精品解析：山东省威海乳山市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题（五四制）

初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是菱形 C. 当时，是矩形 D. 当时，是正方形 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若4a﹣2b十c＝0，则它的一个根是（ ） A. x＝﹣2 B. x＝ C. x＝﹣4 D. x＝2 7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于( ) A. 24 B. 12 C. 6 D. 8 8. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　) A. 16 B. 16 C. 8 D. 8 9. 若，则x的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 10. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形是菱形；③四边形的面积占正方形面积的．正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________ 12. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为_____． 13. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 14. 如图，过正方形的顶点A，，，则的面积为______． 15. 如图，在矩形中，点E是边的中点，于点F．若，则的长为______． 16. 若，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 用配方法解方程： 18. 已知，，求的值． 19. 居民小区有块矩形绿地，绿地的长为米，宽为米．要在绿地内修建一个矩形小花坛（阴影部分），花坛的长为（）米，宽为（）米． （1）求绿地的周长；（参考数值：，，结果精确到1米） （2）除去修建花坛的地方，绿地的其余地方修建成通道．若通道要铺设造价为80元/米的地砖，铺设地砖需要花费多少元？ 20. 如图，在菱形中，点F在的延长线上，连接，且，分别延长到点G，H，使，连接．求证：； 21. 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长． 22. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 23. 点P在四边形的对角线上，连接，，点E在边的延长线上，且． （1）如图Ⅰ，若四边形是正方形，求证：； （2）如图Ⅱ，若四边形是菱形，，求的度数． 24. 已知实数x，y满足． （1）探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）计算：求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和同类二次根式，熟记同类二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，然后逐项判定即可． 【详解】解：A．与不能合并，故本选项不符合题意； B．与不能合并，故本选项不符合题意； C．与不能合并，故本选项不符合题意； D．与能合并，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是菱形 C. 当时，是矩形 D. 当时，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理可排除选项． 【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意； D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意； 故选D． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用二次根式的运算方法进行逐一计算、辨别． 【详解】A选项：，故A选项计算正确； B选项：，故B选项计算正确； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式的运算能力，关键是能准确运用计算法则进行计算． 4. 已知关于的方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入方程得a2-ab-2a+a＝0，然后两边除以a即可得到a-b的值． 【详解】把x＝a代入得a2-ab-2a+a＝0， 所以a-b-1＝0， 所以a-b＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：C． 6. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若4a﹣2b十c＝0，则它的一个根是（ ） A. x＝﹣2 B. x＝ C. x＝﹣4 D. x＝2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将题中四个选项分别代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）判断是否为4a﹣2b十c＝0即可． 【详解】解：A.把x=-2代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得4a﹣2b十c＝0，所以，x=-2是方程的一个根，故选项A符合题意； B.把x＝代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得a﹣b十c＝0，所以，x=-不是方程的一个根，故选项B不符合题意； C.把x＝-4代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得16a﹣4b十c＝0，所以，x=-4不是方程的一个根，故选项C不符合题意； D.把x＝2代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得4a+2b十c＝0，所以，x=2不是方程的一个根，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于( ) A. 24 B. 12 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵D、F是BC、AB的中点， ∴AC=2FD=2×12=24， ∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H， ∴EH=AC=12． 故选B． 【点睛】本题考查的知识点：三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是基础知识较简单． 8. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　) A. 16 B. 16 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝120°可知∠ABC=60°，AB=AC，即△ABC为等边三角形，则AB=AC=BC=4，作AE⊥BC于点E，可得BE=2，AE= ，求得S菱形ABCD=BC·AE=4×= 【详解】解：在菱形ABCD中，有AB=AC ∵∠BAD＝120° ∴∠ABC=60° ∴△ABC为等边三角形 即AB=AC=BC=4 作AE⊥BC于点E ∴BE=2，AE= ∴S菱形ABCD=BC·AE=4×= 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，30°，60°，90°角三角形的边长关系，解本题的关键是发现图中的等边三角形，将对角线长度转化为菱形边长． 9. 若，则x的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简、合并等号左边的二次根式，再将系数化为，继而两边平方，进一步求解可得． 【详解】解：原方程化为， 合并，得， 即， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 10. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形是菱形；③四边形的面积占正方形面积的．正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和中位线定理可以解决问题； ②利用①中结论可以证明，可以解决问题； ③利用①③中的结论，确定四边形的面积与的面积比，正方形面积与的面积比，可以解决问题． 【详解】∵四边形是正方形，为对角线 ∴，，， ∴、是等腰直角三角形 ∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴、是等腰直角三角形 连接，如图， ∵， ∴A，O，P，C共线． ∵， ∴是的中位线， ∴ ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴图中的三角形都是等腰直角三角形，故①正确； ∵是等腰直角三角形 ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， 在中， 即 ∵ ∴四边形不是菱形，故②错误； ∵，，， ∴ ∴ ∵ 即 又∵ ∴ ∴，故③错误． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________ 【答案】x>0.5 【解析】 【详解】试题解析：根据题意得，2x-1＞0， 解得x＞． 12. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用三角形面积以及勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10， ∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝120，AO＝12，OD＝5，AC⊥BD， ∴AD＝AB＝＝13， ∵DH⊥AB， ∴AO×BD＝DH×AB， ∴12×10＝13×DH， ∴DH＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质以及勾股定理，解题关键是正确得出DH的长． 13. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，． 14. 如图，过正方形的顶点A，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明得，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为∶ ． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点E是边的中点，于点F．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型． 先根据勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点E是边的中点， ∴. 在中，， ∵， ∴. 故答案为． 16. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据有意义，得出，进而化简已知等式得出，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 用配方法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 则， ， 直接开平方得， ，． 18. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先求出，，然后把原式变形为代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 19. 居民小区有块矩形绿地，绿地的长为米，宽为米．要在绿地内修建一个矩形小花坛（阴影部分），花坛的长为（）米，宽为（）米． （1）求绿地的周长；（参考数值：，，结果精确到1米） （2）除去修建花坛的地方，绿地的其余地方修建成通道．若通道要铺设造价为80元/米的地砖，铺设地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）绿地的周长约为42米 （2）8000元 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【小问1详解】 解：绿地的周长： （米）． ∴绿地的周长约为42米； 【小问2详解】 解： （平方米）． ∴购买地砖的花费为（元）． 20. 如图，在菱形中，点F在的延长线上，连接，且，分别延长到点G，H，使，连接．求证：； 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质和三角形全等的证明，解题关键是证明．由菱形的性质可得，，．再证明，，可证，进而可证． 【详解】略 21. 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长． 【答案】BC的长为3++． 【解析】 【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得． 【详解】解：∵∠1=67.5°，∠2=75°， ∴∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°， 由折叠可知，BE=KE、KF=FC， 如图，过点K作KM⊥BC于点M， 设KM=x，则EM=x，KF=2x， ，， ∴x+x=+1， 解得：x=1， ∴EK=，KF=2， ∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++， ∴BC的长为3++． 【点睛】本题主要考查翻折变换和勾股定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 22. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明． 【详解】（1）略 （2） 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键． 23. 点P在四边形的对角线上，连接，，点E在边的延长线上，且． （1）如图Ⅰ，若四边形是正方形，求证：； （2）如图Ⅱ，若四边形是菱形，，求的度数． 【答案】（1） 如图Ⅰ， ∵四边形是正方形 ∴，， 又∵ ． ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∴． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和相关知识。解题关键是利用图形性质证明三角形全等，通过角的等量代换得出所求角与已知角的关系。 （1）利用正方形性质证，得 ，由得 ，通过角的等量代换推出 ，再依据正方形内角为得出，从而证明 。 （2）借助菱形性质证明，得到 ，由推出 ，经角的等量代换得到 ，根据菱形对角相等及邻角互补求出度数，进而得出的度数。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图Ⅱ， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵ ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴． ∴． ∴． 24. 已知实数x，y满足． （1）探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）计算：求代数式的值． 【答案】（1） ； 证明：． ∴． ∴① 同理得：② 得：， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题是二次根式的化简和求值．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论． （1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论； （2）将代入原式或①式得：，代入所求式子即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入①，得， ∴． 则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $