精品解析：上海市大同中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（第1~6题，每题3分；第7~12题，每题4分，共42分） 1. 已知，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2. 2. 已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的半径为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接可得解. 【详解】由已知扇形圆心角， 则扇形面积， 解得扇形半径， 故答案为：. 3. 若，则函数的最小正周期为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 4. 若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为__________. 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和向量的中线公式得到，从而得到，进而得到角间的关系，再利用三角形内角和为即可求出结果. 【详解】如图，取中点，因为，所以，即，所以，，所以，又三角形内角和为，所以，所以为直角三角形， 故答案为：直角三角形. 5. 函数的振幅是，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的性质直接可得解. 【详解】由已知函数的振幅，初始相位， 最小正周期， 又，则， 故答案为：. 6. 已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正三角形性质求出边长，再利用数量积的定义计算得解. 【详解】依题意，O是正三角形的中心，设正三角形的边长为a， 则，解得，即，又， 所以 . 故答案为： 7. 已知平面向量满足，其中是单位向量，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积公式，结合得到. 【详解】设与的夹角为，因为， 故，所以， 故的取值范围为． 故答案为： 8. 已知，，，若，，三点共线，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线转化为向量共线，结合向量共线定理化简可得解. 【详解】已知，， 则， 因为，，三点共线，所以与共线， 则， 即， 所以， 故答案为：. 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的朋友可得解析式，再根据正弦型函数的对称轴方程得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 令， 解得， 当时，得对称轴方程为， 故答案为：. 10. 设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接解方程即可得 【详解】令，则有或， 解得或， 又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，， 所以，，，，，，，， 故，. 所以即， 则，解得， 故答案为：. 11. 已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为，，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②线段的长度为； ③向量平行于向量的充要条件为； ④向量垂直于向量的充要条件为；所有真命题的序号为________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据点的广义坐标的几何意义及向量的线性运算与数量积运算分别判断即可. 【详解】由题意：，， 对于①：设为中点， 所以， 所以线段的中点的广义坐标为，故①正确； 对于②，因为， 所以， 当向量，是相互垂直的单位向量时， ，两点间的距离为，否则距离不为，②错误； 对于③：向量平行于向量，即，， 即， 则，故③正确； 对于④：向量垂直于向量， 即， 则， 化简可得， 故④不一定成立； 故答案为：①③. 12. 在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得，再根据三角形面积公式可得， 【详解】因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故，因为，所以， 又，所以， 如图，由题意可得，， 因为，，三点共线， 故可设，， 又因，，三点共线，故，即， 所以， 因为， 所以， 于是，即 两边平方得：， 当且仅当时等号成立， 故，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 锐角的内角的对边分别为，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用锐角三角形的性质与正切函数的单调性，可得“”是“”的充要条件. 【详解】因为是锐角三角形，所以， 若，则，即， 又在上单调递增，所以成立. 若，且，则，所以成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 14. 已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量投影的概念直接计算. 【详解】由，，其中，的夹角为， 则在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故选：D. 15. 已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 16. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数零点情况及方程可得，进而确定函数解析式及函数性质，即可得解. 【详解】由， 得， 令， 即， 整理得， 即， 所以或， 即，或，， 即，或，， 又当时，， 函数有且仅有一个零点，得，即， 当，时，，，， 此时或，使得，不符合要求； 当，时，，或，， 当时，，函数在上无零点， 当时，，当且仅当时，，符合要求， 因此，， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 故选：A. 三、简答题（共4题，8+10+12+12=42分） 17. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）求向量与的夹角.（结果用反三角表示） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线与垂直坐标表示直接计算即可； （2）根据向量数量积与模长的坐标表示可得夹角. 【小问1详解】 由已知，，，且，， 则，， 解得，， 即，； 【小问2详解】 由（1）得，， 设向量与的夹角为， 则， 所以向量与的夹角为. 18. 已知. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）在中，若，，求. 【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值. （2）根据，，求解出，即可得. 【小问1详解】 ， 故函数的最小正周期为，最大值为. 【小问2详解】 由，解得. 又，从而， 因为，所以为锐角，. . 19. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表： 时刻 水深值 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离） （1）求函数的表达式； （2）求该船一天内能够进入港口的时刻； （3）该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长. 【答案】（1） （2）凌晨时至时和下午时至时期间任意时刻进港都安全. （3）小时 【解析】 【分析】（1）根据表格可得函数最值与周期，进而可得函数解析式； （2）由已知可得，解不等式即可. （3）根据题意小时卸完货物后吃水深度为，又货船能安全在港的水深为，可得，解得，，，，，可知货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为小时. 【小问1详解】 根据表中数据得，， 且最小正周期，，即， 所以， 又当时取得最大值，则，， 因，则， 所以函数. 【小问2详解】 根据题意，货船能够安全进港必需港口水深， 即， 而，则，所以或， 解得或， 所以货船能够安全进港的时刻是凌晨时至时和下午时至时期间的任意时刻进港都安全. 【小问3详解】 由（2）知，每次货船进港后若不卸货，则最多在港口内停留小时， 若货船进港后马上卸货且在港口内停留时间要最长，则只能是凌晨时或下午时进港， 由于货物小时可卸完，根据题意小时卸完货物后的吃水深度为， 此时货船能安全在港的水深为，由，则，而， 则，所以，，，，.即，，，，， 因为货船只能在凌晨时或下午时进港才能在港内停留时间最长，且每次进港卸完货后，货船最多只能再停留小时，货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为小时. 20. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可； （2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得； （3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得. 【小问1详解】 因， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象. 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（第1~6题，每题3分；第7~12题，每题4分，共42分） 1. 已知，则__________. 2. 已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的半径为________. 3. 若，则函数最小正周期为____________． 4. 若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为__________. 5. 函数的振幅是，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为________. 6. 已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则_______． 7. 已知平面向量满足，其中是单位向量，则的取值范围为________． 8. 已知，，，若，，三点共线，则________. 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 10. 设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________. 11. 已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为，，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②线段的长度为； ③向量平行于向量的充要条件为； ④向量垂直于向量的充要条件为；所有真命题的序号为________. 12. 在中，，，分别是角，，对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为________. 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 锐角的内角的对边分别为，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 15. 已知关于x不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 三、简答题（共4题，8+10+12+12=42分） 17. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）求向量与的夹角.（结果用反三角表示） 18. 已知. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）在中，若，，求. 19. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表： 时刻 水深值 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离） （1）求函数的表达式； （2）求该船一天内能够进入港口的时刻； （3）该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长. 20. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$