专题04 菱形的判定与性质重难点题型专训（3个知识点+6大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题04 菱形的判定与性质重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 添一个条件使四边形是菱形 题型二 利用菱形的性质证明 题型三 证明四边形是菱形 题型四 根据菱形的性质与判定求角度 题型五 根据菱形的性质与判定求线段长 题型六 根据菱形的性质与判定求面积 拓展训练一 菱形的最值问题 拓展训练二 菱形的翻折问题 拓展训练三 菱形中存在性问题 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）下列关于四边形的说法，正确的是（　　） A．四个角相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形和菱形的判定方法逐一判断即可； 【详解】A：四个角相等的四边形是矩形，故A错误； B：两条对角线相等的平行四边形为矩形，故B错误； C：有两邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误； D：两条对角线相等的平行四边形是矩形，故D正确； 故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的判定，熟悉掌握判定的方法是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·课后作业）菱形是____________的平行四边形，因此它具有平行四边形的一切性质，此外菱形还具有的性质是：四条边_________，对角线_________，并且每条对角线_________． 【答案】 有一组邻边相等 都相等 互相垂直 平分一组对角 【分析】根据菱形的定义与性质逐一作答即可. 【详解】解：菱形是有一组邻边相等的平行四边形，因此它具有平行四边形的一切性质，此外菱形还具有的性质是：四条边都相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． 故答案为：有一组邻边相等，都相等，互相垂直，平分一组对角. 【点睛】本题考查的是菱形的定义与菱形的性质，掌握菱形的定义与性质是解题的关键. 知识点二：菱形的性质 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【补充】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 4）菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．内角和等于 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据菱形和矩形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、菱形和矩形的内角和都不等于，故选项不符合题意； B、菱形的对角相等，矩形的对角相等，故选项不符合题意； C、菱形的对边平行且相等，矩形的对边平行且相等，故选项不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，不一定垂直，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 2．（2025八年级下·上海杨浦·专题练习）菱形的性质． ①边：菱形的四条边____．菱形的两组对边都互相平行． ②角：菱形的对角____，菱形的邻角互补． ③对角线：菱形的对角线相互_______．且每一条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形是既是______对称图形又是___对称图形． 【答案】 相等 相等 垂直平分 中心 轴 【解析】略 知识点三：菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 【即时训练】 1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形称为菱形．菱形的四条边相等，据此判定即可． 【详解】解：选项A中四边形不是平行四边形， 选项B中，四边形的四边相等，能观察到菱形，符合题意； 选项C中是矩形， 选项D中没有四边都相等的四边形． 故选：B． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题一 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（25-26八年级下·上海松江·期末）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：需添加的一个条件是，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（2025·上海宝山·二模）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、当时，平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、当时，平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，，， ，平行四边形是矩形，故C符合题意； D、四边形是平行四边形，，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，D为上一点，，．请你再添加一个适当的条件：________，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解：，． 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接并延长到点F，使． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件：______使四边形为菱形（不需要说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）由是的中点，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）添加，由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 在与中，， ∴， ∴； （2）解：添加， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 【经典例题二 利用菱形的性质证明】 【例1】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠的性质、菱形的性质、矩形的性质，证出，即可求的度数． 【详解】解：由折叠的性质得， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出．本题属于基础题，难度不大． 由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 为直角三角形． ，且点为线段的中点， ． ． 故答案为：24． 1．（24-25九年级上·河北保定·月考）如图，下列直线是该菱形的对称轴的是（   ） A． B．和 C．和 D．全部都是 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据定义判定即可． 本题考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得菱形的对称轴的是和， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，菱形中，是的垂直平分线，，则 ______．    【答案】25 【分析】根据菱形的性质可得，，，再根据平行线的性质可得，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，从而可得，即，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求点D到的距离h． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质， 利用含30度的性质等知识． （1）利用菱形的判定方法和性质证明即可． （2）利用菱形的性质结合已知条件得出是等边三角形，再利用含30度的性质设，则，，利用勾股定理得出以及x，最后根据菱形求面积即可求出h． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， 即， 解得，负值舍去， 则，， ∴， ∴， 即， 则． 【经典例题三 证明四边形是菱形】 【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图所示，两条笔直公路、相交于点，村庄的村民在公路的旁边建二个加工厂、，已知千米，村庄到公路的距离为12千米，则村庄到公路的距离是（    ） A．5千米 B．10千米 C．12千米 D．18千米 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的面积，熟悉掌握等面积法是解题的关键． 先判定出四边形为菱形，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形为菱形， 设到的距离为， ∵到公路的距离为12千米， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·上海杨浦·课后作业）如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【分析】由折叠的性质，可得，又由为等腰三角形，即可证得，又由四条边都相等的四边形是菱形，即可判定四边形是菱形． 【详解】解：∵是沿底边翻折所得， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 故四边形为菱形的依据是： 四条边相等的四边形是菱形 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的面积公式，理解纸条等宽的条件是解题关键． 先由纸条对边平行判定四边形为平行四边形，再结合纸条等宽，利用面积公式推导出邻边相等，确定其为菱形，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长． 【详解】解：如图，过点作于点E，于点F，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长为． 故选：． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点，已知．请你添加一个条件______，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明得到，即可得四边形是平行四边形，再由即可求证，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·北京·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键. （1）证明四边形是平行四边形，再根据矩形性质可得利用菱形的判定即可证得结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后求出矩形的面积即可． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线，相交于点， ，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 证明四边形是菱形】 【例1】（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东泰安·月考）如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则______．    【答案】/100度 【分析】根据题意得出菱形，根据菱形的性质推出，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程即可求出答案． 【详解】解：∵四边形的四边都相等， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由三角形的内角和定理得：， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程求解是关键． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，是它的一条对角线，作的垂直平分线，分别交于点．    (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，作出图形，根据中垂线性质，结合三角形全等的判定与性质即可求证； （2）由（1）知，利用全等性质得到对角线相互平分，再结合中垂线性质得到四边形是菱形，由菱形性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示：   四边形是平行四边形， ，， ， 垂直平分， ， 在和重 ， ， ， ，， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ，， ∴四边形是平行四边形， 垂直平分，即， ∴四边形是菱形， ， ， 菱形中，对角线平分， ． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、中垂线性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【经典例题五 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，剪两张等宽且对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定和性质．解题的关键是证明四边形是菱形．设两张等宽的纸条的宽为，根据题意可得，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，再进行判断即可． 【详解】解：∵两张等宽且对边平行的纸条， ∴设两张等宽的纸条的宽为，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴和互相垂直平分，但不一定相等； 故选C． 【例2】 （24-25九年级上·福建三明·月考）如图，矩形的对角线相交于点，，若，则四边形的周长为_______． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形是菱形是解此题的关键． 首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为：． 故答案为：． 1．（2025九年级上·吉林长春·学业考试）如图，在中，对角线交于O，过点O作的垂线分别交、于E、F．已知，，，那么的长是（   ） A．9.6 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握菱形的判定及性质是解题关键．根据平行四边形的性质可得，的长度，由勾股定理的逆定理可证得，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，， 在中，， ∴，则四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接四边形的面积为，且，则的长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了尺规作角平分线，菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半，判断出四边形是菱形，是解题的关键．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故答案为：6． 3．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，点是对角线的交点，过点的直线分别交，于点，．，，分别连接，，求此时四边形的周长． 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，推导出，，进而证明是解题的关键．由，得，而，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图所示，连接，． 四边形是平行四边形， ， ， 点是对角线的交点， ， 在和中， ， ． ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形的周长为 【经典例题六 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质，由折叠可知，由同旁内角互补，两直线平行得，由平行线的性质可得，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点O， ∵四边形为矩形， ∴， 根据折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）所图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝5cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积是____cm2. 【答案】 【分析】通过证明四边形是一个菱形，作出高，求出高，即可求得相应的面积． 【详解】解：由题意可得，， ∴四边形是平行四边形， 作于E，于F， ∵， ∴， ∵纸条等宽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， 在Rt中，，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质的应用；判断出图形的形状是解决本题的关键． 1．（24-25八年级下·广东湛江·期末）如图，在菱形中，与交于点O，，则菱形的面积为（   ）    A．48 B．96 C．120 D．192 【答案】B 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，理解并运用勾股定理是解答本题的关键． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 【答案】24 【分析】本题考查剪纸问题，矩形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是求出菱形的对角线的长．由折叠可知，得到的四边形是菱形，求出菱形的对角线，可得结论． 【详解】解：由折叠可知，得到的四边形的对角线互相垂直平分， ∴这个四边形是菱形， ∵原来矩形的长为，宽为， ∴可得菱形的对角线分别为和， ∴菱形的面积， 故答案为：24． 3．（24-25八年级下·辽宁营口·月考）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)若，求证：四边形是菱形： (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再导角证明，即可证明平行四边形是菱形； （2）利用菱形面积求出，再结合直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， 菱形的面积为， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、菱形的判定与性质、菱形面积公式及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 【拓展训练一 菱形的最值问题】 【例1】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值是（    ） A．5 B． C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，分析出当菱形面积最大时的图形是解题的关键；由于菱形的高是矩形的宽，即菱形的高一定，当底最大时，菱形的面积最大，即当两矩形对角线重合时面积最大，据此画图，设，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理列方程求，再根据菱形的面积求解即可． 【详解】解：∵菱形的高是矩形的宽，即菱形的高一定， ∴当菱形的底最大时，菱形的面积最大，即当两矩形对角线重合时面积最大， 如图，此时菱形的面积最大， 由题意知：，，， 设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 解得， ， 菱形的最大面积为， 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，的面积为，，与交于点O，分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是______． 【答案】1 【分析】先判定四边形为菱形，找出当垂直于菱形的一边时，有最小值．过D点作于M，过G点作与P，则，利用平行四边形的面积求解的长，再利用三角形的中位线定理可求解的长，进而可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ， ，， 四边形为菱形， 点G是的中点，点P是四边形边上的动点， 当垂直于菱形的一边时，PG有最小值． 过D点作于M，过G点作于P，则， 矩形的面积为12，， ， 即， 解得， 为的中点， 为的中位线， ， 故的最小值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，找准PG有最小值时的P点位置是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海杨浦·课后作业）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形． (1)证明：四边形是菱形； (2)如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形的周长的最大值为_______，最小值为________． 【答案】(1)见详解 (2)17，8 【分析】本题考查了菱形的判定，及运用矩形，菱形的性质进行综合运算的能力．   （1）由，可得四边形ABCD是平行四边形．然后分别过点A、D作  A E ⊥ B C �� �� ⊥ �� ��  于E，  D F ⊥ A B �� �� ⊥ �� ��  于F．又由两张矩形纸片的宽度相等，即可得，又由面积问题，可得，即可得四边形为菱形； （2）由题意可判断，当为菱形纸片的对角线时，菱形的周长有最大值 ．当时，菱形为正方形，菱形周长最小值． 【详解】（1）  解：如图，∵，   ∴四边形是平行四边形．   分别过点A、D作于E，于F．   ∵两张矩形纸片的宽度相等，   ∴，   又∵，   ∴，   ∴是菱形；   （2）当为菱形纸片的对角线时，设．如图，   在中，，   即 ． 解得 ∴菱形的周长的最大值为 当时，菱形为正方形，宽最小值为2， 菱形的周长的最小值为； 故答案为17，8 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M，N分别以每秒1个单位的速度从点A，D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M，N同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)求菱形ABCD的周长． (2)设△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值（提示：需分两种情况讨论）． 【答案】(1)菱形ABCD的周长为200 (2)S的最大值为480 【分析】（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长； （2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）在菱形ABCD中， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60， ∴OA=40，OD=30， ∵AC⊥BD， ∴AD=． ∴菱形ABCD的周长为200． （2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P． 当0＜t≤40时，如图1， ∵， ∴． ∴． ∵S随t的增大而增大， ∴当t=40时，最大值为480； 当40＜t≤50时，如图2， ∴MD=80-t． ∵， ∴MP=(70−t)． ∴． ∵S随t的增大而减小， ∴当t=40时，最大值为480． 综上所述，S的最大值为480． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论； 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）四边形是菱形，， （1）如图1，作的平分线，交于（不写作法和证明，保留作图痕迹）      （2）在（1）的条件下，点在直线上，最大值时，求的长 （3）如图2，，分别是线段，上的动点，，求四边形周长的最小值. 图2 【答案】（1）见解析（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线尺规作图的方法作图即可； （2）先在直线OP上任取一点P，根据OD是AB的垂直平分线，根据PA=PB得出PC－PB<BC，得出当P、B、C三点共线的时候最大，结合等腰三角形三线合一以及三角函数即可求出OP的长 （3）先证明△ABE≌△OBF，得到AE=OF，可得四边形周长等于2BE+OA，可得出当BE最短时，四边形周长最小，再根据垂线段最短，可得当BE垂直AO时，BE最短，再根据三角函数求出此时BE的长 【详解】解：（1）作图如下： （2）如图：在直线OD上任取一点P，连接PA、PB、PC ∵是菱形， ∴∠OAB=60°，∠AOB=120° ∴； ∴△AOB为等边三角形 ∵OD平分∠AOB ∴OD⊥AB，且D为AB中点； ∴OD为AB的垂直平分线 ∴PA=PB ∴ ∴当P、B、C三点共线时，有最大值，即有最大值 如下图，延长CB交OD于P，点即为所求 ∵∠OBC=60° ∴∠OBP=120° 又∵∠DOB=30° ∴∠OPD=30° ∴OB=PB ∵OD⊥AB ∴D为OP中点 在Rt△OBD中，OB=6，∠DOB=30° ∴ ∴OP=2OD= 即：当OP=时，有最大值 （3）如图，连接EF ∵由（1）知△AOB为等边三角形 ∴∠ABO=∠ABE+∠EBO=60° ∵∠EBF=∠OBF+∠EBO=60° ∴∠ABE=∠OBF 在△ABE与△OBF中 ∴△ABE≌△OBF（ASA） ∴BE=BF，AE=OF ∵四边形周长=BE+BF+OF+OE=2BE+AE+OE=2BE+OA ∵OA=OB=6 ∴四边形周长=2BE+6 ∴当BE最小时，四边形周长最小 ∴当BE⊥OA时，BE最短 在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=6 ∴ ∴四边形周长最小值是 故答案为 【点睛】此题考查菱形的性质以及等边三角形的性质，注意作出相应图形是解决本题关键 【拓展训练二 菱形的翻折问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为2，则菱形的面积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BD，过点E 作EM⊥AB，设BD与AC交于点O，根据角平分线的性质得EO=EM，利用等面积法，求出OE的长，进而即可求解． 【详解】解：连接BD，过点E 作EM⊥AB，设BD与AC交于点O， 由菱形和正方形的轴对称性，可知：E、F在BD上， ∵正方形的边长为2， ∴BO=DO=AO=CO=2÷= ， ∵折叠， ∴AE是∠BAC的平分线， 又∵EO⊥AC，EM⊥AB， ∴EO=EM， ∴，即：， ∴OE=， ∴EF=， ∴菱形的面积=××=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和正方形的性质以及折叠的性质，掌握正方形的对角线互相平分且垂直，相等，是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．则下列结论：①四边形DECF一定是矩形，②四边形DECF一定是菱形，③四边形DECF一定是正方形．其中错误的是__________（填序号） 【答案】①③ 【分析】根据折叠的性质可知，CD和EF互相垂直且平分，即可得到结论． 【详解】解：连接DF、DE，DC、EF相交于点O， 根据折叠的性质得，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF， ∴四边形DECF是菱形． 菱形DECF因条件不足，无法证明是正方形． 故答案为：①③ 【点睛】本题考查了菱形的判定以及折叠的性质，灵活运用即可． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知：的对角线交点为，点分别在边上，分别沿折叠四边形， 两点恰好都落在点处，且四边形为菱形．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形性质，矩形的判定，菱形的性质，折叠性质等知识，连接，由四边形是平行四边形，则，再根据菱形的性质得，则，再根据折叠的性质得到，由于四边形为平行四边形，根据矩形的判定方法即可得到四边形是矩形，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使与重合，得到折痕，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到线段，，展开，如图①； 第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图②． 求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质和菱形的判定，其中对翻折变换的性质的理解是解决问题的关键． 根据点M是的中点判断出是的中点，再判断出垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据四条边相等的四边形是菱形证明结果． 【详解】解：∵对折与重合，折痕是， ∴点M是的中点， ∴是的中点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵沿所在的直线折叠，点B落在上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处;再将矩形沿折叠,使点落在点处且过点． （1）求证:四边形是平行四边形; （2）当是多少度时,四边形为菱形?试说明理由． 【答案】（1）证明见解析;（2）当∠B1FE=60°时,四边形EFGB为菱形,理由见解析． 【详解】试题分析：（1）由题意,∠B1FE=∠FEB,结合∠B1FE=∠BFE,得BE=BF,同理可得FG=BF,即BE=FG,结合BE∥FG,得到四边形BEFG是平行四边形; （2）当∠B1FE=60°时,四边形EFGB为菱形,由∠B1FE=60°,得∠BFE=∠BEF=60°,得到△BEF为等边三角形,即BE=EF,结合四边形BEFG是平行四边形,即可证得． 试题解析：（1）∵A1D1∥B1C1, ∴∠B1FE=∠FEB． 又∵∠B1FE=∠BFE, ∴∠FEB=∠BFE． ∴BE=BF． 同理可得：FG=BF． ∴BE=FG, 又∵BE∥FG, ∴四边形BEFG是平行四边形; （2）当∠B1FE=60°时,四边形EFGB为菱形． 理由如下： ∵∠B1FE=60°, ∴∠BFE=∠BEF=60°, ∴△BEF为等边三角形,即BE=EF． ∵四边形BEFG是平行四边形,BE=EF． ∴四边形BEFG是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 考点：1.翻折变换（折叠问题）,2.平行四边形的判定,3.菱形的判定,4.矩形的性质． 【拓展训练三 菱形中存在性问题】 【例1】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论，正确的是（      ） A．对于任意，该八边形都是正八边形 B．存在唯一的，使得该八边形为正八边形 C．对于任意，该八边形都有外接圆 D．存在唯一的，使得该八边形有内切圆 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质等知识点．如图：延长和，连接，根据菱形的性质可得，；根据旋转的性质可得点一定在对角线上，且，，再证明可得，同理可得，再说明当时，，即存在唯一的，使得该八边形为正八边形，据此即可解答． 【详解】解：如图：延长和，连接， ∵菱形，， ∴，， ∵菱形绕点O逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴该八边形各边长都相等； 当时，，即 ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴当，八边形各内角相等，故②正确． 故选：B． 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】①存在无数个平行四边形，故①正确； ②平行四边形的包含矩形、菱形图形，故②正确； ③平行四边形不一定是矩形，故③正确； ④存在无数个平行四边形ABEF，故④正确； 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，熟记各定理是解题的关键． 1．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当时，四边形是矩形，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）可求，，从而得到答案； （2）四边形是矩形，从而可得，可求解； （3）可求，，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：， （2）解：存在， 在四边形中：，， 当时，四边形是矩形， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）解：不存在， 如图，过点D作，垂足为E， 则四边形为矩形， ，， 由题意得： ，， ，，， ， 当时，，， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 四边形不可能为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法及性质、勾股定理等知识，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在上的点处，延长，交的延长线于点，连接． (1)线段的长为______________． (2)求证：四边形是菱形． (3)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），设，且．是否存在符合条件的点，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得，．设，则，在中，由勾股定理求解，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）先证明，然后由折叠以及等量代换得到，先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明其为菱形； （3）先证明，然后证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，． 由翻折可知：，． 设，则， 在中，， ， 在中，， 即，解得， ． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （3）解：存在，理由如下： 由（1）可知， ∴． 由（2）可知四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ， 解得． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为．点P从点A出发，以的速度沿线段向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题： (1)求t为何值时，四边形是平行四边形？此时平行四边形是否是菱形？请说明理由． (2)是否存在t的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)时是平行四边形，不是菱形，理由见解析 (2)存在，t的值为：4或或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，等腰三角形的定义，勾股定理： （1）由平行四边形的性质可得，则要使四边形是平行四边形，只需，据此列出方程求解即可；由，可得平行四边形不是菱形． （2）分①，②， ③，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在平行四边形中，， 要使四边形是平行四边形，只需， 即，解得； 当，， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴平行四边形不是菱形． （2））解：存在，理由如下： ①若，如图： 由得：， ∴； ②若，过D作于H，如图： ∵平行四边形的面积为，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③若，过D作于H，如图： 在中，，，， 由勾股定理得：，， 解得：； 综上所述，存在t的值，使得是等腰三角形，t的值为：4或或． A基础训练 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川广元·月考）如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：当添加①时，无法证明四边形是菱形； 当添加②时，无法证明四边形是菱形； 当添加③时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 当添加④时，无法证明四边形是菱形； 故选：C． 3．（2026·福建厦门·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，旋转的性质，先根据菱形的性质推出、、、全等，再根据旋转的性质得绕点O旋转得到的是． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点O， ∴，，，， ∴、、、全等， ∴由绕点O旋转得到的是． 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长； 故选B． 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（    ）    A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：B 【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． B 提高训练 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为_____． 【答案】4 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，得出与的数量关系是解题关键． 直接利用菱形的性质得出进而得出答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点， ∴， ∵为的中点，且， ∴． 故答案为：4． 8．（2025·西藏·模拟预测）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：添加（答案不唯一）， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开并顺次连接折痕端点后得到四边形．若，，则四边形的面积为________． 【答案】6 【分析】本题考查矩形与折叠，菱形的判定和性质，根据矩形和折叠的性质，推出四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形对折， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴四边形均为矩形， ∴，互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积为； 故答案为：6． C 培优训练 11．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由． 【答案】添加AB=BC，理由见详解； 【分析】添加AB=BC，首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形． 【详解】解：添加AB=BC， ∵四边形ABCD是对角线互相平分的四边形， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形． 12．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，然后证，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ，即， 平行四边形是矩形． 13．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点在的对角线上，过点、分别作、的平行线相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，三角形的外角的性质结合已知条件推出，进而得到，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，根据，得到，进而得到，解，求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ，， ， ， 四边形是菱形． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 的面积． 14．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 15．（24-25八年级下·北京海淀·月考）如图，点E在的对角线的延长线上，，于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形是面积． 【答案】(1)见解析 (2)128 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出，再证和全等，得出，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形是菱形； （2）分别求出、的长，即可得出对角线、的长，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ，即， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 菱形的判定与性质重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 添一个条件使四边形是菱形 题型二 利用菱形的性质证明 题型三 证明四边形是菱形 题型四 根据菱形的性质与判定求角度 题型五 根据菱形的性质与判定求线段长 题型六 根据菱形的性质与判定求面积 拓展训练一 菱形的最值问题 拓展训练二 菱形的翻折问题 拓展训练三 菱形中存在性问题 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）下列关于四边形的说法，正确的是（　　） A．四个角相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 2．（24-25八年级下·上海杨浦·课后作业）菱形是____________的平行四边形，因此它具有平行四边形的一切性质，此外菱形还具有的性质是：四条边_________，对角线_________，并且每条对角线_________． 知识点二：菱形的性质 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【补充】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 4）菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．内角和等于 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 2．（2025八年级下·上海杨浦·专题练习）菱形的性质． ①边：菱形的四条边____．菱形的两组对边都互相平行． ②角：菱形的对角____，菱形的邻角互补． ③对角线：菱形的对角线相互_______．且每一条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形是既是______对称图形又是___对称图形． 知识点三：菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 【即时训练】 1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 【经典例题一 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（25-26八年级下·上海松江·期末）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是______． 1．（2025·上海宝山·二模）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，D为上一点，，．请你再添加一个适当的条件：________，使四边形为菱形． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接并延长到点F，使． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件：______使四边形为菱形（不需要说明理由）． 【经典例题二 利用菱形的性质证明】 【例1】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 1．（24-25九年级上·河北保定·月考）如图，下列直线是该菱形的对称轴的是（   ） A． B．和 C．和 D．全部都是 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，菱形中，是的垂直平分线，，则 ______．    3．（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求点D到的距离h． 【经典例题三 证明四边形是菱形】 【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图所示，两条笔直公路、相交于点，村庄的村民在公路的旁边建二个加工厂、，已知千米，村庄到公路的距离为12千米，则村庄到公路的距离是（    ） A．5千米 B．10千米 C．12千米 D．18千米 【例2】（25-26八年级下·上海杨浦·课后作业）如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点，已知．请你添加一个条件______，使四边形是菱形． 3．（24-25八年级上·北京·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【经典例题四 证明四边形是菱形】 【例1】（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 1．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东泰安·月考）如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则______．    3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，是它的一条对角线，作的垂直平分线，分别交于点．    (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【经典例题五 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，剪两张等宽且对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25九年级上·福建三明·月考）如图，矩形的对角线相交于点，，若，则四边形的周长为_______． 1．（2025九年级上·吉林长春·学业考试）如图，在中，对角线交于O，过点O作的垂线分别交、于E、F．已知，，，那么的长是（   ） A．9.6 B．12 C．10 D．8 2．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接四边形的面积为，且，则的长为_____． 3．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，点是对角线的交点，过点的直线分别交，于点，．，，分别连接，，求此时四边形的周长． 【经典例题六 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）所图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝5cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积是____cm2. 1．（24-25八年级下·广东湛江·期末）如图，在菱形中，与交于点O，，则菱形的面积为（   ）    A．48 B．96 C．120 D．192 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 3．（24-25八年级下·辽宁营口·月考）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)若，求证：四边形是菱形： (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为，求的长． 【拓展训练一 菱形的最值问题】 【例1】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值是（    ） A．5 B． C．12 D．15 【例2】（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，的面积为，，与交于点O，分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是______． 1．（24-25八年级下·上海杨浦·课后作业）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形． (1)证明：四边形是菱形； (2)如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形的周长的最大值为_______，最小值为________． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M，N分别以每秒1个单位的速度从点A，D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M，N同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)求菱形ABCD的周长． (2)设△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值（提示：需分两种情况讨论）． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）四边形是菱形，， （1）如图1，作的平分线，交于（不写作法和证明，保留作图痕迹）      （2）在（1）的条件下，点在直线上，最大值时，求的长 （3）如图2，，分别是线段，上的动点，，求四边形周长的最小值. 图2 【拓展训练二 菱形的翻折问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为2，则菱形的面积为（ ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．则下列结论：①四边形DECF一定是矩形，②四边形DECF一定是菱形，③四边形DECF一定是正方形．其中错误的是__________（填序号） 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知：的对角线交点为，点分别在边上，分别沿折叠四边形， 两点恰好都落在点处，且四边形为菱形．求证：四边形是矩形． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使与重合，得到折痕，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到线段，，展开，如图①； 第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图②． 求证：四边形为菱形． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处;再将矩形沿折叠,使点落在点处且过点． （1）求证:四边形是平行四边形; （2）当是多少度时,四边形为菱形?试说明理由． 【拓展训练三 菱形中存在性问题】 【例1】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论，正确的是（      ） A．对于任意，该八边形都是正八边形 B．存在唯一的，使得该八边形为正八边形 C．对于任意，该八边形都有外接圆 D．存在唯一的，使得该八边形有内切圆 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是______． 1．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在上的点处，延长，交的延长线于点，连接． (1)线段的长为______________． (2)求证：四边形是菱形． (3)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），设，且．是否存在符合条件的点，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为．点P从点A出发，以的速度沿线段向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题： (1)求t为何值时，四边形是平行四边形？此时平行四边形是否是菱形？请说明理由． (2)是否存在t的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． A基础训练 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川广元·月考）如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2026·福建厦门·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（    ）    A．2 B．4 C．5 D．6 B 提高训练 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为_____． 8．（2025·西藏·模拟预测）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件________，使四边形是菱形． 9．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 10．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开并顺次连接折痕端点后得到四边形．若，，则四边形的面积为________． C 培优训练 11．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由． 12．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 13．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点在的对角线上，过点、分别作、的平行线相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的面积． 14．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 15．（24-25八年级下·北京海淀·月考）如图，点E在的对角线的延长线上，，于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形是面积． 学科网（北京）股份有限公司 $