精品解析：山东威海乳山市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：选项A：，与化简后被开方数不同，A不符合要求； 选项B：，与化简后被开方数不同，B不符合要求； 选项C：，，化简后被开方数都是3，C符合要求； 选项D：与都是最简二次根式，被开方数不同，D不符合要求． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，∴A选项说法错误； B选项，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，∴B选项说法错误； C选项，∵矩形本身对角线相等，对角线互相垂直的矩形符合正方形判定定理，∴对角线互相垂直的矩形是正方形，C选项说法正确； D选项，∵矩形四个角都是直角，任意邻边本来就互相垂直，因此有一组邻边互相垂直的矩形仍是矩形，不一定是正方形，∴D选项说法错误． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断根的情况，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，计算判别式的值即可判断． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式，得 ， 其中，，， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将各数化简，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查实数的大小比较、二次根式的性质，熟练掌握实数的大小比较方法是解答的关键． 6. 如图，在中，分别是和的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 是的平分线 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质推出，，，，求出，证明，推出，求出，得出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵分别是和的平分线． ∴ ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、根据和平行四边形不能推出四边形是菱形，故本选项符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出的正负，再根据非负数的性质计算即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 8. 如图，是等腰直角三角形，点D是斜边上一点，于点E，于点F，，M是的中点，则最小值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使最小，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：连接． ，， ； 又， 四边形是矩形， ， ∵M是的中点， ∴M也是的中点， ∴， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， ， ， ． 线段长的最小值为，即最小值是． 9. 我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知的三边分别是3，和，则的面积是（ ）． A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式乘法、乘方、最简二次根式的性质，利用已知运算公式，将数据代入代数式计算，即可得到答案． 【详解】∵△ABC的三边分别是3，和，即，， ∴△ABC的面积S＝ 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式乘法、最简二次根式的性质，从而完成求解． 10. 如图，在正方形中，点在边上，，垂足为．若，，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作于点，容易证明，则，．由角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则． 【详解】解：如图，作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于0，即可求解． 【详解】解：要使有意义，需满足且 ∴且， 因此的取值范围是． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，筛选得到符合条件的的值． 【详解】解：把代入得， 因式分解得， 解得，， 原方程是关于的一元二次方程， ， 即， 因此． 13. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a+2b+c=0，则该方程一定有一个根为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程 得： 所以方程有一根为 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的含义是解题的关键． 14. 已知如图，正方形边长为4，E、F分别是和的中点，与交于点M，则 的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形边长为4，E、F分别是和的中点，可得，再证明，可得，利用等面积法可求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E、F分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 15. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 计算、解方程 （1）计算： （2）解方程∶． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用负整数指数幂，二次根式的混合运算法则计算即可求解； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，． 17. 已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值 【答案】 【解析】 【分析】把化简得，进而得出的，从而求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分为a，小数部分为b， ， ． 18. 关于x 的一元二次方程的一个根是 ，且a，b 满足，用配方法解关于y的方程. 【答案】， 【解析】 【分析】根据方程的根的定义得到，根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，再利用配方法解方程即可. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，. 19. 关于y的方程有两个相等的实数根，求n和方程的根分别是多少？ 【答案】， 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根得到，求解后根据得到n的值，进而得到关于y的方程，求解即可． 【详解】解：，，， ∵有两个相等的实数根， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 整理得， ∴． 20. 已知，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N．分别以、为圆心，以大于线段长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．分别以点A和D为圆心，以大于线段长为半径画弧，两弧分别交于点G和点H．作直线，交于点E，交于点F．连接、，试判断四边形的形状并证明． 【答案】 四边形是菱形． 根据作图痕迹可知：平分，垂直平分线段， 如图，连接， ∴，，． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知：平分，垂直平分线段，得到，，，证明，得到，进而可证四边形是菱形． 【详解】解：略． 21. 菱形的两边与位于四边形上，其中，四边形对角线相交于点O，，，，求四边形的面积？ 【答案】32 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，，，，根据勾股定理得到，则，证明，得到，证明四边形是矩形，根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，，，， ∴． ∴． ∴． ∵，． ∴． ∴． ∵，． ∴是平行四边形． ∵ ∴四边形是矩形． ∴四边形的面积． 22. 阅读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解 合理分组 提取公因式 整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 （1）问题1：因式分解：_________ （2）问题2：已知，求代数式的值． （3）问题3：化简： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将各二次根式分解为，再提出公因式，然后整体提出公因式即可； （2）先求出，再整理待求式的倒数，并代入求值，进而得出答案； （3）先将分子进行因式分解，然后借鉴（2）根据倒数转化的方法进行化简． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴． ∵或0（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：， 设： ， ， 则原式， ， ． 23. 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点D，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是_________；与的数量关系是_________； （2）【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （3）【深度探究】在矩形中，与交于点O点，E为边上的一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若，， ①当，与的位置关系是_________； ②求的最小值． 【答案】（1），； （2） 证明：正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用“”证明，得到，，即可求解； （2）根据正方形和旋转的性质，证明，得到，再结合正方形的判定定理证明即可； （3）①连接、，根据矩形的性质和勾股定理，证明是等边三角形，根据旋转的性质得到，，进而得到，证明，，得到，即可得到与的位置关系； ②由（1）知是等边三角形，结合旋转的性质，证明，得到，则点在射线上运动，且，当时，有最小值，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，，， ， ，即， 又， ， ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①解：矩形， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 同理可证 ∴， ∴， ∴； ②解：如图，连接、， 是等边三角形， ， 由旋转的性质可知，，， ， ，即， 又，， ， ， 点在射线上运动，且， 当时，有最小值， ， ， ， 在中，， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，分别是和的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 是的平分线 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是等腰直角三角形，点D是斜边上一点，于点E，于点F，，M是的中点，则最小值是（ ） A. B. C. D. 2 9. 我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知的三边分别是3，和，则的面积是（ ）． A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，在正方形中，点在边上，，垂足为．若，，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 若式子有意义，则的取值范围是______． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____． 13. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a+2b+c=0，则该方程一定有一个根为__________． 14. 已知如图，正方形边长为4，E、F分别是和的中点，与交于点M，则 的长是________． 15. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 计算、解方程 （1）计算： （2）解方程∶． 17. 已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值 18. 关于x 的一元二次方程的一个根是 ，且a，b 满足，用配方法解关于y的方程. 19. 关于y的方程有两个相等的实数根，求n和方程的根分别是多少？ 20. 已知，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N．分别以、为圆心，以大于线段长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．分别以点A和D为圆心，以大于线段长为半径画弧，两弧分别交于点G和点H．作直线，交于点E，交于点F．连接、，试判断四边形的形状并证明． 21. 菱形的两边与位于四边形上，其中，四边形对角线相交于点O，，，，求四边形的面积？ 22. 阅读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解 合理分组 提取公因式 整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 （1）问题1：因式分解：_________ （2）问题2：已知，求代数式的值． （3）问题3：化简： 23. 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点D，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是_________；与的数量关系是_________； （2）【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （3）【深度探究】在矩形中，与交于点O点，E为边上的一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若，， ①当，与的位置关系是_________； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $