上海市大同中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷高一数学

2025学年第一学期期中考试试卷 高一数学90分钟满分100分 班级 姓名 学号 一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 1.已知角ax终边经过点P(3,4),则sin&= 2.已知a=(0,1),5=(2,1),则5.ā=_ 3.在△ABC中，已知a=2,则cosC+ccos B= 4.函数y=cos(2x)的最小正周期为 5.若=AG=西-Ad=2,则店+Ad= 6.已知5为一个单位向量，(a,)=120°，若a在i上的投影为-26，则日= 7.若复数z满足-二=i(1为虚数单位)，则z=」 1+z &曦y=2(2x-胃}xeo月 的严格增区间为一， 9.若关于x的方程sin2x+cosx+k=0在 要引}上有解，则k的取值范国是 ·0。已知复数z满足2-2=1，则z+的最小值是」 1.也知函数/()=sin2@x+君十cos20x(@>0)在区间2，x内不存在零点，则0的取值范围是一 i返，已知=9，=8，若存在c满足=5且(a-a)(6-)=0,则a-+a+的最小值是 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13.下列说法错误的是（) A.若a∥i,b∥c,则a∥c B若a=b,i=c,则a=c C.若a与b是非零向量且a∥b,则a与b的方向相同或者相反 D若ā，石都是单位向量，则日=同 第1页/共3页 14.已知z为复数，则”"之=2"是"z2=2"的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D非充分非必要条件 15. .欧拉公式er=cosx+isinx(i为虚数单位，x∈R,e为自然底数) 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到 复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占 有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.现有以下两个结论： ①eim+1=0; ②(cos6+isin6)(eos+isin0)…(eos+isin)-i. 其中所有正确结论的编号是 () A.①②均正确； B.①②均错误； C.①对②错； D.①错②对. I6.两个周期函数y=f(x),y=g(x)的最小正周期分别为a,b,具b=na,其中n2,nN。如果函数y =f(x)+g(x)的最小正周期为T,判断下列情形可能出现的是： ①T<a;②T=a;③T=b;④T>b;⑤a<T<b A②③ B.①②③④ C.①③⑤ D.②③④⑤ 三、解答题 17.已知灰数31阀足(31-2)1+)=1-1（1为虚数单位)，复数z1的曲部为2，日1·z1是实鲰，求z1· 18已知平面向盘a,6澜足园-1，=2.且(a,5-5 1)求a-, 2)求实数k的取值范围，使得（石+b,k迈+b)为锐角. 19.某公司欲生产一数工艺品，工艺品的平国设计如图所示，该工艺品由直角△ABC和以BC为直往的单 画崭苌面应，点P为半圈上一点（异于，点H在线段AB上，且滴足CH⊥AB、已知∠ACB=9O°， AB=ldm,设∠ABC=8. (I)为了使工艺礼品达到最佳观贯效果，爵澜足∠ABC=PCB,且CA+CP达到最大，当8为何值 时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ (2)为了工艺礼品达到最佳稻定性便于收藏，篇满足∠PBA=60°，且CH+CP达到最大、当0为何值 时，工艺扎品达到最佳稳定性？并求此时CH+CP的值、 20已知爵泰f(倒=amor+写引@>0)， (1)若0=2，求函数f(x)的最小正周期： (2)若函数f(x)在区间[0，元]上严格单调递增，求w的取值范围. (3)若函数f(x)在[a,b](a,beR且a<b)上满足“关于x的方程f(x)=V店在[a,b]上至少存在 2024个根”，且在所有满足上述条件的[a,b]中，b-a的最小值不小于2024，求)的取值范围， 21.定义点P(m,n),若函数满足∫(x)=msinx+nCOSx,则称函数y=f(x)为点P的“m-n伴生函数"， 点P(m,n)为函数y=f(x)的“源点”. (1)已知点P(5,列为函数(=s血(g+-o(怎-〔问<到的“源点，求实数P的值。 (2)己知点A(m,n)满足m=3,n∈(0，V5].若点A(m,n)的“m-n伴生函数”y=h(x)在x=a时取得 最大值，当点A运动时，求tan2a的取值范围： (3)已知京A的0-1作生函数”y=F()满足P间-=竖.若△ABC中B=V反，cosC=F0,点 O为该三角形的外心，求OC.AB+CA.CB的最大值. 址∽百什？云