精品解析：上海大学附属中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

2025学年第二学期上大附中期中考试 高一年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题 一、填空题（本大题满分38分，第1-10题每题3分，第11-12题每题4分） 1. 已知，，，则______. 2. 为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 3. 函数的定义域为____________. 4. 不等式的解集是___________． 5. 已知，则___________． 6. 在中，角的对边分别为，已知，则角______． 7. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 8. 将的图像向右平移个单位可得到的图像，则当时，的图象与余弦曲线共有______交点. 9. 已知，，，则______． 10. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过的直线与边分别交于点，设，则的最小值为___________． 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有________ ①．h关于t的函数解析式为 ②．点P第一次到达最高点需用时5秒 ③．P再次接触水面需用时10秒 ④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 12. 已知平面向量满足，且对任意成立，则的最小值为___________． 二、单选题（本大题满分12分，每题3分） 13. 以下说法中，正确的是（ ） A. 两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B. 零向量的长度为0，没有方向 C. 单位向量都是共线向量 D. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 14. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图，函数的图象与轴交于点，若的最小正周期为，则（ ） A. B. C. D. 16. 在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（ ） A. 10 B. 20 C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分50分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知函数是奇函数，为实数． （1）求的值； （2）当时，求函数的值域． 18. 已知平面向量，且． （1）求实数的值； （2）求向量与向量的夹角． 19. 已知． （1）若函数的最小正周期为，求函数在上的值域； （2）若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 20. 某动物园要为刚入园的小动物建造活动区域为四边形，形状如图，设想在其中规划出两个功能区：为动物乐园区，为动物探险区．已知，． （1）若，求的周长（结果精确到）； （2）若，求的大小（结果精确到0.1度）； （3）求动物乐园区面积的最大值． 21. 对于平面向量，定义“变换”：，（） （1）若向量，，求； （2）已知，，且与不平行，，，证明：； （3）若向量，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期上大附中期中考试 高一年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题 一、填空题（本大题满分38分，第1-10题每题3分，第11-12题每题4分） 1. 已知，，，则______. 【答案】5 【解析】 【详解】因为，，所以且， 又，所以. 2. 为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助复数运算法则求出该复数后利用共轭复数定义即可得. 【详解】，故复数的共轭复数为. 3. 函数的定义域为____________. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为的定义域为 故答案为： 4. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式分式求解即可. 【详解】因为，所以，即，解得，所以不等式的解集是. 5. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 则. 6. 在中，角的对边分别为，已知，则角______． 【答案】## 【解析】 【详解】对于，由余弦定理得：， 代入，，可得： ， 因为是三角形内角，满足，所以. 7. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得：, 则在方向上的投影向量的坐标为 8. 将的图像向右平移个单位可得到的图像，则当时，的图象与余弦曲线共有______交点. 【答案】4 【解析】 【分析】的图像向右平移个单位可得，再结合余弦曲线求解交点个数即可. 【详解】由题意知，，余弦曲线为， 则，即，整理得， 当，时，解为； 当，即，时，解为， 所以的图象与余弦曲线共有4个交点, 故答案为：4. 9. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用角的拆分，先由和角的范围求，再由和角的范围求，最后用两角差的正弦公式代入计算． 【详解】因为，且，所以， 由，得，又，所以， 因为，所以， 所以 ． 10. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过的直线与边分别交于点，设，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用向量的线性运算把用表示，然后利用三点共线得到的关系，最后利用基本不等式中“1”的代换即可求解. 【详解】由，得，因此： ，  因为是中点，所以： ， 已知，，代入得： ， 因为三点共线，根据向量共线性质，系数和为， 即 ， ， 当且仅当结合，​即，时取等号. 所以的最小值为. 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有________ ①．h关于t的函数解析式为 ②．点P第一次到达最高点需用时5秒 ③．P再次接触水面需用时10秒 ④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据已知代入点计算得出解析式判断①，再根据函数值得出自变量判断②，再根据周期计算判断③，计算函数值判断④. 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，①正确； 由①可知点P第一次到达最高点需用时秒，②正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），③正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，④错误． 故答案为：①②③. 12. 已知平面向量满足，且对任意成立，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】对于不等式，两边平方得到关于实数的不等式，求得，求出.设出，令，，，得到点、、的坐标，则，求出直线方程及点轨迹方程，并判断位置关系，进而求出最小值. 【详解】由，两边平方得， 又，且对任意成立， 即恒成立，故， 即，解得，即. 又，所以. 又，所以. 设，，， 令，，， 则，，，则点在圆上， 所以. 直线：，即. 原点到直线的距离为， 所以直线与圆相切， 所以当点为切点时，取得最小值，为. 而， 所以的最小值为. 二、单选题（本大题满分12分，每题3分） 13. 以下说法中，正确的是（ ） A. 两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B. 零向量的长度为0，没有方向 C. 单位向量都是共线向量 D. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量、共线向量、零向量、单位向量的概念逐一判断． 【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错； 对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错， 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小， 而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确； 故选：D． 14. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义和复数的运算、复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，所以，则， 所以，解得，故. 15. 如图，函数的图象与轴交于点，若的最小正周期为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数周期可求得，又图象过点，可得或，再根据函数图象的单调性，可得，进而可求得. 【详解】因为函数的最小正周期为，即，所以， 所以，又函数的图象与轴交于点， 所以，即， 所以或， 当时，， 令， 解不等式得， 所以函数在区间上单调递增， 而当时，， 又，所以函数在附近单调递增， 与图象不符，所以， 当时，， 令， 解不等式得， 所以函数在区间上单调递减， 而当时，， 又，所以函数在附近单调递减， 与图象相符，所以，所以， 所以，故C正确. 16. 在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（ ） A. 10 B. 20 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为的中点，则， 所以． 如图，分别取线段，的中点为，，因为为的外接圆圆心， 所以，， 则， ， 因此． 三、解答题（本大题共有5题，满分50分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知函数是奇函数，为实数． （1）求的值； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数是奇函数，有，解得的值并检验即可； （2）利用单调性求函数在区间内的值域． 【小问1详解】 函数是奇函数，则，解得， 当时，， 为奇函数，所以的值为2． 【小问2详解】 由（1）知函数， 由是上的增函数，可得为上的减函数， 所以在上是增函数， 可得， 即，故函数的值域为． 18. 已知平面向量，且． （1）求实数的值； （2）求向量与向量的夹角． 【答案】（1）12， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示求解即可. （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角． 【小问1详解】 ，解得． ，， . 【小问2详解】 由（1）知，，. ，，. 设的夹角为，则． ，， 即向量与向量的夹角为． 19. 已知． （1）若函数的最小正周期为，求函数在上的值域； （2）若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式以及辅助角公式化简，再由函数周期为求解即可. （2）由函数在区间上有两个零点求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以， 当，所以，所以， 所以的值域为. 【小问2详解】 因为，且在上恰有2个零点，则， ，得， 所以，解得. 20. 某动物园要为刚入园的小动物建造活动区域为四边形，形状如图，设想在其中规划出两个功能区：为动物乐园区，为动物探险区．已知，． （1）若，求的周长（结果精确到）； （2）若，求的大小（结果精确到0.1度）； （3）求动物乐园区面积的最大值． 【答案】（1）35.18米； （2）或； （3）为正三角形，最大面积为平方米． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理直接计算即得． （2）利用直角三角形边角关系求出，再利用正弦定理求解即得． （3）利用余弦定理建立关系，再借助均值不等式求解即得． 【小问1详解】 在中，由正弦定理得： ， 所以的周长为（米）． 【小问2详解】 在中，由，得，， ，又，则， 在中，由正弦定理得，而， 所以或． 【小问3详解】 在中，由余弦定理得： 则，即， 当且仅当时取等号， 所以， 所以当， 即是正三角形时，面积取得最大值平方米． 21. 对于平面向量，定义“变换”：，（） （1）若向量，，求； （2）已知，，且与不平行，，，证明：； （3）若向量，求． 【答案】（1）； （2） ， 得，同理可得， ； 所以， 则，， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入变换计算可得； （2）利用变换规则计算向量数量积可得，且，，再由向量夹角余弦公式即可得出结论； （3）利用变换规则以及三角恒等变换以及可得，即可解得. 【小问1详解】 根据题意可得，，， 代入变换可得，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 ； 且 所以 ； 因此 由， 可得， 即，又，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $