠知，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 故答案为：13．　 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明全等是关键． 1．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题． 小组 探究内容 图形 第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为． 第二小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点． 步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．         根据以上各小组探究内容，求解下列问题． (1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形． (2)根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或，图见解析 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，进而得到，然后根据折叠的性质得，即可证明出是等腰三角形； （2）根据题意画出图形，分两种情况讨论，分别根据折叠的性质得到，然后进一步得到，利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵把沿折叠到， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示，当点P在线段上时， ∵把矩形沿折叠，使得与重合， ∴， 由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， 同理可得，，，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 综上所述，BP的长度为或． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，勾股定理． 2．（24-25九年级上·山西太原·月考）综合与实践 课程学习：矩形折纸中的数学． 动手操作 如图，四边形是一张矩形纸片，先将矩形沿，边的点，对折，使得与重合，折痕为，把这个矩形展平． (1)数学思考 求证：四边形是矩形： (2)继续操作： 如图，陈老师在图的基础上，沿直线折叠，使点落在上，对应点为，再沿直线折叠，使点落在上，对应点为： 解决问题： 试判断线段与的位置关系并证明 (3)受到陈老师的启发，小卫和小韩在图的基础上分别提出了不同的问题，请你帮助她们解决提出的问题； ①小卫：若图中的点、恰好是线段的三等分点，延长线段，交于点，得到如图3所示的图形，试说明点是的中点； ②小韩：若图中矩形的边的长为，的长为，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)平行，证明见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）利用折叠证明，从而证明四边形是矩形； （2）利用折叠形成的相等的边，角证明，从而证明； （3）①利用平行线分线段成比例和矩形对边相等可得，从而证明点是的中点； ②利用折叠转化边的长度，利用勾股定理计算出的长度，设，在中利用勾股定理建立方程求出即可 【详解】（1）证明：∵折叠使得与重合， ∴，分别为，中点，即． ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴四边形是矩形 （2）与平行 证明：∵四边形是矩形 ∴， ∵折叠使得与重合， ∴， ∵沿直线折叠，使点落在上，对应点为，再沿直线折叠，使点落在上，对应点为 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ （3）①∵四边形是矩形 ∴ ∵点是线段的三等分点 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴即 ∵ ∴即点是的中点 ②设， ∵折叠 ∴， ∴ 在中，由勾股定理得 即解得 ∴ 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，综合运用这些知识解决问题是本题的关键． 3．（24-25八年级下·河南新乡·期中）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么? (1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上． 求证：四边形ABEF是正方形．(请完成以下填空) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°， ∵折叠，∠AFE=∠B=90°， ∴四边形ABEF是矩形(    ) ∵折叠，∴AB＝(    )， ∴四边形ABEF是正方形(    ) (2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边 BC上． ①求证：四边形ABEF是菱形． ②连结BF，若AE＝5，BF＝10，求菱形ABEF的面积． 【答案】(1)有三个角是直角的四边形是矩形；AF；一组邻边相等的矩形是正方形． (2)①证明见详解；②菱形ABEF的面积为25 【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD=∠B=90°，再由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，AB=AF，则四边形ABEF是矩形，然后由AB=AF，即可得出结论； （2）①由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠FAE=∠BEA，再证AB=BE，则AF=BE，得四边形ABEF是平行四边形，然后由AF=AB即可得出结论； ②由菱形面积公式得S菱形ABEF=AE•BF，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠B=90°， 由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°， ∴四边形ABEF是矩形 （有三个角是直角的四边形为矩形）， 由折叠的性质得：AB=AF， ∴四边形ABEF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形；AF；有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA， 由折叠的性质得：AF=AB，∠BAE=∠FAE， ∴∠BEA=∠BAE， ∴AB=BE， ∴AF=BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AF=AB， ∴平行四边形ABEF是菱形； ②解：如图， ∵四边形ABEF是菱形，AE=5，BF=10， ∴S菱形ABEF=AE•BF=×5×10=25， 故菱形ABEF的面积为25． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键． A基础训练 1．（24-25八年级下·上海嘉定·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的定义、矩形与平行四边形的关联及性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 结合相关概念逐一分析选项判断即可． 【详解】解：A、矩形是特殊的平行四边形，故选项不符合题意； B、矩形是特殊的平行四边形，则平行四边形具有的性质矩形都具有，故选项不符合题意； C、有一个角是直角的四边形不一定是矩形，比如直角梯形，故选项符合题意； D、矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，故选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级下·上海嘉定·课后作业）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 3．（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是； 故选B． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，连接，根据矩形的性质得到，当最小时，最小，当时，的值最小，根据矩形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当最小时，最小， 当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为2， 故选：B． 5．（2025·浙江宁波·三模）如图，在中，点是线段上一点，于点，四边形为矩形，若，的面积为，矩形的面积为，则下列图形中面积可以确定的是（    ） A．的面积 B．四边形的面积 C．梯形的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，根据矩形的性质和梯形的性质利用面积公式解答即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， 则， ， ， 则， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， 的面积可以确定， 故选：D． 【点睛】此题考查梯形，解题的关键是根据矩形的性质得出解答． B 提高训练 6．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 7．（2025九年级上·山西·专题练习）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是：__________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查对矩形的判定，掌握对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键． 根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 8．（24-25八年级下·吉林通化·期末）如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 _______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键.，根据折叠的性质可得，结合平角的定义即可得出，即可得出，由此即可求解. 【详解】解：∵由折叠的性质可得， ∴点恰好在同一条直线上， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 10．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 【详解】解：如图，连接交于G，交于H， 平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ． ∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积 ， 故答案为： C 培优训练 11．（25-26八年级下·上海嘉定·课后作业）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，点D落在点B处，使点C落在点处，折痕为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，平行线的性质等，掌握折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质可得，，，进而证明，可证． 【详解】证明：在长方形中，，，． 由折叠的性质可得，，， ，，， ， ． 12．（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2) 【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定； （2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∴． ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵四边形的形状是菱形， ∴根据对称性，， ∴． 即四边形的面积为． 13．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合点E是的中点，，得，，再结合对顶角相等，证明，则，又因为是边上的中线，故，即可作答； （2）因为，，得，由（1）得，又∵，得出四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 14．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作边上的高； (2)在图2中，作边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点K，作线段，并延长交于点F，即可； （2）连接，交于点M，作线段，并延长交于点G，即可． 【详解】（1）解：如图，高即为所求； 理由：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，即是边上的高； （2）解：如图，高即为所求． 理由：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即是边上的高． 15．（24-25九年级上·山西太原·月考）阅读与思考 下面是小明同学记录的一节数学活动课的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． 【课堂实录】 提出问题：如图1，请在中画出一个矩形并证明． 下面是小明、小亮的作法． 小明的作法如图2，分别作于点，于点，则四边形是矩形； 证明：、， ． 四边形是平行四边形， ， ， ． ． 四边形是矩形． 小亮的作法如图3，连接对角线，取的中点，以点为圆心，的长为半径画弧交于，连接并延长交于点，连接、，则四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形， ． ，， (1)小明作法的证明依据是是 　　是矩形． (2)请按照上面小亮的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)如图3，若小亮作出的矩形恰好是正方形，已知，，且，请直接写出的面积为 　　． 【答案】(1)三个角是直角的四边形是 (2)见解析 (3)28 【分析】（1）根据．判定四边形是矩形，证明依据是三个角是直角的四边形是矩形． （2）证明的全部过程是：连接对角线，取的中点，以点为圆心，的长为半径画弧交于，连接并延长交于点，连接、，则四边形是矩形． （3）根据矩形的性质，求得，根据勾股定理求出，再求出，利用平行四边形面积公式即可求出． 【详解】（1）小明根据．判定四边形是矩形， 所以小明作法的证明依据是三个角是直角的四边形是矩形， 故答案为：三个角是直角的四边形是； （2）证明：四边形是平行四边形， ∴， ， ． 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （3）矩形是正方形， ， 设， ， ， ， ， 解得：，， ， ， ． 故答案为：28． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 矩形的性质与判定重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 矩形的判定定理理解 题型三 添一条件使四边形是矩形 题型四 求矩形在坐标系中的坐标 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 证明四边形是矩形 题型七 根据矩形的性质与判定求角度 题型八 根据矩形的性质与判定求线段长 题型九 根据矩形的性质与判定求面积 拓展训练一 矩形中的最值问题 拓展训练二 矩形中的存在性问题 拓展训练三 矩形中的折叠问题 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．（2025八年级下·上海嘉定·专题练习）矩形的定义：有___________的平行四边形叫做矩形． 知识点二：矩形的性质 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【补充】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25八年级下·上海松江·开学考试）一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形一角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，则所钉成的长方形的面积是____________． 知识点三：矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 2．（2025八年级下·上海嘉定·专题练习）如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当_______时，活动框架是矩形． 【经典例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的周长，下列说法正确的是（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【例2】（2025·上海杨浦·一模）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，C、D在同一直线上，，现将调整为，保持不变，则图中应为_______． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，矩形中，对角线、相交于点O，且，则______． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，乙矩形的面积是甲矩形面积的，它们的长宽比也都是，乙矩形的长是15厘米． (1)求甲矩形的面积是多少？ (2)把图①中乙矩形向左平移得到图②，重叠部分又是一个长宽比为的矩形，这个矩形的面积是多少平方厘米？ (3)如果把这两个矩形随意重叠放置，如图③，求甲、乙两矩形未重叠部分的面积差． 【经典例题二 矩形的判定定理理解】 【例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海嘉定·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是 （    ） A． B．当 时，它是矩形 C．当 时，它是菱形 D． 2．（25-26八年级下·上海嘉定·课后作业）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，为上任意一点． (1)如图①，只用无刻度的直尺在边上作出点，使直线平分平行四边形的面积； (2)如图②，用无刻度直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在边、、上（不写作法，只保留作图痕迹）． 【经典例题三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是平行四边形，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，在中，对角线，相交于点O，，若要使为矩形，则的长应该为____________．      1．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在中，对角线，相交于点O，下列验收方法错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·山西晋城·一模）如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是__________.（填一个即可） 3．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． (1)添加的条件是_______； (2)请给出证明过程． ________________________________ 【经典例题四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是_____． 1．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为___________． 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 【经典例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数是______．    1．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（     ）． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025·江苏镇江·三模）如图，摆放矩形与矩形，使B，C，G在一条直线上，在边上，连接，若H为的中点，连接，那么与之间的数量关系是______ ．    3．（2025八年级下·上海嘉定·专题练习）（1）如图，四边形是菱形，点分别在上，．求证：； （2）如图，在矩形中，分别是边的中点．求证：． 【经典例题六 证明四边形是矩形】 【例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，四边形是个活动框架，对角线是两根皮筋．如果扭动这个框架（位置不变），当扭动到时四边形是个矩形，和相交于点O．如果四边形为菱形，则_______° 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，是对角线，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当平分时，四边形是矩形 2．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______．（填序号） 3．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【经典例题七 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·假期作业）如图，将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段的对应点分别是点，，依次连接．则下列结论不一定正确的是（   ）      A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 2．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为_________． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：    小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．    这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． 【经典例题八 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 【例2】 （24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为_____． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接、，若，，则图中阴影面积为（　　） A．16 B．18 C．22 D．24 2．（2025·广西南宁·二模）如图，在中，，点，分别在边上运动，满足，连接，当四边形的周长最小时，则的长为___________． 3．（24-25八年级下·吉林松原·月考）如图，的面积为32，，，点E、F分别在边上，且．动点P从点E出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点F出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．过点P、Q分别作的垂线，垂足分别为N、M，设点P的运动时间为，四边形与重叠部分的面积为y． (1)的长为______； (2)当四边形是正方形时，求x的值； (3)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)连接交于点G，连接交于点H，当四边形是正方形时，直接写出此时x的值． 【经典例题九 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在中，，，连接，相交于点，为的中点，若，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为________． 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（    ） A． B．2 C． D．2 2．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，已知五边形ABCDE中，，∠A＝∠B＝90°，则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有___条． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【拓展训练一 矩形中的最值问题】 【例1】（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是_____． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）正方形边长为4，上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积的最大值与最小值的和为（   ） A．32 B．8 C．16 D．64 2．（2025·湖北孝感·二模）如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，且折痕分别与边，相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边，相交于点E，F．若，，则线段的最大值与最小值的和是_____． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，的面积为与交于点，分别过点作的平行线相交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是_______． 【拓展训练二 矩形中的存在性问题】 【例1】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，、是对角线上的动点，且，、分别是边，上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】 （24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，是对角线上的动点，且分别是边上的动点．下列四个结论： ①存在无数个平行四边形； ②存在无数个矩形； ③存在两个菱形； ④存在一个正方形． 其中正确的结论是__________（填序号）． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·月考）如图，在长方形ABCD中AB=CD=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△ABP和△DCE全等，则t的值为（　　） A．t= B．t=2 C．t=或t=2 D．t=或t=3 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．如果𝐸、F分别是AD、BC上的点，且EF经过AC中点O，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的有______． ①在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG=时，存在E、F、G，H，使得四边形EGFH是正方形． 3．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为______，的取值范围为______． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【拓展训练三 矩形中的折叠问题】 【例1】（25-26八年级下·上海嘉定·月考）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处．设重叠部分为，那么下列说法错误的是（   ） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，将边长为12的正方形纸片折叠，点落在边上的点处，点落在点处，折痕为，若，则线段的长是__________． 1．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题． 小组 探究内容 图形 第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为． 第二小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点． 步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．         根据以上各小组探究内容，求解下列问题． (1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形． (2)根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度． 2．（24-25九年级上·山西太原·月考）综合与实践 课程学习：矩形折纸中的数学． 动手操作 如图，四边形是一张矩形纸片，先将矩形沿，边的点，对折，使得与重合，折痕为，把这个矩形展平． (1)数学思考 求证：四边形是矩形： (2)继续操作： 如图，陈老师在图的基础上，沿直线折叠，使点落在上，对应点为，再沿直线折叠，使点落在上，对应点为： 解决问题： 试判断线段与的位置关系并证明 (3)受到陈老师的启发，小卫和小韩在图的基础上分别提出了不同的问题，请你帮助她们解决提出的问题； ①小卫：若图中的点、恰好是线段的三等分点，延长线段，交于点，得到如图3所示的图形，试说明点是的中点； ②小韩：若图中矩形的边的长为，的长为，请直接写出线段的长度． 3．（24-25八年级下·河南新乡·期中）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么? (1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上． 求证：四边形ABEF是正方形．(请完成以下填空) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°， ∵折叠，∠AFE=∠B=90°， ∴四边形ABEF是矩形(    ) ∵折叠，∴AB＝(    )， ∴四边形ABEF是正方形(    ) (2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边 BC上． ①求证：四边形ABEF是菱形． ②连结BF，若AE＝5，BF＝10，求菱形ABEF的面积． A基础训练 1．（24-25八年级下·上海嘉定·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2．（25-26八年级下·上海嘉定·课后作业）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 5．（2025·浙江宁波·三模）如图，在中，点是线段上一点，于点，四边形为矩形，若，的面积为，矩形的面积为，则下列图形中面积可以确定的是（    ） A．的面积 B．四边形的面积 C．梯形的面积 D．的面积 B 提高训练 6．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 7．（2025九年级上·山西·专题练习）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是：__________． 8．（24-25八年级下·吉林通化·期末）如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 9．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 _______°． 10．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为_______． C 培优训练 11．（25-26八年级下·上海嘉定·课后作业）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，点D落在点B处，使点C落在点处，折痕为．求证：． 12．（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 13．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 14．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作边上的高； (2)在图2中，作边上的高． 15．（24-25九年级上·山西太原·月考）阅读与思考 下面是小明同学记录的一节数学活动课的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． 【课堂实录】 提出问题：如图1，请在中画出一个矩形并证明． 下面是小明、小亮的作法． 小明的作法如图2，分别作于点，于点，则四边形是矩形； 证明：、， ． 四边形是平行四边形， ， ， ． ． 四边形是矩形． 小亮的作法如图3，连接对角线，取的中点，以点为圆心，的长为半径画弧交于，连接并延长交于点，连接、，则四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形， ． ，， (1)小明作法的证明依据是是 　　是矩形． (2)请按照上面小亮的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)如图3，若小亮作出的矩形恰好是正方形，已知，，且，请直接写出的面积为 　　． 学科网（北京）股份有限公司 $